примерна задача за УАСГ

[ганка симеонова]

Нека R и h са съответно радиусът на описаната окъжност и височината към основата на равнобедрения триъгълник АВС(АС=ВС). означаваме [tex]x=\frac{h}{ R} [/tex].
a) Да се изрази [tex]cos\gamma [/tex] чрез х, където [tex]\gamma =\angle ACB [/tex]
б)Ако d е сборът от разстоянията от центъра на описаната около АВС окръжност до страните на триъгълника, да се изрази като функция на х отношението d:R.
в)Да се намерят ъглите на триъгълника АВС за онези стойности на х, за които [tex]\frac{d}{R } [/tex]има локални екстремуми.

[Реклама]

[ObsCure]

а)Нека AB=c
AC=BC=y

Използваме

S=[tex]\frac{abc}{4R}[/tex] => S=[tex]\frac{y_^{2}c}{4R}[/tex]

Но

S_ABC=2S _ACH => [tex]\frac{ch}{2}=\frac{y_^{2}c}{4R}[/tex] => [tex]\frac{h}{2}=\frac{y_^{2}}{4R}[/tex]

Също така,отново от ▲ACH получаваме

[tex]\frac{h}{y}=cos\frac{\gamma}/2[/tex]

Заместваме в горното,преобразуваме и стигаме до

2[tex]cos_^{2}\gamma/2[/tex]=x

Оттук вече тригонометрия...

P.S. При миналите постове изпуснах 2-та степен на cosy/2,затова не се получи.

[nikolavp]

Нека H - петата на височината и AB=a =>
[tex]\triangle ABC: \frac{a}{sin\gamma}=2R=> a=2R\sin\gamma[/tex]
[tex]\triangle ACH: cotg\frac{\gamma}{2}=\frac{h}{\frac{a}{2}}=> a=\frac{2h}{cotg\frac{\gamma}{2}[/tex]Сега приравняваме двете =>
[tex]\frac{\cancel2h}{cotg\frac{\gamma}{2}}=\cancel2R.sin\gamma\\ h=R.2\cancel{\sin\frac{\gamma}{2}}.\cos\frac{\gamma}{2}.\frac{\cos\frac{\gamma}{2}}{\cancel{\sin\frac{\gamma}{2}}}\\ \cos^2\frac{\gamma}{2}=\frac{h}{2R}[/tex]=>
[tex]\cos^2\frac{\gamma}{2}=\frac{x}{2}=> \cos\frac{\gamma}{2}=\frac{\sqrt{2x}}{2}[/tex]=>[tex]\cos\gamma = \frac{\cancel{2}.2x}{\cancel{4}}-1=\frac{2x}{2}-1=x-1[/tex]

[ганка симеонова]

[ганка симеонова]

досега никой отговор не ми харесва...

[nikolavp]

[ганка симеонова]

хмммм, разгледахте ли случаите на осторъгълен и тъпоъгълен триъгълник?...

[ObsCure]

[ганка симеонова]

, сладури сте..
след малко ще пусна моят вариант, за а)

[nikolavp]

[martosss]

Не разбирам кое му е сложното на а)

Понеже [tex]\angle ACB=\gam = \frac{\stackrel{\rotatebox{90}{\big)}}{AB} }{2}[/tex] и [tex]\angle AOH=\stackrel{\rotatebox{90}{\big)}}{AH} =\frac{\stackrel{\rotatebox{90}{\big)}}{AB}}{2}[/tex], то [tex]\angle AOH=\gam[/tex] и от тук мисля че косинуса става [tex]cos\gam =\frac{OH}{AO}=\frac{h-R}{R}=\frac{h}{R}-1=x-1[/tex]

За б) може да изразите [tex]\angle ABC=\angle BAC=90^\circ-\frac{\gam}{2}[/tex] и от тук [tex]\angle BOA_1=\angle COB_1=90-\frac{\gamma}{2}[/tex] и сега просто изразявате търсеното отношение [tex]\frac{d}{R}= \frac{(cos\gam + 2cos(90^\circ -\gam ))*\cancel R}{\cancel R}=cos\gam +2sin(\frac{\gam}{2} [/tex] и мисля от тук ще се оправите и сами

[nikolavp]

Имаш грешка накрая, когато си разбил знаменателя и си получил точно моят отговор , но това наистина май е само за остроъгълен

[ObsCure]

Хахаха,Мартос ги прави на по 1 ред...получаваш същото като Никола.

[ганка симеонова]

разсъждавайте.... това е най- лесният вариант, за изразяване на косинуса...

[martosss]

Ооо, вярно че е само [tex]x[/tex], аз си мислех че е наобратно , а за тъпоъгълния... То се получава същото, само дето разстоянието става R-h и трябва да напишеш [tex]cos\gam=-cos(180^\circ -\gam)=-\frac{R-h}{R}=x-1[/tex]

[ObsCure]

Martos направи и б),значи остава екстремалната страна на задачата...

[nikolavp]

Което показва, че отново съм в бизнеса с тригонометрията

[ObsCure]

[martosss]

О, аз просто не видях че има в) извинете

[ObsCure]

Оф Боже...и моето решение беше вярно,но съм забравил,че половинката и тя е на 2ра степен....а вие нали сте пичове,решихте я по-краткият начин...

[nikolavp]

Това което и Мартос написа сбора върху радиуса е равен на [tex]cos\gamma+2\sin\frac{\gamma}{2}=1-2sin^2\frac{\gamma}{2}+2\frac{\gamma}{2}=f(\gamma)[/tex]Това ни е яката функция

Сега нека положим [tex]\sin\frac{\gamma}{2}=x[/tex] Като ще отбележим, че [tex]x\in (0;1)[/tex] (1) и да си кръстим новата фунцкията g(x)=>
[tex]g(x)=-2x^2+2x+1[/tex]

[tex]x_{o}=\frac{1}{2}\in (1)=>[/tex] е екстремум(максимум)

=>Когато това чудо има есктремум [tex]\sin\frac{\gamma}{2}=\frac{1}{2}=>\frac{\gamma}{2}=30^\circ => \gamma =60^\circ[/tex] => Триъгълника е равнобедрен с ъгъл от 60 градуса между бедрата => той е равностранен и всички ъгли са по 60 градуса

[martosss]

Защо я изтри? Оцвети го в червено и пиши ГРЕШНО с големи букви, не го трии само си губиш времето, нека се учат от грешките ти

[ObsCure]

[martosss]

Тоест ще излезне, че триъгълникът е равностранен, логично звучи някак си

П.П. наистина сега за в) не се сетих, браво, ники, наистина това да го представиш като квадратно спрямо sin(γ/2) беше добре Значи тук всичко е ясно вече Сега чакам Г-жа Ганка да каже дали всичко е вярно Впрочем аз на моето решение трябваше това у-е да го представя само с cosγ, което изглежда така - [tex]\frac{d}{R}=cos\gam + 2sin(\frac{\gam}{2})=x-1+2\sqrt{\frac{2-x}{2}}=x-1+\sqrt{2}*\sqrt{2-x}[/tex]

[nikolavp]

[nikolavp]

[martosss]

[nikolavp]

Всъщност аз такива не съм решавал още, още съм в началото на геометрията, но като се замислиш ти гледаш два случая, а аз се измъквам, защото при мен [tex]\cos\frac{\gamma}{2}[/tex] е винаги положително( I квадрант). Да не говорим, че после го вдигам на квадрат за удвоения ъгъл, което пак няма да повляе на знака. Лошото е, че така b) ми убягваше

[martosss]

А бе и два случая да са, ако видиш чертежа на Ганка, то продължи височината до пресичането с окръжността и ъгъл гама ти е готов, случаите които се получават са с еднакви отговори и са по-къси от твоя Освен това б) веднага излиза по този метод

П.П. всъщност пак има два случая Но... пак се получават еднакви отговори

[ObsCure]

Браво,господа!Та коя специалност записахте в УАСГ? ;D