Да се поизпотим през лятото

[JusTok]

Ето едно интересно:
Да се докаже, че
1+2+2²+2³+...+2^(n-1)≤2ⁿ
където n е естествено число

[Реклама]

[JusTok]

[Pinetop Smith]

Justok, доказателството, което написах в страницата на турнира му:

[JusTok]

ах как не се сетих бе хем получих, че иначе не възможно тъй като ако коловете са по 7,5 метра тогава средата на въжето ще се допира точно до земята и разстоянието на въжето от кола то средата ще е 15/2=7,5 а пък не е възможно перпендикуляр да е равен на половината въже освен ако са долепени.

[Pinetop Smith]

Едно уравнение от седма степен:

x⁷ - 14x⁵ + 49x³ - 36x = 0

Вярно е, че на олимпиадата са го дали разложено донякъде, но аз вярвам във вас...!

Не съм ли извратен

[soldier_vl]

[Pinetop Smith]

Опитай се да го разложиш. Крайният отговор е много красив...

[martosss]

е ми не е трудно... става х(х²-1)(x²-9)(x²-4)=0 => корените са -3;-2;-1;0;1;2;3

[maia]

x^7 - 14x^5 + 49x^3 - 36x = x(x^6 - 14x^4 + 49x^2 - 36) = x[ x^2(x^2 -7)^2 - 6^2]= x[x(x^2 - 7) -6] [x(x^2 - 7) + 6] = x(x^3 - 7x - 6)(x^3 - 7x + 6) =0; x^3 - 7x - 6 = x^3 + 3x^2 + 2x - 3x^2 -9x -6 = x(x^2 +3x + 2) - 3( x^2 + 3x + 2) = (x^2 + 3x + 2)(x - 3) = (x^2 + x + 2x +2)(x - 3) = [x(x + 1) +2(x + 1)](x - 3) = (x + 1)(x + 2)(x - 3); x^3 - 7x + 6 = x^3 + x^2 - 6x - x^2 - x + 6 = x(x^2 + x -6) - (x^2 +x -6) = (x^2 + x - 6)(x - 1) = (x^2 +3x - 2x - 6)(x - 1) = [x(x + 3) - 2(x + 3)(x - 1) = (x +3)(x - 2)(x - 1) или общо уравнението е: x^7 - 14x^5 + 49x^3 - 36x = x(x +1)(x + 2)(x - 3)(x + 3)(x - 2)(x - 1) = 0 с корени: 0,±1,±2,±3 това е по материала за 7 клас, иначе с пряко деление или Хорнер

[Pinetop Smith]

Да, така е, обаче аз получих някакви кубични красоти... няма нищо, тъкмо съм си поблъскал главата. И получих същите корени. Това е олимпиадата по математика от 2004 - 7 клас.

В множество М влизат всички трицифрени числа, на които първата и последната цифра са равни. Да се намери най-големия общ делител на числата.

Едит: Да, същото като Мая получих аз.

[JusTok]

Сега се сетих за една задача, която беше на третия кръг на тестовете и не успях да реша. Единия ъгъл в триъгълник е 19° а произведението от трите ъгъла е точен квадрат. Да се намери най-големия ъгъл. Не помня възможните отговори.

[Pinetop Smith]

Наистина не е лесно.

Тъй като 19 е просто число, то тогава един от ъглите трябва да е 19.х. Тогава, за да е точен квадрат, третият ъгъл трябва да е х. (19.19.х.х = (19х)²)

19 + 19х + х = 180

19 + 20х = 180

20х = 161

х = 161/20 = 8,05 = 8° 03' . Тогава най-големият ъгъл е 152° 57', което е меко казано отвратителен отговор.

Проверка:

С калкулатор:

19.8,05.152,95 = 23393,7025

[tex] \sqrt{23393,7025} [/tex] = 152,95

С мозък:

Щом ъглите са 19, 19х и х, то тогава произведението на първия и третия ще бъде равно на втория, смяташ 8,05.19 и получаваш 152.95
Колко точки изкара?

[maia]

Отговорът е 133°. след като 19ху=а^2, където х и у са другите два ъгъла, то един от тях е кратен на 19 и по-малък от 161°, възможностите са 19.1; 19.2;.....,19.7, за всеки намирам третия ъгъл и проверявам условието

[Pinetop Smith]

Моят отговор грешен ли е?

[JusTok]

Сега седнах да й се почудя още малко и с малко научкване намерих друг отговор ама с цели числа 19,28,133; 19=1.19;28=2.2.7;133=19.7, иначе не питай колко точки имам щото ме е срам пък на втория кръг имах 99
Edit: май сме писали заедно.

[Pinetop Smith]

Да, Мая е получила същия отговор така като гледам. Само странно защо тия от МОН са дали задача с два верни отговора... макар и с цели числа, този отговор не е по-правилен от моя, тъй като и в двата случая е изпълнена изискването

А иначе няма какво да те е срам, самия факт, че си стигнал дотам, говори достатъчно, пък и имаш убийствен резултат на 2-ри кръг... но както решиш.

В ПМГ Варна ли ще учиш?

[JusTok]

В МГ, иначе на теста са дадени възможни отговори, от които само 1 е верен, така че на тестовете могат да си позволят такива задачи.

[Pinetop Smith]

Аз си помислих, че е с отворен отговор... тогава да. Ми то тогава става и с проверка на всеки верен отговор.

[JusTok]

Ето още една задача: Да се намери сборът на числата a и b, ако е известно, че равенството:
[tex]\frac{2x+1}{x^4-1 }=\frac{1}{4(x+1) }+\frac{3}{ 4(x-1)}+\frac{a-bx}{x^2+1 }[/tex]
е изпълнено за всяко x≠±1
отговор:1/2
Еми става с проба ама тази задача беше една от последните и ми оставаха 1-2 мин :/

[maia]

Да, Николай, и твоето решение е вярно, (но без калкулатор е убийствено като смятане) освен ако не е имало условие за цели числа

[JusTok]

Гледам никой не го е доказал това

[JusTok]

[Pinetop Smith]

[killerbeast]

1.За четириъгълника АВСD е известно,че [tex]\angle[/tex] [tex]BAD[/tex]+[tex]\angle[/tex] [tex]BCD[/tex][tex]=180[/tex][tex]^\circ[/tex] и ъглополовящите на ъглите му при върховете А и В се пресичат в точка М от страната СD.През М е прекарана права,успоредна на АВ,която пресича АD и BC съответно в точките P и Q.Да се докаже,че [tex]PQ=PA+QB[/tex] и [tex]DC=DA+CB[/tex].

[Pinetop Smith]

Последни задачи:

Да се докаже, че ако две от медианите в триъгълник са равни, то триъгълникът е равнобедрен.

Да се представи числото [tex]A = 4(a^2 + b^2 + c^2)[/tex] като сбор от четири квадрата.

До следващото лято!