Олимпиада за участниците във форума

[Nona]

[Реклама]

[Мирослав Стоенчев]

Решения на задачите от Тема 4 - тази Неделя.

Временно класиране:

1 АДаскалов - 35т
2 Маги - 30т
3 Тони - 18т
4 Мартос - 3т

Упътване за задача 5 от тема 4: Докажете,че съществуват безбройно много двойки (а,b) oт
естествени числа такива, че [(2а+1)²+(2b+1)²]/[2n²(a²+b)+1]=2.

[Мирослав Стоенчев]

Решения на задачите от Тема 4.

Задача 4. Нека I-център на окръжността k.Нека ▲АBC е триъгълник от T. Ще докажем,че CF[tex]\bot [/tex]QI. Нека CI[tex]\cap[/tex]MN=T, CF[tex]\cap[/tex]k=Y. [tex]\angle[/tex]ITQ=[tex]\angle[/tex]IFQ=90° =>Q,F,I,T лежат на една окръжност. От ▲ICM => r²=|IT||IC|=>r/|IT|=|IC|/r =>|IF|/|IT|=|IC|/|IF| => ▲IFT≈▲ICF. Oт подобието следва [tex]\angle[/tex]ITF=[tex]\angle[/tex]IFC=[tex]\angle[/tex]IYF => I,F,T,Y лежат на една окръжност =>I,F,T,Y,Q лежат на една окръжност =>[tex]\angle[/tex]IFQ=[tex]\angle[/tex]IYF => [tex]\angle[/tex]IYQ = 90°=>CF[tex]\bot[/tex] QI.Нека IF[tex]\cap[/tex]k=S. Нека още R принадлежи на CF и ъгъл(RSF)=90°.Тогава търсеното ГМТ е множеството {C| [tex]\vec{FC}=\lambda \vec{FR} [/tex], λ>1}.(тук λ е реално число което пробягва интервала (1,∞)-така се получават всички точки от търсеното ГМТ. )



Задача 6. Подробно упътване е записано в темата "Олимпийска задача за ентусиасти" на адрес: http://www.math10.com/forumbg/viewtopic.php?t=2590&start=0

[Мирослав Стоенчев]

Решения на задачите от Тема 5 - през следващата седмица.

Временно класиране:

1 АДаскалов - 35т
2 Маги - 30т
3 Тони - 18т
4 Мартос - 3т

[Nona]

Тема 5, задача 2:

[Мирослав Стоенчев]

Решение на задача 1 от тема 5.
Ще намерим броя f(n,k) на растящите k-членни аритметични прогресии, т.е. с d>0. Нека прогресията е: a₁,a₁+d,...,a₁+(k-1)d. Тогава имаме 1≤a₁≤n-2, 1≤d, a₁+(к-1)d≤n. Получаваме 1) 1≤a₁≤n-2, 2) 1≤d≤[(n-a₁)/(k-1)], тук със [x]- e означена цялата част на x.От 1) и 2) стигаме до 3) f(n,k)=∑[(n-a₁)/(k-1)], където сумирането е по a₁=1,2,...,n-2. Получаваме 4)
f(n,k)=∑[i/(k-1)]=[2/(k-1)]+[3/(k-1)]+...+[(n-1)/(k-1)].
Да разделим (n-1) с частно и остатък на (k-1), т.е. (n-1)=t(k-1)+r, 0≤r≤k-2. За да пресметнем сумата в 4) да разгледаме редицата 0,1,2,...(k-1)-1;(k-1),(k-1)+1,...,2(k-1)-1;2(k-1),2(k-1)+1,...,3(k-1)-1;3(k-1),...,t(k-1)-1;t(k-1),t(k-1)+1,...,t(k-1)+r.
Т.е. разглеждаме редиците i(k-1),i(k-1)+1,...,(i+1)(k-1)-1, за i=0,1,2,...,t-1. - Всяка такава
редица има (k-1) на брой елементи и [(i(k-1)+j)/(k-1)]=[(i(k-1)+s)/(k-1)]=i, за всеки i,j: 0≤j<s≤k-2.
Сега да разгледаме t(k-1),t(k-1)+1,...,t(k-1)+r ; тук имаме [(t(k-1)+j)/(k-1)]=t, 0≤j≤r.
Toгава f(n,k)=∑[i/(k-1)]=[2/(k-1)]+[3/(k-1)]+...+[(n-1)/(k-1)]=(k-1)∑i+(r+1)t=(k-1)(0+1+2+...+(t-1))+(r+1)t=
(k-1)(t-1)t/2 + (r+1)t, където t=[(n-1)/(k-1)], r=n-1-(k-1)[(n-1)/(k-1)].

[Мирослав Стоенчев]

Tема 6


Задача 4. Да се намерят всички реални стойности на λ, за които редицата {a_n}, определена с a₁=λ, a_n+1=(a_n)²-a_n+1 при n≥1, e сходяща.

Задача 5. Даден е остроъгълен ▲ABC, CA≠CB, AD,BE и CF са височини, а точките O и H са
съответно център на описаната окръжност и ортоцентър на ▲ABC.Нека S е среда на отсечката CH, a T е диаметрално-противоположна на О спрямо центъра на описаната окръжност около ▲OFS.
Да се докажаче, че:

а) точките D,E и T лежат на една права
б) TN е допирателна към k_▲CDE, където N=k_▲CDE∩k_▲ABC.( тук k_▲CDE и k_▲ABC са съответно описаните окръжности на ▲CDE и ▲ABC)


Задача 6. Нека [tex]n\ge 3[/tex] е естествено число, а [tex]\lambda [/tex], [tex]\alpha _{1},\alpha _{2},...,\alpha _{n}[/tex] са реални числа удовлетворяващи равенствата:

1) [tex]\sum_{i=1}^{n}\alpha _{i}=\pi [/tex], като [tex]\alpha _{i}>0[/tex] за всяко [tex]i=1,2,...,n[/tex]
2) [tex]\lambda sin\alpha _{i}=tg(\frac{a_{i-1}+a_{i}}{2})+tg(\frac{a_{i}+a_{i+1}}{2})[/tex], за [tex]i=1,2,...,n[/tex], като [tex]a_{0}=a_{n},a_{n+1}=a_{1}[/tex]

Да се намерят всички стойности на [tex]\lambda [/tex], за които съществува [tex]n[/tex]-торка [tex](\alpha _{1},\alpha _{2},...,\alpha _{n})[/tex], удовлетворяваща 1) и 2).

[Nona]

[Мирослав Стоенчев]

Решения на задачите от Тема 6 - следващата седмица.

Временно класиране:

1 Нона - 37т
2 АДаскалов - 35т
3 Тони - 18т
4 Мартос - 3т

[Мирослав Стоенчев]

Тема 7

Задача 1. За всяко естествено число [tex]n,[/tex] с [tex]d(n)[/tex] означаваме броя на естествените делители на [tex]n.[/tex]Да се докаже, че за всяко естествено число [tex]m[/tex], съществуват безбройно много двойки [tex](k,n)[/tex] от естествени числа, такива че [tex]n[/tex] има повече от [tex]m[/tex] различни прости делители и
[tex]n=(d(n))^k.[/tex]

Задача 2. Даден е остроъгълен [tex]\triangle ABC,[/tex] [tex]CA\ne CB;[/tex] [tex]O,H,F[/tex] са съответно център на описаната окръжност, ортоцентър и пета на височината от върхът [tex]C[/tex] към [tex]AB[/tex] на [tex]\triangle ABC[/tex].Нека още [tex]\angle DFO=\angle EFO=90^\circ [/tex], където [tex]D[/tex] принадлежи на [tex]BC,[/tex] а точка [tex]E[/tex] принадлежи на правата минаваща през [tex]A[/tex] и [tex]C[/tex].
Да се дoкаже, че [tex]\angle DHE=\angle ACB.[/tex]

Задача 3. Разглеждаме всички оцветявания на ребрата на пълен граф със 17 върха в 2 цвята (бял,черен), без черни 3 клики и без бели 6-клики.Съществува ли оцветяване между разглежданите, за което поне от 12 върха на графа да излизат точно по пет черни ребра?

[Мирослав Стоенчев]

Тема 8

Задача 4. Да се реши в естествени числа уравнението [tex]x!+y!=(z!)^{2}.[/tex]

Задача 5. Да се намерят всички монотонни функции [tex]f:\R\to\R,[/tex] такива, че [tex]f(x+f(y))=f(x)+y,[/tex] за всеки [tex]x,y\in \R.[/tex]

Задача 6. В четириъгълникът [tex]ABCD[/tex] е вписана окръжност с център [tex]O,[/tex] [tex]AB\cap CD=E,[/tex] [tex]AD\cap BC=F,[/tex] [tex]AC\cap BD=P.[/tex] Да се докаже, че [tex]OP\bot EF.[/tex]

[administrator]

Според мен трябва всички участници, които имат по-малко точки от първия да гласуват по 1 път за най-добрия в края на всеки кръг.

[Мирослав Стоенчев]

Тема 9


Задача 1. Нека [tex]\alpha,\beta,\gamma[/tex] са ъгли на триъгълник. Да се намери най-голямата стойност на израза [tex]\ \cos\alpha+\cos\beta+\cos\gamma+\cos\alpha\cos\beta\cos\gamma.[/tex]

Задача 2. Нека [tex]P[/tex] e [tex]n[/tex]-ъгълник вписан в окръжност и описан около друга окръжност, без двойки равни страни. Да се докаже, че правата през центровете на вписаната и описаната окръжности, пресича във вътрешни точки най-късата и най-дългата страна на [tex]P.[/tex]

Задача 3. Нека [tex]h_{a},h_{b},h_{c},\ r_{a},r_{b},r_{c}[/tex] са съответно дължините на височините и радиусите на външно-вписаните окръжности за произволен триъгълник. Да се докаже, че [tex]\ \frac{r_{a}}{h_{b}+h_{c}}+\frac{r_{b}}{h_{c}+h_{a}}+\frac{r_{c}}{h_{a}+h_{b}}\ge \frac{3}{2}.[/tex]