Функционални уравнения

[TheXFiles]

Например уравнението [tex]3^{x}+4^{x}=5^{x}[/tex]. Всеки знае, че това са страните на египетския триъгълник и следователно x=2. Проблема ми е как е най-правилно да се докаже, че x=2 e единсвен корен.
[tex]3^{x}+4^{x}=5^{x}/5^{x}\ne 0[/tex]
[tex](\frac{3}{5 })^{x}+ (\frac{4}{5 })^{x}=1[/tex]

До скоро бих решил задачата по следния начин:
От лявата страна имаме сбор на 2 намаляващи функции => намаляваща функция. В дясната страна имаме линейна функция, която е константа т.е. графиката и е успоредна на абцисата.
=> графиките лявата и дясната страна могат да се пресекат в най-много в 1 точка т.е. x=2

Но на последния курс по математика към СУ решавахме въпросната задача по друг начин и доказателството беше с 2 случая за x>2 и x<2 и съответно, че няма решение и в двата. След като предложих горното, лектора ми каза, че това не е достатъчно и трябва да се докаже...

Въпроса ми е дали наистина би било непълно ако се остави така, защото съм виждал няколко пъти "моя" начин (при един и същи учител) без нищо допълнително и евентуално как би трябвало да се докаже?

Едит: да, забравил съм скобите..

[Реклама]

[mathinvalidnik]

3,4,5-Питагорова тройка

[r2d2]

Това, което си казал е предостатъ4но!

[TheXFiles]

[mathinvalidnik]

аз не разбирам ама забележи и ти как си разделил на [tex]5^{x}[/tex]

[tex]3^{x}+4^{x}=5^{x}/5^{x}\ne 0[/tex]
[tex](\frac{3}{5 })^{x}+( \frac{4}{5 })^{x}=1[/tex]

п.п. Същата работа е с [tex](3+4)^{x}=3^{x}+2.3.4+4^{x}[/tex] как се доакзва,че x=2