Задачи - авторски предложения

[ins-]

Известно е, че [tex]a, b, c[/tex] са три реални неотрицателни числа, за които: [tex]a+b+c=1[/tex].
Да се определят минималната и максималната стойности на израза:
[tex]\frac{1-a^{2}}{1+a^{2}} + \frac{1-b^{2}}{1+b^{2}} + \frac{1-c^{2}}{1+c^{2}}[/tex]

Борислав Мирчев /Роман - България/, Mathias Tejs /Farum - Denmark/

[Реклама]

[astateoftrance]

Минимална стойност 2, но максималната нещо не мога да я намеря

[dim]

[tex]1-\frac{1-a^2}{1+a^2}+1-\frac{1-b^2}{1+b^2}+1-\frac{1-c^2}{1+c^2}=\frac{2a^2}{1+a^2}+\frac{2b^2}{1+b^2}+\frac{2c^2}{1+c^2}\le\frac{2a^2}{2a}+\frac{2b^2}{2b}+\frac{2c^2}{2c}=a+b+c=1 [/tex]<=>[tex]\frac{1-a^2}{1+a^2}+\frac{1-b^2}{1+b^2}+\frac{1-c^2}{1+c^2}\ge 2[/tex]

[ins-]

браво! добра идея ... а кога се достига минимума? за минимума има и друг начин ...

[dim]

НМС достига при две единици и една нула, а НГС при равни променливи-[tex]\frac{12}{5}[/tex], но за последното още ме съм намерил формална обосновка.

[ins-]

Попитах, защото от решението на dim някакси не става ясно кога се достига минимума.

[estoyanovvd]

[ins-]

Давайте ... задачата е по-лесна, отколкото изглежда и е "красива" ... поне изглежда "красиво" и решението ѝ ми харесва.
Ако още известно време никой не успее да я реши - ще пусна решение.

[dim]

[ins-]

Да, задачата има много решения ... има поне още едно за минимума, а също така за максимума - може да се определи еднозначно кога се достига. Това с максимума става по начин, подобен на неравенството, давано на Олимпиада на Полша - 1996 - II кръг.

[estoyanovvd]

Ето ви едно мое предложение за задача на седмицата:

Даден е изпъкнал четириъгълник ABCD....

[estoyanovvd]

Ужас! Пак я пратих първо там, където не трябва! Вече я има на две места!

[ins-]

Задачата е красива ... авторска ли е?

[estoyanovvd]

Абсолютно авторска! Това всъщност е нещо като следствие от един мой доклад на пролетната конференция по математика през 2000 и някоя си година. Ще го публикувам и него, но след като решите задачата! Междувпрочем сега се сещам, че отдавна искам да попитам дали някой от съфорумниците би се наел да преведе материалите, които пуснах на английски, защото имам идея да ги изпратя в едно геометрчно онлайн списание? Знам, че звучи нахално, но да попитам все пак,а?

[ins-]

Съжалявам за глупавия въпрос ... видях и другата тема, където е публикувана. Виждал съм преди време нещо подобно, но не мога да си спомня къде. Ако ми остане време мога да се опитам да реша задачата. Наистина ценна задача. Странно ми е, че досегашната задача на седмицата остана нерешена. Според мен - или е много трудна, или не е харесала на хората.

[estoyanovvd]

Доста трудна е. И е хубава! Ще я мъчиме още!

[ins-]

Г-н Стоянов, предполагам, че имам идея как може да се реши предложената от Вас задача. Тук предлагам само скица.
1. На чертежа можем да видим, че се образуват множество успоредници (комбинирани с триъгълници).
2. Част от тях имат общи елементи ... (PL и KQ).
3. Ако разгледаме няколко подобни триъгълника и извършим относително прости манипулации с равенства можем да стигнем до желаното твърдение.

Бих искал да попитам дали това е подхода, които сте имали в предвид?
Как се досетихте за тази задача?
Ако имате набрано решение бих искал да Ви помоля да го пуснете, за да могат повече хора да му се насладят.
Още веднъж - поздравления за красивата задача!
До къде стигнахте със задачата на седмицата?

[estoyanovvd]

Твърде общо казано! По този начин се решават може би хиляди задачи! Въпросът е да се намери подходящата комбинация. И за кои успоредници са общи PL и KQ? Ще пусна решението по-късно защото се надявам да пуснат задачата като задача на седмицата! Колкото до сегашната задача на седмицата нямах никакво време да я решавам, защото ходих на турнира за купата на декана, а също така ми се натрупаха и доста контролни за проверка!!! Съжалявам!

[allier]

Za maksimuma:

[tex] \frac{1-a^{2}}{1+a^{2}}[/tex] [tex] \le [/tex] [tex] \frac{29-27a}{25} [/tex]

[allier]

Za zadachata na g-n Stoyanov:

[tex] \frac{BS}{DM} [/tex] = [tex] \frac{sin D}{sin B} [/tex]. [tex]\frac{sin \angle DBC}{sin \angle BDC} [/tex]

[tex] \frac{BT}{DN} [/tex] = [tex] \frac{sin D}{sin B} [/tex]. [tex]\frac{sin \angle ABD}{sin \angle ADB} [/tex]

Sledovatelno: [tex] \frac{BS}{BT} [/tex] = [tex] \frac{AB}{BC} [/tex], toest ST || AC.

Togava, [tex] \frac{BX}{DY} [/tex] = [tex] \frac{BS . sin \angle BAC}{DM . sin\angle DAC} [/tex] = [tex] \frac{AC}{BD} . \frac{BD}{AC} [/tex] = 1

Razbira se tova e samo shematichno reshenie (i grozno pri tova) za da mojete da si urpajnyavate smqtaneto sus sinusova teorema i da si populnite lipsvashtite chasti. Izvinyavam se i za latinicata.

[ins-]

Нека да бъда малко по-кокретен. Ако не греша - [tex]BX=\frac{PL.KQ}{PL+KQ}=DY[/tex]. До този извод стигнах без тригонометрия. Само с разглеждане на успоредници, подобни триъгълници и преобразувания над получените пропорционални отсечки.


(Разглеждал съм успоредниците с диагонали ST и MN. Ако разсъжденията ми са правилни - условията: ST||AC и MN||AC- не са необходими.)

[allier]

V koq dvoika podobni triygylnici vkarvash naprimer DY ako ne polzvash che MN || AC ?

[ins-]

Явно ще се наложи да разпиша решението подробно. При първа възможност ще го направя.

[r2d2]

[ins-]

Решението не е особено "красиво", но е относително приемливо ... когато съставих задачата нямах решение и започнах да го търся и така ... за максимума видях решение, използващо неравенство на Карамата, а за минимума съм виждал поне още едно решение.

allier - имах в предвид как ще се реши текущата задача на седмицата? (която се вижда на заглавната страница на форума - с равностранните триъгълници)

[ins-]

По задачата на г-н Стоянов. От Zad-ESt-1.jpg - виждаме, че четириъгълниците - PLBV и BUQK са успоредници. Следователно - BV=PL и BU=QK.
Нека PL=a, а KQ=b.
Разглеждаме Zad-ESt-2.jpg.
BV=PL=a, BU=KQ=b
VU=BV-BU=a-b
UW/BT=UV/BV=(a-b)/a
UW=BT-SU
(BT-SU)/BT=(a-b)/a
1-(SU/BT)=(a-b)/a
SU/BT=b/a
XU/BX=SU/BT=b/a
XU/BX=b/a /+1
b/BX=(b/a)+1
BX=ab/(a+b).
По аналогичен начин се доказва, че DY=ab/(a+b).
Следователно BX=DY.
Ако имате въпроси с радост ще се опитам да отговоря!
Какво е оригиналното решение на задачата?

[estoyanovvd]

Може да видите решението в материала, който пуснах във форума Теория свързана с олимпиади! Буквите са други и има малка разлика, но се надявам да се оправите!!!

[estoyanovvd]

[Saposto_MM]

Намерете [tex]\forall x,y,z\in\mathbb{N_{0}}[/tex], такива, че [tex]2^{x}+7^{y}=3^{z}[/tex].

[Saposto_MM]

Намерете всички прости числа p и q, за които [tex]p^{3}+3q+p=q^{2}[/tex].