задачки

[Methuselah]

б) Изваждам от първото второто:
x²-y²-(2a+1)(x-y)+(x-y)=0
(x-y)(x+y-2a-1+1)=0
решения са:
1) х=у
2) х=2а-у

1): заместваме в едното от уравненията с х=у
Получаваме единствено решение за а=2 (ако смятам вярно)

2) заместваме х=2а-у
у²-(2а+1)у-2а-у+а²-3=0
у²-2(а+1)у+а²-2а-3=0
Д=0
а=-1

Това е моята идея /пак ми е малко неудобно да пиша/ сигурно бъркам в сметките нещо.

[Реклама]

[uktc]

Абе и аз я бях решил така отначало, ама нещо се ошашавих... Ще помисля още малко.
Значи Methu, твоите разсъждения са правилни. Естествено аз получавам други резултати в двата случая, но това си е от времето . Както казваше даскала ми по математика: "Не е важен резултата, а идеята". Велика мисъл просто. Както и да е .
Обаче бих допълнил следното.
Разглеждам случая, когато у=2а-у, т.е. когато y=a. Тогава и x=a. Замествам в едно от уравненията и получавам a=-3/2. Оттам и x=-3/2 и y=-3/2. Действително при a=-3/2 се получава двойката решения (-3/2;-3/2) и тя е единствена.

[uktc]

А и да попитам за тая задача дали я е решил някой?
Мисля, че остатъкът е 21... Ако не бъркам нещо...

[stasi_p]

1) сл е така х=у
2) сл уравнението
y^2 -2(a+1)y+a^2-3=0
D=2a+4 следователно при а=-2 системата има единствено решение
x=y=a+1=-1
така мисля аз


Към uktc можеш ли за ми разпишеш задачата от остатъкът на делението как си го намерил
че нещо зациклих

[uktc]

Edit: Глупости пиша...

[Fed]

Решение на още една от задачите

[opalescence]

инкредибиле

[uktc]

Fed, от къде си сигурен, че m е неотрицателно, че да прилагаш Коши?

[Methuselah]

Ако знаем че х и у са едновременно неотрицателни се сетих за едно доста лесно геометрично решение.
Ясно е че правоъгълен триъгълник с катети х и у съществува.
Нека c е хипотенузата и е даден ъгъл α.
Имаме:
(с²(sinα+cosα))/(c²-c²sinαcosα) ≤2√2
sin(45+α)/(2-sin2α) ≤ 1 което очевидно е изпълнено (равенство се достига за α=45 т.е. х=у)

На мен този начин най-много ми допада /самовлюбен неоценен тип съм / но се чудя дали мога да пренебрегна това че като ги вкарвам в геометрията тези х и у те трябва да бъдат положителни... Мнения по въпроса?

[Fed]

[r2d2]

[Fed]

Прекрасно решение!

[Fed]

Някой реши ли тази задача

Да се намери най-голямата стойност на израза [tex]x+5y[/tex], ако реалните положителни величини x и у удовлетворяват условието [tex]x^2 - 6xy + y^2 + 21 \le 0[/tex]

[DevilFighter]

r2d2, от твоето решение (x и y) - елементи от правоъгълен триъгълник(x,y-катети, r-хипотенуза) ли са? И може ли във всякакви такива изрази от рода (x²+y²) , да използваме това полагане....

[r2d2]

Не, за произволни х,у има единствено r и [tex]\mu[/tex], такива че [tex] x=r\cos \mu;\ y= r\sin \mu\ \mu \in [0;2\pi)[/tex] (без т.(0;0))

[DevilFighter]

Благодаря за бързия отговор! Това не го знаех, но ще го запомня.

В тази задача с НГС(x+5y) може да се използва това(също така и като елеменети от правоъгълен триъгълник,защото е казано че (x,y) > 0 ). И аз я мисля вече доста време, но нищо не излиза....

[uktc]

На тази с x+5y все намирам най-малката стойност, каквото и да правя...

[DevilFighter]

[uktc]

Така... за задачата със системата.
При x=y имаме [tex]y^2-2(a+1)y+a^2-3=0[/tex]. Дискриминантата му е [tex]D_1=8(a+2)[/tex].
При x=2a-y имаме [tex]y^2-2ay+a^2-2a-3=0[/tex]. Дискриминантата му е [tex]D_2=4(2a+3)[/tex].
[tex]D_1[/tex] се нулира при [tex]a=-2[/tex], а [tex]D_2[/tex] се нулира при [tex]a=-\frac{3}{2}[/tex].
При a=-2, [tex]D_1[/tex] е нула, [tex]D_2[/tex]<0 и всичко е наред, двойката решения е едиствена.
При a=-3/2, [tex]D_2[/tex]=0, но [tex]D_1[/tex]>0, което вече разваля работата.
Значи търсената стойност е [tex]a=-\frac{3}{2}[/tex].

[Fed]

[DevilFighter]

Предлагам uktc да покаже как намира тази НМС(x+5y), за да видим метода на решение....

[uktc]

Абе не съм много сигурен в твърденията си, но да видим вашето мнение.
Коши: [tex]a+b\ge2\sqrt{ab}\hspace{300}|+(a+b)[/tex]
[tex]2(a+b)\ge(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2[/tex]
[tex](\sqrt{a}+\sqrt{b})\le\sqrt{2(a+b)}[/tex]
[tex]x+5y\le\sqrt{2(x^2+25y^2)}[/tex]
Даденото в условието неравенство записвам във вида:
[tex]x^2+25y^2\le 24y^2+6xy-21[/tex]
[tex]x^2+25y^2\le 6y(4y+x)-21[/tex]
Но [tex]y(4y+x)\le \frac{(x+5y)^2}{4}[/tex].
Получихме
[tex]x+5y\le\sqrt{2(x^2+25y^2)}\le\sqrt{2[6y(4y+x)-21]}\le\sqrt{2[\frac{6(x+5y)^2}{4}-21]}=sqrt{3(x+5y)^2-42}[/tex] или [tex]x+5y\le\sqrt{3(x+5y)^2-42}[/tex]
[tex](x+5y)^2\le3(x+5y)^2-42[/tex], т.е. [tex](x+5y)\ge\sqrt{21}[/tex]

[r2d2]

Ето как се намира най-малката стойност, най-голяма стойност при тези ограничения няма, защото всички достатъчно големи х=у удоволетворяват условието.