Авторски Задачи

[ins-]

На предложения URL има мое решение на тази задача моля да го погледнете и да ми кажете дали е коректно, както и да зададете въпроси, ако имате. Ако всичко Ви е ясно - можете да решите задачата в случаите, когато U, V, W съвпадат. И когато триъгълника не е остроъгълен. Съжалявам, че не приложих решение, но файла, който се опитах да изпратя е 151 K, а има ограничение от 50 ... Благодаря за отделеното време. Надявам се предложените от мен задачи да са интересни за Вас.

[Реклама]

[Мирослав Стоенчев]

Прав си ins-! В бързината да реша задачата съм сметнал б.о.о.,че a≥b≥c. Наистина можем да считаме, че а=max{a,b,c}, но освен случая 1) a≥b≥c, съществува случай 2)a≥c≥b при който следва "обрата".Точно в този случай не е вярно твърдението,че при всеки a,b,c: G(a,b,c)=0 => G(a,b,c)≥H(a,b,c).
Изложеното от мен решение е вярно само за разгледания случай 1), но е пропуснат случай 2) който напрактика показва,че съществува неравностранен триъгълник с исканото свойство.Много се извинявам за пропуска, но така става когато човек бърза и не е проверил решението си за пропуснати случаи.
Интересно следствие от твоята задача е следното: Ако a≥b≥c са страни на тригълник,то

а²b(a-b)(a+b)+b²c(b-c)(b+c)+c²a(c-a)(c+a)≥0,
кaто равенство се достига само при a=b=c.

[ins-]

Да, наистина е интересно. Интересна е и откритата зависимост за страните на триъгълника. Аз не бях стигал до нея. Интересно е и неравенството за израза G(a,b,c). То малко ми напомня на една задача от 4 кръг 1980 г. Моето решение е грешно. И на mathlinks.ro никой не успя да даде решение и вече задачата е в Open Questions. Нека който може да помага. Може и Magi да се включи, или някой друг, който е добър математик. Но предупреждавам, че от тази задача боли глава. Поне на мен така ми действа. Ако може с помощта на софтуер някой да види дали триъгълник с посочените свойства е равностранен също няма да е зле.

[Titu_Andrescu]

Любопитна информация:

[Мирослав Стоенчев]

L_a=m_b=h_c.
Д-во. Имаме h_c=L_a≥h_а и h_c=m_b≥h_b => h_c≥max{h_a,h_b} => c ≤ min{a,b}.Имаме още m_b=L_a≤m_а =>m_b≤m_а <=> b≥a. Така получихме,че c≤a≤b =>γ≤α≤β .
Нека AA₁, BB₁, CC₁ са ъглополовящата през А, медианата през B и височината през C. Нека E и F са съответно петите на перпендикулярите от B₁ към AB и CB. Тогава B₁E = (1/2)h_c=(1/2)BB₁ => ъгъл(АBB₁)=30°.
B₁F=(1/2)h_a≤(1/2)L_a=(1/2)h_c => sin(FBB₁)≤1/2 => ъгъл(FBB₁)≤30° => ъгъл(АBC)= 30°+ъгъл(FBB₁)≤60°. И понеже γ≤α≤β => α=β=γ=60°.

Относно втората задача: Нека |CD|/|QD|=|CD|/|CP|=|AB|/|AM|=|AB|/|NB|=k+1, k>0.
Въвеждаме афинна координатна система с център -точка О, а i,j са единичните вектори колинеарни съотвено с правите през BD,AC.Нека още
A(0,a),B(b,0),C(0,c),D(d,0). .Toгава получаваме: M(b/k+1,ka/k+1)=(M_x,M_y), N(kb/k+1, a/k+1)=(N_x,N_y), P(d/k+1,kc/k+1)=(P_x,P_y), Q(kd/k+1, c/k+1)=(Q_x,Q_y).Да означим с S лицето на триъгълника построен върху векторите i,j, то е равно на S=(1/2)|i|*|j|.sin(AC,BD)=(1/2).sin(AOD).Тогава

S(▲QON)=|Q_x*N_y-Q_y*N_x|S=k|ad-bc|S/(k+1)²
S(▲POM)=|P_x*M_y-P_y*M_x|S=k|ad-bc|S/(k+1)²
=> S(▲QON)=S(▲POM).

Относно третата задача - не е ясно какви са точките O,M?

[ins-]

Задача 1 е от Руската олимпиада по математика "Тбилиси 1967 г.".
Идея за решение на адрес: http://www.mathlinks.ro/Forum/viewtopic.php?search_id=1069213981&t=1404.
Задача 2 ми попадна случайно. Може да ми се смеете, ако кажа, че не знам нищо за вектори но е вярно. Има и решение без вектори на адрес:
http://www.mathlinks.ro/Forum/viewtopic.php?search_id=1069213981&t=1404. Интересно ми е от къде е взета, защото беше нова за мен.
Задача 3 - O - център на окръжността. М - точка, която се търси и принадлежи на окръжността.
А за IMO - 1983 - доказана е по-горе в решението на Задача 1 - израза G(a,b,c).
Интересно ми е задачата с равностранен триъгълник (AM=BN=CP) и построителната задача как се решават - и двете са почти открити въпроси.
А за решенията - поздравления!

[ins-]

1. Даден е триъгълник ABC, а на страните му AB, BC, CA са избрани съответно точките M, N, P, така, че AM=BN=CP (M, N, P са вътрешни за страните). U, V, W са пресечни точки съответно на: AN и CM; BP и AN; CM и BP. Триъгълник UVW е равностранен. Може ли да се твърди, че ABC е равностранен?

По мое мнение отговорът е "Да", но ще ми е интересно да видя доказателство/а.
Задачата далеч не е от най-лесните, но се надявам да Ви хареса.

[ins-]

Изпращам Ви две задачи, които ми дойдоха наум:
1. Да се построи триъгълник по:
а) три медиани;
б) три височини;
в) три ъглополовящи.

2. Да се намери лицето на триъгълник по три ъглополовящи.

[Мирослав Стоенчев]

Построителна задача:
а)по три медиани - директно намираме страните и построяваме триъгълника
б)по три височини - тогава
a:b:c=h_bh_c:h_ah_c:h_ah_b,
построяваме подобен на търсения триъгълник.Чрез хомотетия с подходящ коефициент
"подобния" триъгълник го изпращаме в търсения.
в) по три ъглополовящи - триъгълникът е определен, но задачата за построение е нерешима.Така подточка в) е некоректно зададена.

[ins-]

Благодаря много за в) - вече съм сигурен за нея от още 1-2 места чух, че е нерешима ... ама то е така, когато човек се опитва да измисли нещо ново и интересно. А за задача 2. - има отделна тема в "Лица на фигури". Ако трябва да махна задачата от едното място?

[Мирослав Стоенчев]

Задача. Нека [tex]n\ge 4[/tex] е естествено число.Да се докаже, че съществува пермутация [tex]\sigma [/tex] на числата [tex]1,2,...,n[/tex], притeжаваща свойството:
[tex]\sigma (i)-\sigma (j)\ne +-(i-j)[/tex], за всички [tex]i,j[/tex] такива, че [tex]1\le i<j\le n[/tex].

[Мирослав Стоенчев]

Задача. Нека [tex]ABCD[/tex] е трапец вписан в окръжност и описан около друга окръжност. Да се докаже, че поне едно от числата [tex]|AB|, |BC|, |CD|, |DA|, R, r[/tex] е ирационално.

[Мирослав Стоенчев]

Задача. Да се намерят всички четириъгълници [tex]ABCD[/tex], за които [tex]6[/tex]-орката [tex](|AB|,|BC|,|CD|,|DA|,R,r)[/tex] е целочислена.Да се опише с доказателство общия вид на целочислените решения [tex](|AB|,|BC|,|CD|,|DA|,R,r)[/tex].

[Мирослав Стоенчев]

Дефиниция. Съгласно теоремата на Бриашон - за всеки описан около елипса шестоъгълник
[tex]ABCDEF[/tex] е изпълнено: правите [tex]AD,BE,CF[/tex] минават през една точка -точка на Бриашон.

Да се докаже следната

Задача(М Стоенчев): Ако шестоъгълникът [tex]ABCDEF[/tex] е вписан в елипса и описан около друга елипса, то точката на Бриашон и центровете на елипсите лежат на една права.

[Мирослав Стоенчев]

За произволно [tex]n\in N[/tex] да означим с [tex]d_{n}=d_{n}(O,I)[/tex] разстоянието между центровете на вписаната и описанта окръжности за [tex]n[/tex]-ъгълника.

Да се докаже следната

Teорема (Н Александрова,М Стоенчев): Нека [tex]ABCDEF[/tex] е вписан в окръжност [tex]k(O,R)[/tex] и описан около окръжност [tex]w(I,r).[/tex] Tогава [tex]|OI|=d_{6}(O,I)=\sqrt{R^{2}-\frac{r^{2}}{t*}},[/tex] където [tex]g(t)=c^{4}t^{4}-4c^{2}t^{3}+2c^{2}t^{2}-4t-3,[/tex] [tex]g(t*)=0,[/tex] [tex]t*\in [\frac{4}{c^{2}},\frac{2}{c}),[/tex] [tex]c=\frac{2R}{r}.[/tex]

[Мирослав Стоенчев]

Задача (М Стоенчев): Нека [tex]a, b, c[/tex] са естествени числа удовлетворяващи равенството [tex]a^{b}+b^{c}=c^{a}.[/tex]

a) Да се докаже, че [tex]8[/tex] дели поне едно от числата [tex]a+1,[/tex] [tex]b-1,[/tex] [tex]c-1[/tex]
б) Ако [tex]c[/tex] е четно и [tex]8[/tex] не дели [tex]a+1,[/tex] да се определят [tex]a, b, c[/tex]
в) Да се намерят всички тройки [tex](x,y,z)[/tex] от естествени числа такива, че [tex]x^{y}+y^{z}=z^{x}.[/tex]

[Мирослав Стоенчев]

Дефиниция. Съгласно теоремата на Паскал - за всеки вписан в елипса шестоъгълник е изпълнено: пресечните точки на двойките срещуположни страни на шестоъгълника лежат на една права - права на Паскал.


Задача : Правата през центровете на вписаната и описаната елипси на даден шестоъгълник е перпендикулярна на правата на Паскал, тогава и само тогава, когато ексцентрицитетите на елипсите са равни.

[Мирослав Стоенчев]

Задача. Нека [tex]ABCD[/tex] е вписан в окръжност четириъгълник, като [tex]|AB|\ne |CD|,[/tex] [tex]|BC|\ne |DA|.[/tex] Да се докаже, че:

а) съществуват такива точки [tex]M,N[/tex] от вътрешността на [tex]ABCD,[/tex] че [tex]\angle MAB=\angle MCD,\angle MBC=\angle MDA, \angle NAD=\angle NCB, \angle NBA=\angle NDC[/tex]

б) съществуват такива точки [tex]X,Y[/tex] външни за [tex]ABCD,[/tex] че [tex]\angle XAD+\angle XCB=\angle XBA+\angle XDC=\angle YBC+\angle YDA=\angle YAB+\angle YCD=180^\circ[/tex]

в)[tex]\angle OMP=\angle ONP, \angle OXP=\angle OYP,[/tex] където [tex]O[/tex] е център на описаната окръжност, [tex]P=AC\cap BD.[/tex]

[Мирослав Стоенчев]

Задача. Нека [tex]ABCD[/tex] е вписан в окръжност четириъгълник, [tex]|AB|\ne |CD|[/tex] и [tex]|BC|\ne |DA|.[/tex] Да се докаже, че съществува единствена точка [tex]N[/tex] в равнината на четириъгълника, със следните три свойствата:

[tex]i)[/tex] точката [tex]N[/tex] е външна за четириъгълника

[tex]ii)[/tex] [tex]\angle ANB=\angle CND,[/tex] [tex]\angle BNC=\angle DNA[/tex]

[tex]iii)[/tex] [tex]|NA|.|NC|=|NB|.|ND|[/tex]

Ако в четиригълникът [tex]ABCD[/tex] е вписана окръжност с радиус [tex]r,[/tex] a радиуса на описаната окръжност е [tex]R,[/tex] то [tex]\sqrt{|NA|.|NC|}=\sqrt{|NB|.|ND|}=\frac{Rr(r+\sqrt{4R^{2}+r^{2}})}{\sqrt{4R^{4}-r^{2}(r+\sqrt{4R^{2}+r^{2}})^{2}}}[/tex]

[Мирослав Стоенчев]

Задача. Нека [tex]\ N\ge 4\ [/tex] е естествено число. Да се докаже, че на шахматна дъска с размери [tex]\ N\times N,\ [/tex] могат да се поставят [tex]\ N\ [/tex] на брой "дами", така че никои две да не се атакуват.

[Мирослав Стоенчев]

Задача. Множеството [tex]A_{n}=\left\{1,2,...,n\right\}[/tex] ще наричаме "[tex]p-[/tex] множество", ако съществуват такива множества [tex]B[/tex] и [tex]C,[/tex] че:
[tex]i)\ B\cap C=\emptyset[/tex]
[tex]ii)\ B\cup C=A_{n}[/tex]
[tex]iii)\ \sum_{b\in B}b^p=\sum_{c\in C}c^p[/tex]

Да се докаже, че за всяко естествено число [tex]k[/tex] съществува такова [tex]n,[/tex] че [tex]A_{n}[/tex] е "[tex]p-[/tex] множество", за всяко [tex]p=1,2,...,k.[/tex]

[Мирослав Стоенчев]

Задача. Нека [tex]q[/tex] и [tex]r[/tex] са естествени числа. Да се докаже, че съществуват безбройно много естествени числа [tex]n,[/tex] такива че множеството [tex]A_{(n,r)}=\left\{r,\ r+1, ... ,\ r+n-1\right\}[/tex] е "[tex]p-[/tex]множество", за всяко [tex]p=1,2,...,q.[/tex]

[Мирослав Стоенчев]

Th. Нека [tex]n[/tex] и [tex]p[/tex] са такива естествени числа, че [tex]A_{n}[/tex] е "[tex]p-[/tex]множество". Тогава [tex]A_{n}[/tex] е "[tex]k-[/tex]множество", за всяко [tex]k=1,2,...,p-1.[/tex]

[Мирослав Стоенчев]

Th. Нека [tex]p[/tex] и [tex]k[/tex] са естествени числа. Тогава съществува естествено число [tex]N(p,k),[/tex] което се представя поне по [tex]k[/tex] различни начина като сума от [tex]p-[/tex]тите степени на различни прости числа.

[Мирослав Стоенчев]

Задача. Нека [tex]n\ge 3[/tex] е естествено число. Да се докаже, че уравнението [tex]x^n+y^n=z^n[/tex] няма решения в естествени числа [tex]x,y,z[/tex] за които [tex]z-\min\left\{x,y\right\}\le 2^n.[/tex]