Геометрична Задача 3

[JusTok]

В триъгълник ABC [tex]\angle BAC=30[/tex] и [tex]\angle ABC=40[/tex]. Върху правата AB е взета т. D, така че B e между A и D и AB=CD. Да се намери ъгъл ADC.

[Реклама]

[Pinetop Smith]

Хайде де! Не е толкова трудна. Още повече, че построението, което води до едно от решенията, е било коментирано и преди във форума...

[mousehack]

Нека [tex]\Delta ABT [/tex] е равностранен и точките [tex] T[/tex] и [tex] C[/tex] лежат в една и съща полуравнина относно [tex]AB[/tex].
Тогава [tex]\angle BAC=\angle TAC=30^\circ [/tex] , следователно правата [tex]AC[/tex] е височина,медиана и ъглополовяща в [tex]\Delta ABT[/tex].
Следователно [tex]\angle CTB=\angle CBT=20^\circ , \angle TCB=140^\circ [/tex]
Нека през точка [tex]T[/tex] начертаем права [tex] t [/tex] , така че [tex]t||BC[/tex]
Нека [tex] AB\cap t=D' => CBD'T [/tex] e трапец.
Тъй като [tex] t||BC => \angle TD'B=\angle CBA=40^\circ [/tex]
Тогава [tex] \angle TD'B+\angle TCB=40^\circ +140^\circ =180^\circ => CBD'T [/tex] е равнобедрен трапец.
Следователно [tex] TB=CD'[/tex].Но по условие имаме [tex] AB=AT=TB=CD[/tex] и тъй като [tex]D[/tex] и [tex]D'[/tex] лежат на една права следва че [tex] D\equiv D'[/tex]
Тогава [tex] CBDT [/tex] e равнобедрен трапец.
[tex] => \angle BCD=\angle CBT=20^\circ => \angle ADC=20^\circ [/tex]
Давай следващата .

[mousehack]

А иначе има и по-кратък начин.
[tex] \angle TCB=\angle CBD=140^\circ , TC=CB , TB=CD[/tex]
[tex] => \Delta TCB\equiv \Delta CBD[/tex] по четвърти признак.
[tex] => \angle ADC=20^\circ [/tex]

[martosss]

[mousehack]