Да се намерят стойностите на а и б за които..

[zhivo_zad]

С Виет немогат да се докажат реални корени.При b=-2 уравнението няма 4 реални корена.

[Реклама]

[Infernum]

Задачата може да бъде решена само с формулите на Виет за квадратно уравнение.
При х≠0, уравнението се записва във вида

[tex]x^2+x+a+\frac{b}{x}+\frac{b^2}{x^2}=0[/tex]

Полага се

[tex]x+\frac{b}{x}=t[/tex]

Тогава уравнението добива формата

[tex]t^2+t+a-2b=0[/tex]

Изходното уравнение ще има четири различни реални корена, когато последното квадратно уравнение има два различни реални корена t₁ и t₂, а уравненията
[tex]x+\frac{b}{x}=t_1[/tex] и [tex]x+\frac{b}{x}=t_2[/tex]
имат по два различни реални корена х₁, х₂ и х₃, х₄. Корените на последните две уравнения със сигурност са различни по между си, тъй като функцията [tex]f(x)=x+\frac{b}{x}[/tex] е еднозначна и не може да приеме две различни стойности t₁ и t₂ за една и съща стойност на аргумента х.

За да имат уравненията
[tex]t^2+t+a-2b=0[/tex], [tex]x^2-t_1x+b[/tex] и [tex]x^2-t_2x+b=0[/tex]
по два различни реални корена е необходимо и достатъчно да бъдат изпълнени съответно условията
[tex]1-4a+8b>0[/tex]
[tex]t_1^2-4b>0[/tex]
[tex]t_2^2-4b>0[/tex].
От условието, сумата от квадртатите на корените да бъде равна на единица, имайки предвид, че х₁, х₂, х₃, х₄ са корени и на изходното уравнение, се получава

[tex]x_1^2+x_2^2+x_3^2+x_4^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2+(x_3+x_4)^2-2x_3x_4=1[/tex]

Сега от формулите на Виет

[tex](x_1+x_2)^2-2x_1x_2+(x_3+x_4)^2-2x_3x_4=t_1^2-2b+t_2^2-2b=(t_1+t_2)^2-2t_1t_2-4b=1^2-2(a-2b)-4b=1[/tex]

От последното равенство следва, че а=0.

Тогава изходното уравнение има четири различни реални корена, за всични стойности на b, при които

[tex]1+8b>0[/tex]

[tex](\frac{-1+\sqrt{1+8b}}{2})^2-4b>0[/tex]

[tex](\frac{-1-\sqrt{1+8b}}{2})^2-4b>0[/tex]
Довършете.