Пролетен Математически Турнир "Атанас Радев" 2008

[r2d2]

[Реклама]

[v1rusman]

...за да видите,че решението ми не е с ЛЮБИМИТЕ им сравнения,без които никоя задача от теория на числата не може да се реши^^

[soldier_vl]

Дочух че на 9 клас има сгрешена задача, нещо да кажете???

[katalizator_]

[Peter,theResolutionMaster]

Ако някой има отборното класиране на ПМТ 2008 моля да каже!!!

[insight]

[v1rusman]

Съмнявам се някога да има сбъркана задача на такъв тип състезание-никой не би го допуснал.

[soldier_vl]

Ми нямам идея. Но ми казаха, че има грешка и че един ученик я е открил няма да цитирам имена. Просто споделям чутото

[angelinka]

[insight]

[angelinka]

Molia nai-smireno za Vasheto izvinenie. Ne se i opitvam daje da se izkazvam competentno. Samo popitah, i Vie mi otgovorihte.
Vcera na tunel Ecemishka na avtomagistrala Hemus vecerta stana katastrofa i microbus s 15 dushi padna v dereto, zashtoto na shofior na TIR mu otkazali spirackite. Edin covek e zaginal na miasto, mnozina sa raneni.
Tozi slucai me razstroi i se pitam za jertvite i blizkite im montiorskata rabota ili piinalia shofior dali im izglejdat kato netocnost, greshka ili nekompetentnost.
Dramatizmut na nashia slucai ne e takuv, no za tezi, koito haresvat sustezaniata i viarvat, ce mathematikata moje bi e edna ot malkoto "cisti" teritorii na intelectualno surevnovanie makiavelizmut ne e prisusht.
Blagodaria na vsicki organizatori i na jurito i se nadiavam nekompetentno "netocnostite", koito vsicki dopuskame da ne se prevrushtat v greshki.

[podprian]

Ангелинке, кучетата си лаят, а керванът си върви. На кривата ракета космосът и крив. Мога да продължа с пословици и поговорки, но по-добре да не си губя времето с това и да се върна към задачите- в тях е истината. Нещо не съм те видял една задача да решиш- само дрънканици- този виновен , онзи сбъркал. Женски приказки на пазара. Остава пак да ни запознаеш с девическия си любовен живот.

[Predator]

Плс някои да напише решенията на темата за 9 клас да ги сравня с моите

[Kubrat]

Дами/Господа, нека се завърнем към основната тема на нашето занимание в тази тема, а именно задачите.

За тези които не ме познават, аз съм Кубрат Данаилов; ученик в 9-ти клас на Американския Колеж в София. Преди 8-ми клас бях ученик в Софийската Математическа Гимназия. Лауреат съм на множество национални състезания и конкурси по МАТЕМАТИКА, ФИЗИКА И ЛИТЕРАТУРА; както и златен медалист на PEMIC 2005 и Младежката Балканска олимпиада по математика, Шумен 2007; сребърен медалист от PMWC 2005, носител на купата Po Leung Kuk с отбора на СМГ.

По-долу са изложени решенията, които успях да измисля на задачите за моят клас (забележка: това не са авторовите решения, въпреки че на моменти може би имат нещо общо . Ако има някаква неточност, се извинявам предварително. Съжалявам, ако на някои места може да съм вмъкнал английски език в обясненията. В други случаи тривиалните обяснения са пропуснати.) За спорната 3-та задача съм разглеждал този път случая, в който триъгълникът не е равнобедрен.

PS

Podrian, от известно време следя този форум, в частност темите за пролетния турнир и зимните състезания. В тях ти блестиш с цинизма си. Опитваш се да обидиш, да омаловажиш чуждите успехи и да изтъкнеш грешките на другите. Въпреки, че обиждаш angelinka на тема решаване на задачи, самият ти скрит зад ника си не значиш повече от нея. За да отправяш такива нападки трябва да покажеш знания и умения, както и поведение на по-високо ниво.

Относно задача 3 от Пролетния турнир аз бях един от участниците, които показаха контрапримера. Въпреки това по-долу е изложено решение за другия случай. Спрямо коректността на журито ще кажа само „пръв да хвърли камък този, който не прави грешки”. Все пак дано това не се повтаря за в бъдеще. Angelinke, не бъди толкова строга и крайна в оценките си за верността- нека оставим това занимание на журито. Insight, не е логично да се търси компетентност и точност от тийнейджър. Всички знаят, че сме в трудна възраст.

Задача 1.

Нека положим [tex]3x^3-2x+15=y[/tex]
->
[tex]\sqrt{y}+\sqrt{y-7}=7[/tex] / [tex]^2[/tex]
->
[tex]y+y-7+2(\sqrt{y^2-7y})=49[/tex]
->
[tex]y+\sqrt{y^2-7y}=28[/tex]
->
[tex]y^2-56y+676=y^2-7y[/tex]
->
[tex]y=16[/tex]
->
[tex]3x^3-2x-1=0[/tex]
->
[tex]x=1[/tex]

Задача 2.

Разделяме 2те уравнения съответно на [tex]\sqrt{2x}[/tex] и [tex]\sqrt{3y}[/tex]

[tex]\rightarrow[/tex]

1.След събиране получаваме:

[tex]\frac{1}{\sqrt{2x}}+\frac{1}{\sqrt{3y}}=1 [/tex]

[tex]\rightarrow[/tex] Очевидно

[tex]\frac{p}{2q^2}=\sqrt{2x}[/tex]

и

[tex]\frac{k}{2l^2}=\sqrt{3y}[/tex] защото [tex]1+-\frac{a}{x+y}[/tex] са рационални числа

([tex](p,q)=1;(k,l)=1[/tex] са естествени числа)

[tex]\rightarrow[/tex]

[tex]\frac{q}{p}+\frac{l}{k}=1[/tex]

[tex]\rightarrow[/tex]

[tex]k=p, l=p-q[/tex] защото 2те дроби са несъкратими.[/tex]

[tex]\rightarrow[/tex]
2.Чрез изваждане получаваме

[tex]\frac{a}{x+y}=\frac{q}{p}-\frac{p-q}{p}=\frac{2q-p}{p}[/tex]

[tex]\rightarrow[/tex]

Записваме [tex]\frac{a}{x+y}=\frac{a}{\frac{p^2}{2q^2}+\frac{p^2}{3(p-q)^2}}[/tex]

[tex]\rightarrow[/tex]

[tex]a=\frac{(2q-p)p(3(p-q)^2+2q^2}{6q^2(p-q)^2}[/tex]

[tex]\rightarrow[/tex]

От дефинирането на p и q и от съображения за делимосста на числитиля, лесно се стига до извода че или q=1 или 2q=p. Второто очевидно е изпълнено за а=0. От съображение че ако a е корен на системата, то и –а е корен БОО [tex]a>0[/tex]

[tex]\rightarrow[/tex]

[tex]2q-p>0 \leftrightarrow p=1 [/tex] т.е. [tex]y=\frac{1}{0}[/tex] Противоречие.

Задача 3.

Нека изполваме стандартни означения.

[tex]\rightarrow[/tex]

[tex] G,I,P are collinear[/tex]

[tex]\rightarrow[/tex]

Нека [tex]CM,CL[/tex] са съответно медиана и ъглополовяща; БОО AC<BC

[tex]\rightarrow[/tex]От теорема на Менелай за триъгълник [tex]CML[/tex] ( в този случай М и L не съвпадат т.е. съществува триъгълник за който да приложим теоремата)

[tex](\frac{CG}{GM})(\frac{MP}{PL})(\frac{LI}{IC})=1[/TEX]

[tex]\leftrightarrow[/tex]

[TEX](\frac{PL}{MP})(\frac{IC}{LI})=2[/TEX]

[tex]\rightarrow[/tex]

[TEX]MP=\frac{C}{2}-p+c=\frac{a-b}{2}[/tex]

[tex]PL=\frac{bc}{a+b}-p+a[/tex]

В триъгълник[tex]CLB, CI[/tex] е ъглополовяща т.е [tex]\frac{IC}{LI}=\frac{BC}{BL}=\frac{a}{\frac{ac}{a+b}}=\frac{a+b}{c}[/tex]

[tex]\rightarrow[/tex]


[tex]\frac{1}{2}=\frac{(a-b)c}{2bc-(ac+bc+b^2-a^2)}=\frac{(a-b)c}{bc-ac+a^2-b^2}=\frac{(a-b)c}{(a-b)(a+b-c)}=\frac{c}{a+b-c}[/tex]

[tex]\rightarrow[/tex]

[tex]3c=a+b[/tex], откъдето директно следва б)

Нека [tex]SABC=S, SCGR=X, SCGQ=Y, SCRQ=Z[/tex]

[tex]\rightarrow[/tex]

[tex] X=S(\frac{CR}{AC})(\frac{AM}{AB})(\frac{CG}{CM})=\frac{1}{3}\frac{p-c}{a}S[/tex]

[tex] Y=S(\frac{CQ}{BC})(\frac{BM}{AB})(\frac{CG}{CM})=\frac{1}{3}\frac{p-c}{b}S[/tex]

[tex] Z=S(\frac{CR}{AC})(\frac{CQ}{BC})=S(\frac{(p-c)^2}{ab}) [/tex]

Но [tex]X+Y=Z+SGRQ[/tex]

G,R,Q лежат на 1 права [tex]\leftrightarrow X+Y=Z[/tex]

[tex]\leftrightarrow[/tex]

[tex](\frac{1}{3})(p-c)(\frac{a+b}{ab})=\frac{(p-c)^2}{ab}[/tex]

[tex]\leftrightarrow[/tex]

[tex]a+b=3(p-c)[/tex]

[tex]\leftrightarrow[/tex]

[tex]a+b+c+2c=P+p \leftrightarrow 3c=a+b [/tex]

Задача 4.

Нека допуснем че съществуват такива числа [tex]\rightarrow[/tex]

Очеидно 3 не дели [tex] x^4y^2+1 \rightarrow 3^m|y^2-1[/tex]

Ако [tex] 37|x^4y^2+1[/tex] и [tex] 37|y^2-1 [/tex]

[tex]\rightarrow[/tex]

[tex] 37|(x^4+1)y^2 \rightarrow 37|x^4+1[/tex]

[tex]\rightarrow[/tex]

[tex]37|x^(36)+1[/tex] но от малката Теорема на Ферма имаме [tex]37|x^(36)-1[/tex]

[tex]\rightarrow[/tex] Противоречие.

[tex]\rightarrow[/tex]

[tex]x^4y^2+1=37^n и y^2-1=3^m[/tex] Последното е изпълнено само за y=2 ([tex](y-1)(y+1)=3^m \leftrightarrow y-1=1[/tex])

[tex]\rightarrow[/tex]

[tex]4x^4+1=37^n=(2x^2-2x+1)(2x^2+2x+1)[/tex] Очевидно x=1 не е решение [tex]\rightarrow 2x^2-2x+1>1 \rightarrow 37|2x^2+-2x+1[/tex]

[tex]37|4x \rightarrow 37|x[/tex] Противоречие.

[puhcho0411]

може ли да дадете линк към всички условия за 9-12 клас?