Есенен Математически турнир

[Caesar]

Здравейте,
Някой знае ли кой ден ще бъде точно ЕМТ?

[Реклама]

[Пафнутий]

8 Ноември

[Caesar]

Тъй като ЕМТ наближава, предлагам тук, в тази тема, да пускаме задачи, които са били давани на това състезание или просто ще ни помогнат да се подготвим.

[martosss]

е ми.. аз мога да дам темата от миналата година за 10-ти клас(на практика това състезание се е провеждало само 1 път до сега, така че това е единствената тема ).

[Caesar]

Дай я насам Сподели със съфорумниците

[martosss]

Есенен Математически Турнир
София, 9-11 ноември 2007 г.
Тема за 10 клас

Задача 1. Да се намерят всички цели числа [tex]b[/tex] и [tex]c[/tex], за които уравнението [tex]x^2-bx+c=0[/tex] има два реални корена [tex]x_1[/tex] и [tex]x_2[/tex], удовлетворяващи равенството [tex]x_1^2+x_2^2=5[/tex].

Задача 2. Даден е [tex]\Del ABC\: (AC>BC)[/tex] със средна отсечка [tex]MN[/tex] ([tex]M[/tex] лежи на [tex]AC[/tex], а [tex]N[/tex] лежи на [tex]BC[/tex]). Ъглополовящата на ъгъл [tex]B[/tex] пресича правата [tex]MN[/tex] в точка [tex]P[/tex]. Вписаната окръжност в [tex]\Del ABC[/tex] има за център точка [tex]Q[/tex]. Перпендикулярите, издигнати от [tex]P[/tex] и [tex]Q[/tex], съответно към [tex]MN[/tex] и [tex]BC[/tex], се пресичат в точка [tex]R[/tex]. Нека [tex]S[/tex] е пресечната точка на правита [tex]AB[/tex] и [tex]RN[/tex].

а) Да се докаже, че четириъгълникът [tex]PCQI[/tex] е вписан.

б) Да се изрази дължината на отсечката [tex]BS[/tex] чреза дължините [tex]a, b, c[/tex] на страните на [tex]\Del ABC[/tex].

Задача 3. За естественото число [tex]m>1[/tex] означаваме с [tex]f(m)[/tex] сумата на всички естествени числа, по-малки от [tex]m[/tex] и взаимно прости с [tex]m[/tex]. Да се намерят всички естествени числа [tex]n[/tex], за които съществуват естествени числа [tex]k[/tex] и [tex]l[/tex], такива, че [tex]f(n^k)=n^l[/tex].

Задача 4. Да се намерят всички двойки естествени числа [tex](m,n),m\le n[/tex], за които съществува таблица от нули и единици с [tex]m[/tex] реда и [tex]n[/tex] стълба, удовлетворяваща следното условие:
Ако в една клетка е записана нула (съответно единица), то броят на нулите (съответно единиците) в реда на тази клетка е равен на броя на нулите (съответно единиците) в стълба на клетката.

Време за работа: 4.5 часа

Успех

[martosss]

Много ще се радвам ако някой има възможност да публикува темата за 11 клас, защото тази година смятам да се пробвам пак

[Пафнутий]

Тема за 11 клас
11.1 Дадени са различни остри ъгли [tex]\alpha[/tex] и [tex]\beta[/tex] , за които
[tex](cos^2\alpha +cos^2\beta)(1+tg\alpha tg\beta )=2 [/tex]
Да се докаже, че [tex]\alpha +\beta =90^\circ [/tex]
11.2 Да се намерят всички стойности на параметъра [tex]a[/tex], за които неравенството [tex]\sqrt{x-x^2-a}+\sqrt{6a-2x-x^2}\le \sqrt{10-2x-4x^2}[/tex] има единствено решение.
11.3 В триъгълник [tex]ABC[/tex] е прекарана ъглополовяща [tex]CC_{1}[/tex]. Точките [tex]P\in C_{1}B, Q\in BC,R\in AC[/tex] и[tex] S\in AC_{1}[/tex] са такива, че [tex]C_{1}P=PQ=QC[/tex] и [tex]CR=RS=SC_{1}[/tex]. Да се докаже, че [tex]CC_{1}[/tex] e ъглополовяща на [tex]\angle SCP[/tex].
11.4 В една държава има [tex]1000[/tex] града [tex]A_{1},A_{2},...,A_{1000}[/tex], като някои от тях са свързани с авиолинии.Известно е, че [tex]i[/tex]-тият град е свързан с [tex]d_{i}[/tex] други града, като при това [tex]d_{1}\le d_{2}\le .....\le d_{1000}[/tex] и [tex]d_{j}\ge j+1[/tex] за всяко [tex]j=1,2,...,999-d_{999}[/tex].Да се докаже, че ако летището на който и да е град [tex]A_{k}[/tex] бъде затворено, то ще е възможно да долетим то произволен град [tex]A_{i}[/tex] до произволен друг град [tex]A_{j}, i\ne j[/tex] (възможно с прекачване).

[martosss]

Благодаря много за темата, Станиславе

[krassi_holmz]

И сигурно се провежда само в София?
Малко повече информация?

[Caesar]

Състезанието се провежда само в София (поне засега). Миналата година се проведе за 1ви път, а от тази се счита и за класирането на учениците. Нещо като Зимните и Пролетните, задачите не са много лесни, състезанието продължава около 5 часа (не съм много сигурен). В него по принцип участват ученици, които са част от отбора на училището си, но има възможност желаещ да се запиша отделно (поемайки всички разноски).
Поне за това се сещам в момента.

[Caesar]

Нека някой напише решенията на 3та и 4та. Аз до 3-4 дни ще напиша и решенията на 1ва и 2ра.
П.С. 50то мнение

[Пафнутий]

[Caesar]

За 10ти клас

[Пафнутий]

За 3тата основна идея е, че взаимно простите числа могат да се наредят по двойки [tex](r,m-r)[/tex] със сбор [tex]m[/tex].Така лесно следва,че [tex]f(m)=\frac{m.\varphi (m)}{2}[/tex], където [tex]\varphi (m)[/tex] е функцията на Ойлер.Понеже [tex]\varphi(n^k)=\varphi (n).n^{k-1}[/tex], то [tex]f(n^k)=\frac{n^{2k-1}.\varphi (n)}{2}[/tex] и нататък си ти

[martosss]

[Пафнутий]

Лесно следва от формулата за [tex]\varphi (n)=\prod_{i=1}^s(1-\frac{1}{p_{i}})[/tex] , където [tex]p_{i}[/tex] са простите делители в каноничното разлагане на [tex]n[/tex].(същите са и за [tex]n^k[/tex])

[martosss]

да, разбрах го, благодаря

[martosss]

аз изкарах числата че са 2 и 3, само те(с подходящи k и l разбира се) могат да изпълнявят това условие, така ли е?

[Пафнутий]

[tex]\varphi (3)=\varphi (4)=\varphi (6)=2[/tex] и решения са [tex]n=2,3,4,6[/tex]

[martosss]

Да, благодаря Както винаги съм го оплескал

[estoyanovvd]

Искате ли цялата брошурка с решенията?

[estoyanovvd]

[Пафнутий]

Да, прав си

[ice_sympathy]

Дайте задачки за осми клас, че на мен се падна честта да отида тая година и трябва да се подготвя. Доколкото разбрах, миналата година ЕМТ се е провел за първи път и оттам следва, че има само една тема, но аз няма да откажа, ако хвърлите насам и някоя друга интересна задача...

[Caesar]

Дай брошурката моля те

[Pinetop Smith]

Някъде по-надолу има тема за миналогодишното състезание, потърси и ще видиш задачите за 8 клас

А тази година от колко часа е?

[Пафнутий]

Предполагам, че от 9 часа
ПП Съгласни ли сте да се срещнем преди или след турнира? Да направим среща на математиците

[estoyanovvd]

Ето ви брошурата от миналогодишното състезание http://estoyanovvd.data.bg/%d0%95%d0%9c%d0%a22007.pdf

[ice_sympathy]