Разлагане на рационални дриби на сума от елементарни дроби

[noneconomist]

Здравейте, някой може ли да ми обясно правилото , чрез което се разлага например

1
---
x³ + 1³

[Реклама]

[ObsCure]

[martosss]

[tex]\frac{1}{x^3+1}=1-\frac{x^3}{x^3+1}[/tex] Може и по други начини да се запише, но в общи линии е така Вече защо става така не знам Може ли някой да обясни как може да се разложи нещо като имаме знаменател произведение примерно... [tex]\frac{1}{k*l}=?[/tex]

[Saposto_MM]

Значи, иска се началната дроб да се представи като сбор на дроби чиито числители са известни числа, доколкото виждам. По принцип метода са ми го предавали, но може би, защото не се използва почти никъде, съм го забравил. Ако намеря къде точно съм го писал това, ще се опитам да разясня метода, ако някой друг не се заеме преди мен.

[noneconomist]

Не ме разбрахте май..

Значи трябва да се разложи на елементарни дроби, само че не ми е ясно точно какво е елементарна дроб

В лекцията е написано че елементарна дроб е от вида Ах + В / ( х² + рх + q)

Отговорът на моята задача е
1/3 - 1/3х + 2/3
----- + --------------
х + 1 х
² - х + 1


Но защо е така ???

[noneconomist]

опааа, нещо не мога да се оправя с писането на задачи

отговорът е 1/3 / x + 1 + -1/3x + 2/3 / x² - x + 1

[Pinetop Smith]

Би ли го написал с Латекс? Ако не можеш, поне напиши скоби.

Примерно

(х+1)/(х-1) + 1/(х² + х + 1) + и т.н.

[Пафнутий]

Опитай се LAtex--- пишеш [tex.]\frac{4islitel}{znamenatel}[/tex.] без точките

[kgavrailov]

Вика му се метод на неопределените коефиценти. Първо разлагаш знаменателя в случая (x + 1)(x² - x + 1) След това представяш дробта като сбор на две други дроби:
(1) А/(x+1) + (Bx + C/(x² - x + 1)) превеждаш към общ знаменател и получаваш :
Аx² + Ax + A + Bx² + Bx + Cx + C. Групираш пред степените на x и получаваш:

(А + B)x² + (A + B + C)x + A + C (ако разкриването на скобите ми е вярно защото не съм си играл да го проверявам). Оттук решаваш следната система:

A + B = 0 <=> B = -A
A + B + C = 0 => 1 - C + C -1 + C =0 => C = 0, A = 1, B = -1
A + C = 1 <=> A = 1 - C

Където десните страни на уравненията ти представляват стойностите пред степените на x и свободния член в числителя на първоначалната дроб(която искаш да представиш като сбор на други дроби) и в крайна сметка получаваш :
1/(x + 1) + (-x/(x² - x + 1)) (след като заместиш А, В и С в (1))
Трябва да отбележа че числителите на (1) се получават в зависимост от най-високата степен на х в разложения знаменател, за това имаш Вх + С

[noneconomist]

Да, за това става дума, много благодаря

А какво е определението за елементарна дроб?

[martosss]

[noneconomist]

Да, това се получава

Само не можах съвсем да разбера кога се слага А, кога се слага С х + D
и защо ако в знаменателя има х²

защо после се взема веднъж А/ (х²)



и веднъж В / х

[ганка симеонова]

когато знаменателят е от първа степен, числителят е константа
когато знеменателят е от втора степен, но е неразложим- числителят е от първа..
но ако някой множител на знаменателя е n- кратен, трябва да се направи сума на всичките степени. примерче:
[tex]\frac{x^2+1}{ (x-1)^2(x^2+x+1)}=\frac{A}{x-1 }+\frac{B}{(x-1)^2 }+\frac{Cx+D}{ x^2+x+1} [/tex]

[noneconomist]

Е сега вече всичко ми се изясни, благодаря ви

[martosss]

Брей, то било много трудно да се разлагат дроби Аз си мислех(честен кръст) че има някакво просто правило, по което долу като имаш множители(примерно 2*3) пишеш 1/2-1/3 и готово, пък то какво било, почти като да решаваш у-е от 4-та степен

[kgavrailov]

E никога не съм можел да смятам

[Vladi_mnt]

[Is it black or white?]

[Vladi_mnt]

[Пафнутий]

Частния случай за [tex]n=1[/tex] е толкова широко известен, че е близко до ума да се досетиш за обобщението. Разбира се, тази формула не я знаех. Все пак браво, че още в 5 клас си почнал да правиш обобщения.

[Vladi_mnt]

[Vladi_mnt]

[Is it black or white?]

Има я в един стар руски сборник, ако кажа, че я знам значи лъжа, пък по тези празници не е хубаво да се лъже , ама я видях там и то няколко дена преди тази тема и се сетих за нея, поздравления, че я знаеш, те формулките така се учат, като идеш на състезания като я оплескаш задачата и после дълго помниш

[Vladi_mnt]

Напълно си прав, Archer
Съгласен съм с теб
За пояснение: аз точно на такъв вид задача не съм я оплесквал на състезание, поради причината, която изтъкнах: такива задачи от този вид са за 5 клас и май не се срещат вече ( поне не съм осведомен ).
А въпросната година на ЗМС е: ЗАБЕЛЕЖЕТЕ Варна, 1985г., 5 клас
Ще запиша и условието / от сборник на Регалия 6 "Математически състезания 4-7 клас" Диана Раковска, Иван Тонов, Кирил Банков, Теодоси Витанов, Таня Тонова, Чавдар Лозанов; Трето допълнено издание; Този сборник го имам от 4 клас или отпреди 5 години и сега не знам какви метаморфози е претърпял/
Та, условието е:
а) Да се запише дробта [tex]\frac{1}{k(k+1) } [/tex] като разлика на две дроби, едната от които има знаменател k, а другата има знаменател k+1;
б) Да се пресметне сумата:
[tex]\frac{1}{ 20} + \frac{1}{ 30} +\frac{1}{ 42}+ \frac{1}{ 56} +\frac{1}{ 72}+ \frac{1}{90 } +\frac{1}{ 110} +\frac{1}{ 132} +\frac{1}{156 } +\frac{1}{ 182} +\frac{1}{210 } [/tex]

[Is it black or white?]

[Пафнутий]

Бтв сега това не се дава на 5 клас, обаче често пъти се използва като част от задача. Да не говорим, че подобно нещо имаше на общинския кръг по математика за 9 КЛАС...

[Vladi_mnt]

[Пафнутий]

4-тата задача на общинския кръг в Пловдив от тази година . Тя, разбира се, беше елементарна, но някои хора от отбора искаха да доказват б) подусловие по индукция, вместо да ползват а)...

[Vladi_mnt]

ъъъъъъъъъъъ, би ли пояснил кой областен кръг, че не мога да зацепя.....

[Vladi_mnt]

Абе, изобщо, дай дата и име на състезанието