Регистрирайте сеРегистрирайте се

Прости числа


 
   Форум за математика Форуми -> Теория на числата, Признаци за деление
Предишната тема :: Следващата тема  
Автор Съобщение
martin.nikolov
Напреднал


Регистриран на: 22 Apr 2009
Мнения: 489

Репутация: 35.5Репутация: 35.5Репутация: 35.5Репутация: 35.5
гласове: 21

МнениеПуснато на: Thu May 21, 2009 5:05 pm    Заглавие: Прости числа

Добре известно е, че има безкрайно много прости числа. Първото доказателсво е дадено от Евклид, в известната му книга "Елементи", която за разлика от популярното мнение не е книга само по геометрия, и е следното.

Допускаме, че са крайно много и ги означаваме с [tex] p_1, p_2, \dots, p_n [/tex]. От осовната теорема на аритметиката вскяко цяло число се представя като произведение на прости. Всеки от простите делители на [tex] N=p_1p_2\dots p_n+1 [/tex] е различен от всяко от простите числа в горния списък. Което противоречи на допускането, че това са всичките. Следователно не са крайно много.

Има и много други доказателсва, ако човек се рови може да намери какво ли не. Предлагам тук да се пишат тези които ви се струват интересни, да видим колко различни доказателства можем да намерим.
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Реклама







Пуснато на:     Заглавие: Реклама

Върнете се в началото
martin.nikolov
Напреднал


Регистриран на: 22 Apr 2009
Мнения: 489

Репутация: 35.5Репутация: 35.5Репутация: 35.5Репутация: 35.5
гласове: 21

МнениеПуснато на: Thu May 21, 2009 5:23 pm    Заглавие:

Ето още едно доказателство. То изпозва факти които не се учат в училище, затова ще ги напиша и ще ги приемем на доверие. Човека който ми го каза беше много горд от това доказателсво, защото е може би най-краткото, ако се знаят фактите е очевидно, и си го беше открил сам(преоткрил, предполагам това е добре известно).

Приемаме за известно представянето на Римановата зета фунция като Ойлерово произведение. Ето така:

[tex] \zeta(s) = \prod_{p\quad \text{prime}}\frac1{1-p^{-s}}[/tex]

Произведението е по всички прости числа.

Приемаме за известно, че [tex] \zeta(2) = \frac{\pi^2}6[/tex].

Също приемаме за известно, че [tex] \frac{\pi^2}6[/tex] е ирационално.

Тогава имаме:

[tex] \frac{\pi^2}6 = \prod_{p}\frac1{1-p^{-2}}[/tex]

Ако простите числа са крайно много то дясната страна на горното равенство е рационално число, но лявата е ирационално.
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
martin.nikolov
Напреднал


Регистриран на: 22 Apr 2009
Мнения: 489

Репутация: 35.5Репутация: 35.5Репутация: 35.5Репутация: 35.5
гласове: 21

МнениеПуснато на: Thu May 21, 2009 6:55 pm    Заглавие:

Още едно. Това е май най-различното по дух от останалите, които съм виждал. Топологично докзателство дадено от Furstenberg през 1955, тогава той е бил на 20 години. Доказателството изисква човек да знае какво е топология, за учениците това би било добър повод да се разровят и да научат какво е това.

Ето идеята на доказателството, ако някой иска подробности и ако не ме мързи ще ги напиша или ще потърся къде ги има из нета.

Дефинираме топология върху множеството на целите числа [tex]\mathbb Z[/tex] по следния начин. Подмножество [tex] U\subset \mathbb Z[/tex] е отворено, ако е празно или ако с всеки свой елемент [tex]a\in U[/tex] съдържа и аритметична прогресия с първи член [tex]a[/tex] т.е. [tex]\{dn+a\}\subset U[/tex] за някое [tex]d[/tex]. За краткост означаваме с [tex] A_{d,a}[/tex] аритметичната прогресия [tex]\{a, a+d, a+2d, \dots \}[/tex]. Естествено трябва да се провери, че това образува топология.

Съобразяват се следните неща: непразните отворени мновества са безкрайни, аритметичните прогресии са както отворени така и затворени, и всяко число различно от 1 и -1 принадлежи на на прогресия [tex] A_{p,0}[/tex] за някое просто число [tex]p[/tex]. Следователно имаме

[tex] \mathbb{Z}\backslash \{-1,+1\} = \cup_{p\quad \text{prime}} A_{p,0}[/tex].

Лявата старна не е затворено множество защото [tex]\{-1,+1}[/tex] не е отворено тъй като не е безкрайно. Ако има крайно много прости числа дясната страна би била затворено множество, като крайно обединение на затворени множества. Селдователно има безкрайно много прости числа.


Интерент е голяама работа. Ето тук доказателството с подробностите.

http://en.wikipedia.org/wiki/Furstenberg%27s_proof_of_the_infinitude_of_primes


Последната промяна е направена от martin.nikolov на Thu May 21, 2009 7:56 pm; мнението е било променяно общо 1 път
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
krainik
Фен на форума


Регистриран на: 01 May 2009
Мнения: 697

Репутация: 51.8
гласове: 44

МнениеПуснато на: Thu May 21, 2009 7:03 pm    Заглавие:

Достатъчно е да се докаже, че съществуват безброй много прости числа от вида [tex]an+k[/tex] за фиксирани цели(естествени) и взаимно прости [tex]a[/tex] и [tex]k[/tex] и цяло [tex]n[/tex]. Това всъщност е известната теорема на Дирихле. Известни са и отделни доказателства за някои от частните случаи.
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
martin.nikolov
Напреднал


Регистриран на: 22 Apr 2009
Мнения: 489

Репутация: 35.5Репутация: 35.5Репутация: 35.5Репутация: 35.5
гласове: 21

МнениеПуснато на: Thu May 21, 2009 7:09 pm    Заглавие:

krainik написа:
Достатъчно е да се докаже, че съществуват безброй много прости числа от вида [tex]an+k[/tex] за фиксирани цели(естествени) и взаимно прости [tex]a[/tex] и [tex]k[/tex] и цяло [tex]n[/tex]. Това всъщност е известната теорема на Дирихле. Известни са и отделни доказателства за някои от частните случаи.


Това е по-общо и по-трудно твърдение. Освен това идеята е тук да се пишат доказателствата, а не да се каже следва от еди коя си теорема. То иначе е ясно и лесно, следва от теоремата за безкрайно много прости числа.
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
krainik
Фен на форума


Регистриран на: 01 May 2009
Мнения: 697

Репутация: 51.8
гласове: 44

МнениеПуснато на: Thu May 21, 2009 7:25 pm    Заглавие:

Идеята ми беше, че са известни доказателства например, че числата от вида [tex]4k+1[/tex] са безброй много.
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
martin.nikolov
Напреднал


Регистриран на: 22 Apr 2009
Мнения: 489

Репутация: 35.5Репутация: 35.5Репутация: 35.5Репутация: 35.5
гласове: 21

МнениеПуснато на: Thu May 21, 2009 7:28 pm    Заглавие:

krainik написа:
Идеята ми беше, че са известни доказателства например, че числата от вида [tex]4k+1[/tex] са безброй много.


Да вярно е, простите от този вид са безкрайно много. Но аз имах предвид, че споменаването не дава доказателство. Ако искаш напиш доказателство.
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
krainik
Фен на форума


Регистриран на: 01 May 2009
Мнения: 697

Репутация: 51.8
гласове: 44

МнениеПуснато на: Fri May 22, 2009 3:35 pm    Заглавие:

Да допуснем, например, че числата от вида [tex]4k+3[/tex] са краен брой. Да ги означим с [tex]p_{1},...,p_{n}[/tex]. Да разгледаме числата [tex]A=p_{1}p_{2}....p_{n} +4[/tex] и [tex]B=p_{1}p_{2}...p_{n}+10[/tex]. Поне 1 от тези числа също ще дава остатък при деление на 4, тогава то ще има прост делител от вида [tex]4k+3[/tex], но и [tex]A[/tex], и [tex]B[/tex] са взаимнопрости с всяко [tex]p_{i}[/tex], т.е съществува просто число от горния вид, което да не сред [tex]p_{1},...,p_{n}[/tex]- противоречие.
ПП По аналогичен начин се доказва, че числата от вида [tex]3k+2[/tex] са безброй много.
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
dgs
Редовен


Регистриран на: 23 Jun 2008
Мнения: 228

Репутация: 25Репутация: 25Репутация: 25
гласове: 13

МнениеПуснато на: Fri May 22, 2009 6:47 pm    Заглавие:

[tex]B=p_{1}p_{2}...p_{n}+10[/tex]
Тук как сме сетили да добавим точно 10 ?
Не е ли по-естествено да добавим 2 (в краен случай 6)?

Нали разсъжденията са ни такива:
"Да разгледаме "първото" (най-малкото) число строго по-голямо от произведението [tex]p_{1}p_{2}...p_{n}[/tex], такова че това число да дава остатък 3 при делене на 4."

Не оспорвам верността на доказателството, но с това 10 ... все едно е преписано машинално отнякъде наготово.
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
krainik
Фен на форума


Регистриран на: 01 May 2009
Мнения: 697

Репутация: 51.8
гласове: 44

МнениеПуснато на: Sat May 23, 2009 8:47 am    Заглавие:

Не, сам го доказах. Наистина не ми дойде на акъла за 2, а за 6 имаме делител 3 Wink . Затова включих 10-ката.
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
dgs
Редовен


Регистриран на: 23 Jun 2008
Мнения: 228

Репутация: 25Репутация: 25Репутация: 25
гласове: 13

МнениеПуснато на: Sat May 23, 2009 10:47 am    Заглавие:

Сега пак се опитах да повторя доказателството ти в детайли (за да проумея защо 6 не става Embarassed ) и вече ми се струва, че не е толкова неестествено за добавим точно 10.

Извинявай за предишната ми забележка.
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
dim
Напреднал


Регистриран на: 28 Jul 2008
Мнения: 324

Репутация: 45.7Репутация: 45.7Репутация: 45.7Репутация: 45.7Репутация: 45.7
гласове: 21

МнениеПуснато на: Sat May 23, 2009 4:18 pm    Заглавие:

martin.nikolov, утрепа ме с това доказателство с дзета ф-я! Ти сигурен ли си всичко откъде идва и дали за доказателството на нито едно от всички твърдения, които използваш не се използва теоремата на Евклид за простите числа? Не съм специалист по дзета функция ама си мисля, че има голям риск от тафталогия тук...

Относно доказателството на krainik има неща, които ме озадачават.Примерно
Цитат:
...поне 1 от тези числа също ще дава остатък при деление на 4, тогава то ще има прост делител от вида [tex]4k+3[/tex]


Според мен е достатъчно да разгледаме числото [tex]A=p_1p_2...p_n+4[/tex], което при делене на [tex]4[/tex] винаги дава остатък [tex]3[/tex]. Значи [tex]A=4m+3[/tex]. От друга страна щом [tex]GCD(p_i,A)=1, (1\le i\le n)[/tex] то в каноничното разлагане на [tex]A[/tex] трябва да присъстват само прости множители от вида [tex]4k+1[/tex] =>[tex]A=4n+1[/tex]-противоречие ([tex]4m+3=4n+1[/tex] - четно=нечетно).
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
krainik
Фен на форума


Регистриран на: 01 May 2009
Мнения: 697

Репутация: 51.8
гласове: 44

МнениеПуснато на: Sat May 23, 2009 4:43 pm    Заглавие:

dim написа:

Според мен е достатъчно да разгледаме числото [tex]A=p_1p_2...p_n+4[/tex], което при делене на [tex]4[/tex] винаги дава остатък [tex]3[/tex].
Работата е там, че при четно [tex]n[/tex](не можем да знаем четността на [tex]n[/tex]) [tex]A\equiv1(mod4)[/tex], т.е думата "винаги" е грешно използвана Wink
dim написа:
([tex]4m+3=4n+1[/tex] - четно=нечетно).
Ко каза ко?

Последната промяна е направена от krainik на Mon May 25, 2009 2:43 pm; мнението е било променяно общо 1 път
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
dim
Напреднал


Регистриран на: 28 Jul 2008
Мнения: 324

Репутация: 45.7Репутация: 45.7Репутация: 45.7Репутация: 45.7Репутация: 45.7
гласове: 21

МнениеПуснато на: Sat May 23, 2009 5:34 pm    Заглавие:

[tex]4m+3=4n+1[/tex]=>[tex]2n=2m+1[/tex]-това имах впредвид. Що се онася за другото-недомислено е. Объркал съм се с твърдението, че произведението [tex]p_1p_2...p_n[/tex] е от вид [tex]4k+1[/tex] при [tex]p_i=4k_i+1[/tex]...
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
martin.nikolov
Напреднал


Регистриран на: 22 Apr 2009
Мнения: 489

Репутация: 35.5Репутация: 35.5Репутация: 35.5Репутация: 35.5
гласове: 21

МнениеПуснато на: Tue May 26, 2009 10:42 pm    Заглавие:

dim написа:
martin.nikolov, утрепа ме с това доказателство с дзета ф-я! Ти сигурен ли си всичко откъде идва и дали за доказателството на нито едно от всички твърдения, които използваш не се използва теоремата на Евклид за простите числа? Не съм специалист по дзета функция ама си мисля, че има голям риск от тафталогия тук...


Няма тавтология, всичко е коректно. Стандартното доказатеслво изпозващо дзета фунцията е да се изполва факта, че тя има полюс при [tex] s=1[/tex]. От Ойлеровото произведение, ако има крайно много прости числа, би следвало, че границата на фунцията при [tex]s[/tex] клонящо към 1 ще е крайна, което е противоречие с факта, че там фунцията има полюс.

Как ти хареса доказателсвото на Frustenberg?
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Покажи мнения от преди:   
   Форум за математика Форуми -> Теория на числата, Признаци за деление Часовете са според зоната GMT + 2 Часа
Страница 1 от 1

 
Идете на:  
Не Можете да пускате нови теми
Не Можете да отговаряте на темите
Не Можете да променяте съобщенията си
Не Можете да изтривате съобщенията си
Не Можете да гласувате в анкети
You cannot attach files in this forum
Може да сваляте файлове от този форум
Copyright © 2005-2021 math10.com.