Регистрирайте сеРегистрирайте се

OM = OD?


 
   Форум за математика Форуми -> Олимпиади и състезания за 9-12 клас
Предишната тема :: Следващата тема  
Автор Съобщение
Pinetop Smith
Фен на форума


Регистриран на: 12 May 2007
Мнения: 961
Местожителство: Хасково
Репутация: 153.6Репутация: 153.6
гласове: 87

МнениеПуснато на: Fri May 22, 2009 9:37 pm    Заглавие: OM = OD?

Даден е тр. АВС, в който М е средата на страна АВ. През М е прекарана права, пресичаща АС и ВС съответно в точки K и L така, че CK = CL. Нека D е проекцията на С върху АВ, а О е центърът на окръжността, описана около тр. CKL. Да се докаже, че OM = OD.

Задачата е от НОМ в Полша и може да се реши без тригонометрия.
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Реклама







Пуснато на:     Заглавие: Реклама

Върнете се в началото
zhivko_sh
Начинаещ


Регистриран на: 22 Feb 2008
Мнения: 37

Репутация: 20.5Репутация: 20.5
гласове: 12

МнениеПуснато на: Sat May 23, 2009 9:01 am    Заглавие:

Хубава задача Wink .

Нямам време да пиша пълно решение, но ще напиша схематично моето решение: първо от Менелай следва, че AK=BL и е хубаво да построим точка P върху BC така, че LP=LC. Тогава имаме AC=BP. Нека CO пресича симетралата на CP в точка S. Тогава SC=SP, AC=PB и ъгъл SPB=180-ъгъл SPC=180-ъгъл SCP= 180-(90-гама/2)=90+гама/2. ъгъл SCA=гама+(90-гама/2)=90+гама/2. Следователно ъгъл SPB=ъгъл SCA и значи SPB и SCA са еднакви. Тогава SB=SA, т.е. S лежи на симетралата на AB. Значи SM е перпендикулярна на AB. Сега, ясно е, че CO=OP (от триъгълник CLS, който е правоъгълен) и тогава като погледнем трапеца CDMS, на който O е среда на CS следва, че петата на перпендикуляра от О към AB ще е средата на DM и оттам OM=OD.

П.С. извинявам се, че не съм писал [tex] и такива работи, но наистина нямам време. Надявам се, че и така тези, които се интересуват, ще могат да го прочетат.
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Покажи мнения от преди:   
   Форум за математика Форуми -> Олимпиади и състезания за 9-12 клас Часовете са според зоната GMT + 2 Часа
Страница 1 от 1

 
Идете на:  
Не Можете да пускате нови теми
Не Можете да отговаряте на темите
Не Можете да променяте съобщенията си
Не Можете да изтривате съобщенията си
Не Можете да гласувате в анкети
Може да прикачвате файлове
Може да сваляте файлове от този форум
Copyright © 2005-2020 math10.com.