ирационално уравнение

[ганка симеонова]

Да се реши уравнението

[tex] \sqrt[3]{1-x}+ \sqrt[3]{1+x}=\frac{x^{2}+2}{\sqrt{x^{2}+1} } [/tex]

[Реклама]

[Spider Iovkov]

[tex]x=0[/tex]

[ганка симеонова]

очаквам решение, не само отговор

[b1ck0]

Такава задача ми се падна на повишението в 12 клас.

[ганка симеонова]

и повиши ли се или се понижи

[nikolavp]

[martosss]

хах разложих ги и от двете страни ама още малко ще я помисля

[ганка симеонова]

гадните функции, марто
разгледай двете страни, като две функции
ако можеш, оцени поведението им..

[martosss]

[tex] \sqrt[3]{1-x}+ \sqrt[3]{1+x}=\frac{x^{2}+2}{\sqrt{x^{2}+1} }\;\; /^3[/tex]

[tex](\sqrt[3]{1-x})^3+ (\sqrt[3]{1+x})^3+3\sqrt[3]{1-x^2}(\sqrt[3]{1-x}+ \sqrt[3]{1+x})=\left(\frac{x^{2}+2}{\sqrt{x^{2}+1}}\right)^3[/tex]

Сега от условието имаме [tex](\sqrt[3]{1-x}+ \sqrt[3]{1+x})=\frac{x^{2}+2}{\sqrt{x^{2}+1}}[/tex] и ще го заместим по-горе, като после ще направим проверка, за да изхвърлим евентуални чужди решения

Получаваме : [tex]1-x+1+x+3\sqrt[3]{1-x^2}*\frac{x^{2}+2}{\sqrt{x^{2}+1}}=\left(\frac{x^{2}+2}{\sqrt{x^{2}+1}}\right)^3[/tex]

Нека разгледаме дясната страна:
[tex]\frac{x^{2}+2}{\sqrt{x^{2}+1}}=\frac{x^{2}+1+1}{\sqrt{x^{2}+1}}=\frac{\sqrt{x^{2}+1}^2+1}{\sqrt{x^{2}+1}}=\sqrt{x^2+1}+\frac{1}{\sqrt{x^2+1}[/tex]

Полагаме [tex]\sqrt{x^2+1}=a[/tex] , a>0. За у-ето получаваме:

M=[tex]2+3\sqrt[3]{1-x^2}*\left(a+\frac{1}{a}\right)=\left(a+\frac{1}{a}\right)^3[/tex]

M=[tex]3\sqrt[3]{1-x^2}*\left(a+\frac{1}{a}\right)=a^3+3\left(a+\frac{1}{a}\right)+\frac{1}{a^3}-2[/tex]

M=[tex]3*\left(a+\frac{1}{a}\right)*\left{\sqrt[3]{1-x^2}-1\right}=a^3-1+\frac{1}{a^3}-1=(a^3-1)\left(1-\frac{1}{a^3}\right)=\frac{(a^3-1)^2}{a^3}[/tex]

M=[tex]3*\left(a+\frac{1}{a}\right)*\left{\sqrt[3]{1-x^2}-1\right}=\frac{(a^3-1)^2}{a^3}[/tex]

[tex]\sqrt[3]{1-x^2}-1=\frac{(a^3-1)^2}{3a^2*(a^2+1)}[/tex]

Тъй като дясната страна е неотрицателна, то и лявата също трябва да е неотрицателна:

[tex]\sqrt[3]{1-x^2}-1\ge 0[/tex]
[tex]1-x^2\ge 1[/tex]
[tex]x^2\le 0[/tex]
От тук единствената стойност за х е 0 и като заместим получаваме вярно равенство, с което сме доказали задачата

[cub]

[tex] x\in [-1;1][/tex]
[tex] 2=\frac{(x^{2}+2)(\sqrt{1-x}-\sqrt{1-x^{2}}+\sqrt{1+x}) }{\sqrt{x^{2}+1} }[/tex]
[tex]2=\sqrt{x^{2}+1}(\sqrt{1-x}-\sqrt{1-x^{2}}+\sqrt{1+x}) +\frac{\sqrt{1-x}-\sqrt{1-x^{2}}+\sqrt{1+x} }{\sqrt{x^{2}+1} } [/tex]
[tex] A=\sqrt{x^{2}+1+\frac{1}{ \sqrt{x^{2}+1} } }\ge 2 [/tex]
=>[tex] A=2, x=0[/tex]
[tex] B=\sqrt{1-x}-\sqrt{1-x^{2}}+\sqrt{1+x}[/tex]

edit: izsledvaneto na B mi e s malka gre6ka, sega 6te go opravq

[ганка симеонова]

мислиш ли, че са за срахливци?

искаш ли, да опитаме?

[martosss]

Вярно ли ми е решението по-горе? че доста време го писах, поне кажете нещо

[nikolavp]

[martosss]

[tex]\left(a+\frac{1}{a}\right)^3\; =\; a^3+3a^2\frac{1}{a}+3a*\frac{1}{a^2}+\frac{1}{a^3}\; =\; a^3+\frac{1}{a^3}+3a+3*\frac{1}{a}\; =\; a^3+\frac{1}{a^3}+3\left(a+\frac{1}{a}\right)[/tex]

[Tony_89]

Дясната страна е равна на [tex]\sqrt{x^{2} + 1} + \frac{1}{\sqrt{x^{2} + 1}} \ge 2[/tex]

[tex]\sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{1 - x} \le 2[/tex]

[tex]\sqrt[3]{1 + x} \le 2 - \sqrt[3]{1 - x}[/tex]

[tex]1 + x \le 8 - 12.\sqrt[3]{1 - x} + 6.(\sqrt[3]{1 - x})^{2} - 1 + x[/tex]

[tex]6.(\sqrt[3]{1 - x})^{2} - 12.\sqrt[3]{1 - x} + 6 \ge 0[/tex]

[tex]6.(\sqrt[3]{1 - x} - 1)^{2} \ge 0[/tex], което е изпълнено за всяко x =>

[tex]=> \frac{x^{2} + 2}{\sqrt{x^{2} + 1}} = \sqrt[3]{1 - x} + \sqrt[3]{1 + x} = 2[/tex]

x = 0

А уж щях да си почивам за утре

[martosss]

[Tony_89]

Еми тая задача я бях срещнал пред известно време и след като доста време я мъчих по стандартни начини видях, че дясната страна е по-голяма или равна на 2, и реших да проверя дали лявата не е по-малка или равна на 2.

[ганка симеонова]

разгледайте двете страни, като отделни фуинкции и ги оценете.

[martosss]

Няма смисъл Вече я решихме и "стандартно", тоест както се очаква от ученика да я реши(аз показах как) и нестандартно(От Tony_89)

[Tony_89]

Да де, г-жата педагог иска да си я напишем както трябва

[tex]f(x) = \sqrt[3]{1 - x} + \sqrt[3]{1 + x}[/tex]

[tex]f'(x) = \frac{(\sqrt[3]{1 - x} - \sqrt[3]{1 + x})(\sqrt[3]{1 - x} + \sqrt[3]{1 + x})}{3.\sqrt[3]{(1 - x)^{2}}.\sqrt[3]{(1 + x})^{2}}[/tex]

При x = 0 функцията има максимум равен на 2.

[ганка симеонова]

според мен, добрият начин, за оценяване на лявата страна е, чрез функция. числителят на производната на ф-та в ляво е:

[tex] \sqrt[3]{(1-x)^{2}}-\sqrt[3]{(1+x)^{2}} [/tex]

понеже знаменателят на първата производна е положителен, то тя се анулита и сменя знака си в [tex] x=0 [/tex]

това е точка, принадлежаща на ДО и в нея ф-та има единствен локален екстремум, който е максимум=> там ф-та достига и НГС=>

[tex] f\le 2 [/tex]

[ганка симеонова]

хмммм, искаш ли да пробваме "стандартно", с друга?

[martosss]

Разбира се Макар че да решавам задачи по метод е най-тъпо - следвам метода и задачата излиза

[ганка симеонова]

да се докаже, че за всяко реално число х е изпълнено неравенството

[tex] x^{2}-x+0,96>sinx [/tex]

[ганка симеонова]

госпожата "педагог" е без значение, но утре, ще е от значение..
УСПЕХ на всички, кандидатстващи утре...

[martosss]

Нека видим кога
[tex]f(x)>1[/tex]
[tex]x^2-x+0.96>1[/tex]
[tex]25x^2-25x-1>0[/tex]
[tex]D=25*29\Right x_{1,2}=\frac{25\pm 5\sqrt{29}}{50}=\frac{5\pm \sqrt{29}}{10}[/tex]
Тоест за [tex]x\in \left(-\infty ;\frac{5-\sqrt{29}}{10}\right) \cup \left( \frac{5+\sqrt{29}}{10} ; +\infty \right)[/tex] равенството е изпълнено.

Остана да проверим дали равенството е изпълнено в интервала [tex]\left[\frac{5-\sqrt{29}}{10};\frac{5+\sqrt{29}}{10}\right][/tex]
В този интервал лявата страна приема стойности между 0.71 и 1, а дясната страна не знаем...

Сега трябва да проверим дали sinx става става по-голямо от 0.71 в този интервал , ама не знам как да го направя

[b1ck0]

Ето я задачата: [tex]x^{2} - x + 0.96 > sinx[/tex]

[tex]x_{0} = \frac{1}{2} [/tex]

[tex]x_{0}^{2} - x_{0} + 0.96 = 0.71 [/tex]

[tex]sin(\pi x_{0}) = 0.70 [/tex]

[ганка симеонова]

това е графика, но не и решение

[b1ck0]

[tex]f(x) = x^2 - x + 0.96 - sinx [/tex]

[tex]f(x) > 0 [/tex]

[ганка симеонова]

да живее програмата, за правене на графики
пак не е решение.
едва ли би успял, да начерташ графиката, на функция, която е сбор на полином и тригонометрична...