Олимпиада за участниците във форума

[Titu_Andrescu]

Временно класиране:
1. Magi - 35т.;
2. Toni_89 - 28т.;
3. Lubo - 5т.;
4. Ralyyy - 5т.

Нападаите O11.

[Реклама]

[Titu_Andrescu]

Ще оставя О11. без решение за сега.

O12. a,b,c,d са естествени числа, за които ad=b²+bc+c². Да се докаже, че a²+b²+c²+d² съставно число.

5 точки

Задачата е от втория тур на националната олимпиада в Полша 2007г.

[Tony_89]

Сякаш трябва да се направят още уточнения за a,b,c и d.

Например при a = 1, b = 0, c = 0, d = 0:

a² + b² + c² + d² = 1,

което не е нито просто, нито съставно число.

[Titu_Andrescu]

Прав си. Корегирах задачата. Извинявам се за грешката.

[Tony_89]

Поствам това като отговор, защото нещо не мога да пращам лични съобщения до Titu_Andrescu

a² + b² + c² + d² =

= a² + d² + b² + c² =

= (a + d)² - 2*a*d + b² + c² =

= (a + d)² - 2*b² - 2*b*c - 2*c² + b² + c² =

= (a + d)² - (b + c)² = (a + d - b - c)*(a + d + b + c)

Очевидно a + d - b - c E N и a + d + b + c E N =>

=> Произведението им може да е просто число само в тези два случая:

|a + d - b - c = 1
|a + d + b + c да е просто

и

|a + d + b + c = 1
|a + d - b - c да е просто

Ясно е, че a + d + b + c = 1 няма решение, затова остава само първата система:

a + d = b + c + 1

(a + d)² = (b + c)² + 2*(b + c) + 1

(a + d)² - (b + c)² = 2*b + 2*c + 1

a² + b² + c² + d² = 2*b + 2*c + 1

a² + d² + b² - 2*b + 1 + c² - 2*c + 1 - 3 = 0

a² + d² + (b - 1)² + (c - 1)² - 3 = 0

a² + d² + (b - 1)² + (c - 1)² = 3, което може да се достигне само в тези два случая:

|a = d = 1
|b = 2
|c = 1

U

|a = d = 1
|c = 2
|b = 1

Но тези системи не удовлетворяват a*d = b² + b*c + c² =>

|a + d - b - c ≠ 1
|a + d + b + c ≠ 1
|a + d - b - c E N
|a + d + b + c E N =>

=> (a + d - b - c)*(a + d + b + c) е съставно число

[Titu_Andrescu]

Временно класиране:
1. Magi - 35т.;
2. Toni_89 - 33т.;
3. Lubo - 5т.;
4. Ralyyy - 5т.

[Titu_Andrescu]

Решение на O11. Лесно се доказва, че n^-0,5<2(n^0,5-(n-1)^0,5). Следователно 20=(x₁)^-0,5+(x₂)^-0,5+..+(x₁₀₀)^-0,5≤1+2^-0,5+3^-0,5+...+100^-0,5<2.(100)^0,5-1=19.
Противоречие.

Toni_89 получава 1 точка от O11.

Временно класиране:
1. Magi - 35т.;
2. Toni_89 - 34т.;
3. Lubo - 5т.;
4. Ralyyy - 5т.

[Titu_Andrescu]

O13. Нека a,b,c са положителни реални числа, за които a²+b²+c²=1. Да се докаже, че a+b+c+(abc)^-1≥4√3.

7 точки

[Titu_Andrescu]

Ще оставя да помислите още малко върху О13.

O14. Покажете, че ако целите числа a,b,c и d изпълняват условието bc+ad=ac+2bd=1, то те изпълняват и a²+c²=2b²+2d².

5 точки

[martosss]

аз като съм девети клас мога ли да ги реша тия задачи?

[Titu_Andrescu]

Да

[Titu_Andrescu]

Решение на O13.
Имаме, че 1/2[(a-b)²+(b-c)²+(c-a)²]≥0,
3(a²+b²+c²)≥(a+b+c)²,
3≥(a+b+c)²,
(a+b+c)^-2≥3^-1,
(a+b+c)^-8≥3^-4.

Сега от неравенството между средно-аритметично и средно-геометрично следва, че:

a+b+c+(abc)^-1≥(a+b+c)+3.[(a+b+c)]^-3/9=(a+b+c)+[(a+b+c)]^-3/9+[(a+b+c)]^-3/9+[(a+b+c)]^-3/9≥
≥4 ⁴√(3⁶.(a+b+c)^-8)≥4√3.

Veliko и Magi получават по 1 точка.


Временно класиране:
1. Magi - 36т.;
2. Toni_89 - 34т.;
3. Lubo - 5т.;
4. Ralyyy - 5т.;
5. Veliko - 1т.

[veliko]

Понеже съм нов във форума чак сега погледнах някои от предишните задачи. Въпреки че срока за нея мина, искам да представя решението си. Става въпрос за задача O7. Решете в реални числа уравнението 6^x+1=8^x-27^x-1. Просто ми харесва решението ми и искам да видя вие как мислите.

Нека A= 6^x+1; B=8^x-27^x-1.
A>0, за всяко x. Сега нека проверим кога B>0;
1сл. x>=0
8^x-27^x-1 > 0
8^x > 27^x-1 <=>
(8/27)^x > 1/27 <=>
x < log8/27 (1/27) ≈ 2,75;
2cl x<=0;
полагаме y=-x;
по аналогичен начин следва , че y < 2,75 , т.е. x >≈ -2.75
сега остана да докажем,че само целите числа са решения.
6^x+1=8^x-27^x-1 <=>
27.6^x=27.8^x-27^x - 27
разглеждаме уравнението по mod 6;
лявата страна дава остатък 0;27.2^3x -> 0; -27 -> -3
следователно -3^3x дава остатък 3;
Но това е невъзможно ако х не е цяло, защото тогава дясната част ще е ирационална.
имаме -2.75 < х < 2.75 , х цяло => х=-1,-2,0,1 или 2. с проверка се установява че x=1 i x=2 са решения

[Titu_Andrescu]

"разглеждаме уравнението по mod 6" - Не може.

[veliko]

упссс. прав си. съжалявам за глупавия пост.

[martosss]

Titu_andersu, какво стана с решенията и другите задачи? Няма ли да има и тази година подобна олимпиада за участниците във форумаБ

[Titu_Andrescu]

P1. Нека a,b,c са три положителни реални числа, за които (a+b)(b+c)(c+a)=1. Да се докаже, че ab+bc+ca≤3/4.

(Източник: Romanian JBMO 2005 TST, Day 3, Problem 8, Croatia Team Selection Tests 2006)

5 точки

1. Magi - 36т.;
2. Toni_89 - 34т.;
3. Lubo - 5т.;
4. Ralyyy - 5т.;
5. Veliko - 1т.

[Titu_Andrescu]

Подсказка: 9(a+b)(b+c)(c+a)-8(a+b+c)(ab+bc+ca)=a(b-c)²+b(c-a)²+c(a-b)²≥0

[Nona]

[Boyan]

много хубава задача

[Titu_Andrescu]

Magi, решението ти е вярно.

1. Magi - (36 + 5)т.;
2. Toni_89 - 34т.;
3. Lubo - 5т.;
4. Ralyyy - 5т.;
5. Veliko - 1т.

P2. Да се реши системата уравнения в реални числа:
x²+y²=1
125y⁵-125y³+6√15=0.

7 точки

[Belov]

Ще напиша решението на кратко:
От първото урав -> y<1;
слeд преобразуване на второто:
-125y³x²=-6√15 --> y>0,т.е. y е в интервала (0;1)
f(y)=125y⁵-125y³+6√15
f(0)=6√15=f(1)
Очевидно при y от интервала (0;1) f(y)<6√15 (нарисувайте си графиката)
Производната на f(y) e 125*5*y⁴-125*3*y²
от тук y=0,±(√15)/5
В интервала (0;1) се достига минимума при y=(√15)/5
Тогава f((√15)/5)=0, т.е. второто уравнение има единствено решение (графиката в интервала (0;1) се допира до Ох) y=(√15)/5
И при заместване в първото се получава x=±(√10)/5;
И така отговора е:
(x,y)=(±(√10)/5;(√15)/5).

[Titu_Andrescu]

Вярно.

1. Magi - 41т.;
2. Toni_89 - (34+7)т.;
3. Belov - 7т.;
4. Lubo - 5т.;
5. Ralyyy - 5т.;
6. BG Yoda - 3т.;
7. Veliko - 1т.

P3. Да се докаже, че a³/(a²+ab+b²) + b³/(b²+bc+c²) + c³/(c²+ca+a²)≥(a+b+c)/3, където a,b,c>0.

8 точки

[Titu_Andrescu]

P3. e доста хитра задача. Преди да ми пратите решение проверете да не сте допуснали грешка, не го казвам напразно. Задачата е доста "изплъзваща". Давана е на поредича от национални и областни състезания (Унгария, Китай, Япония, Израел). По нататък ще покажа едно решение на един ред.

[Titu_Andrescu]

P4. Точка P лежи вътре в ▲ABC. Правите BP, CP пресичат AC, AB съответно в точки Q и R. Дадено е, че AR=RB=CP, CQ=PQ. Да се намери ъгъл BRC.

(Японска MO 2003)

5 точки

[Nona]

[Belov]

А бих попитал дали може да задам и аз 1 задача... колкото точки и прецените.
Макар че ми я решиха в 7клас, е нестандартна и честно казано ми е любимата задача въобще макар и да не е мн сложна май... ам просто мн и се кефя

[Titu_Andrescu]

Belov, нямам нищо против да споделиш задача. Но в отделен Topic. Ще се радвамда я видя.

[Boyan]

помогни за P3 : )

[Titu_Andrescu]

1. Magi - (41+5)т.;
2. Toni_89 - (34+7)т.;
3. Belov - 7т.;
4. Lubo - 5т.;
5. Ralyyy - 5т.;
6. BG Yoda - 3т.;
7. Veliko - 1т.

Magi, почти нищо не може да те затрудни, а? Решила си дори и P3.
. Незнам как да подскажа, но в решението си (както и мойто, но по малко по различен начин) Magi разглежда по отделно всяко едно от събираемите в лявата страна . Успех!