OM = OD?

[Pinetop Smith]

Даден е тр. АВС, в който М е средата на страна АВ. През М е прекарана права, пресичаща АС и ВС съответно в точки K и L така, че CK = CL. Нека D е проекцията на С върху АВ, а О е центърът на окръжността, описана около тр. CKL. Да се докаже, че OM = OD.

Задачата е от НОМ в Полша и може да се реши без тригонометрия.

[Реклама]

[zhivko_sh]

Хубава задача .

Нямам време да пиша пълно решение, но ще напиша схематично моето решение: първо от Менелай следва, че AK=BL и е хубаво да построим точка P върху BC така, че LP=LC. Тогава имаме AC=BP. Нека CO пресича симетралата на CP в точка S. Тогава SC=SP, AC=PB и ъгъл SPB=180-ъгъл SPC=180-ъгъл SCP= 180-(90-гама/2)=90+гама/2. ъгъл SCA=гама+(90-гама/2)=90+гама/2. Следователно ъгъл SPB=ъгъл SCA и значи SPB и SCA са еднакви. Тогава SB=SA, т.е. S лежи на симетралата на AB. Значи SM е перпендикулярна на AB. Сега, ясно е, че CO=OP (от триъгълник CLS, който е правоъгълен) и тогава като погледнем трапеца CDMS, на който O е среда на CS следва, че петата на перпендикуляра от О към AB ще е средата на DM и оттам OM=OD.

П.С. извинявам се, че не съм писал [tex] и такива работи, но наистина нямам време. Надявам се, че и така тези, които се интересуват, ще могат да го прочетат.