Областен кръг на Олимпиадата по Математика 2008

[Мирослав Стоенчев]

Задачи, решения, коментари ...

[Реклама]

[Peter,theResolutionMaster]

Тя е на 19 април, нали

[Tony_89]

На 20 включително

[Night_Flower]

Ето една задача, на пръв поглед не много трудно и наистина е лeкичка, давана на първи ден - 10 клас 2004та

В едно предприятие има m≥1 мъже и j≥1 жени, j<2004. Всени пратил на всеки (освен на себе си) по една картичка. Оказало се, че всички картички, изпратени от мъже, са колкото картичките, изпратени от жени на жени. Намерете всички възможни стойности на j.

[Peter,theResolutionMaster]

За 8 клас два дни ли е 2 кръг на олимпиадата и колко задачи?

[puhcho0411]

[Boyan]

а за j има решения 10, 65 и 442 също.

[Night_Flower]

Ами аз имам друга идея -

m(m+j-1)=j(j-1)
m²=(j-1)(j-m)

ако k e прост делител на един от множителите (тоест допускаме че двата множителя не са взаимно прости ) следователно к е делител на m, и k/j-m тоест k/j, но k/j-1 тоест k/1 което очевидно е невярно. Следователно j-1 и j-m са взаимно прости. Тоест j-1 = p² и j-m=t² и ся оттука чакам помощ

[Night_Flower]

Предполагам, че изразяваме j от двете и изравняваме, тогава ще трябва да се разглежда сравнение по подходящ модул, който аз не можах да улуча

[puhcho0411]

дам имам грешка D=5*k² -4
a не k² -4
време е да давате задачи от първи ден

[vasko92]

Задачите от областния кръг по математика за 9-ти клас(I ден)

Ето ги и тях:

[puhcho0411]

3) на 9 клас
3780 = 5*7*2² *3³
при каноничен вид на n имаш 3 случая
1. n = p⁷
2. n = a* b³
3. n = m*r*q
където p,a,b,m,r,q са прости
разглеждаме получените суми
1. няма такова p (4⁷ =16384 => p=2 или p=3 който не стават)
2. (1+b +b² +b³)*(a+1)=3780 =>
няма решение (b<15 т.к при b=15 => 3616(a+1) =3780) и b - просто)
3 1+m+r+q+mr+mq+rq+mrq=3780 = (m+1)(r+1)(q+1) => че трябва да имаме 2 за едното от трите прости числа щото 3780 съдържа само 2 двойки в каноничен вид
така нека m=2 => (r+1)(q+1) =1260 и двата множителя са от вида 2*(2w+1) =>

r=13 q=89 n=2314
r=29 q=41 n= 2378

[puhcho0411]

1) 9клас
от условието => x неотрицателно
от виет => x1 * x2 =p² +q²/p² +q² = 1
и тк х трябва да е цяло => х е едно, демек това е еквивалентно на K*(х-1)²=0

корените да са 1 <= > 4pq+1 = 2p² +2q² =>
4pq +1 се дели на 2 противоречие
ако p или q са 0 пак противоречие тк се получава
(qx)² -1 +q²=0
виет=> 1/q² e цяло =>q=1 => няма реални корени
аналогично и за р = 0
ако р=q=0 то x=0 - цяло =>
само p=0=q

[soldier_vl]

Дайте 12 клас, ако някой го има

[Who_cares123456]

[tex]n=2^3.251[/tex]
1+2+4+8+251+502+1004+2008=3780

или направо : [tex]\frac{2^4-1}{2-1}.\frac{251^2-1}{251-1}=\frac{15}{1}.\frac{63000}{250 }=15.252=3780 [/tex]

[puhcho0411]

еее мамка му аз смятах кво смятах и изкарах че 251 не е просто и се дели на 13
личи си че не съм във форма

дайте и другите класове

[Who_cares123456]

на 11 клас :
1. няма смисъл да се обсъжда
2. Д-но: АВС - равностранен триъгълник. Р- произволна точка от вътрешността. [tex]A_1,B_1,C_1[/tex] са симетричните точки на Р спрамо ВС, СА и АВ. ДСД , че правите [tex]AA_1\cap BB_1\cap CC_1[/tex] в една точка.
3. [tex]a,b\in N[/tex]. [tex]a_1=a;a_{n+1}=\phi (a_n+b)[/tex] - функцията на ойлер.
ДСД , че [tex]\{a_n \}_{n=1}^\infty [/tex] е ограничена.

[mihail9580]

Е ама някои от 6 ти клас нямя ли да си кажем някоя дума?

[Tony_89]

12 клас

I ден

зад.1

В триъгълна пирамида ABCD околните ръбове BD и CD са равни и [tex]\angle BAD = \angle CAD[/tex]. Да се намери обемът на пирамидата, ако AB = 15, BC = 14, AC = 13 и AD = 18.

зад.2

Да се намерят стойностите на реалния параметър a, за които графиките на функциите [tex]f(x) = x^{2} + a[/tex] и [tex]g(x) = x^{3}[/tex] имат точно една обща допирателна.

зад.3

Съществува ли естествено число n, за което числото [tex](\frac{2008}{n})^{3} + \frac{2008}{n}[/tex] е квадрат на рационално число?

[Who_cares123456]

само на 9 клас ли задачите са толкова лесни. Накрая да не стане само те да си правят 3тия кръг : D

[martosss]

10 клас - Първи ден

Задача 1. Да се намерят всички реални стойности на х, за които са изпълнени неравенствата
[tex]1\le \sqrt{x+2}-\frac{1}{\sqrt{x+2} }\le 4[/tex]

Задача 2. Точките А, В и С са разположени върху окръжност k така, че допирателните към k в точките А и В се пресичат в точка Р, а С лежи на голямата дъга АВ. Нека правата през С, която е перпендикулярна на РС, пресича правата АВ в точка Q. Да се докаже, че:
а) ако правите РС и QС пресичак k за втори път съответно в точките М и N, то [tex]\angle CQP=\angle CMN[/tex];
б) ако S е средата на РQ, то SC е допирателна към k.

Задача 3. Да се докаже, че съществува функция [tex]f:N -> N[/tex], удовлетворяваща равенството [tex]f(f(n))=3n[/tex], за всяко [tex]n\in N[/tex].
Време за работа: 4 ч. и 30 мин.
Всяка задача се оценява със 7 точки.
Телефон за връзка: 0899-804-405 (Стоян Боев)


Един коментар - до колкото учителката ми каза на трета задача N->N означава че естествени числа се изобразяват в естествени числа, тоест f(n) и n трябва да са естествени числа

До колкото мога аз да кажа реших първа и втора б)

[Who_cares123456]

12 клас - 3 задача.

[tex]\frac{2008^3}{n^3}+\frac{2008}{n}=\frac{p^2}{q^2} [/tex]
[tex]\frac{2008}{n}+\frac{n}{2008}=\(\frac{pn}{2008q}\)^2 [/tex]
=>[tex]\(\frac{2008}{n}\)^2-\(\frac{pn}{2008q}\)^2.\frac{2008}{n}+1=0 [/tex]

Нека вземем уравнението [tex]x^2-\(\frac{pn}{2008q}\)^2.x+1=0[/tex]
[tex]D=\(\frac{pn}{2008q}\)^4-4[/tex]

=>[tex]\sqrt{D}=\frac{\sqrt{(pn)^4-4(2008q)^4} }{(2008q)^2} [/tex]

за да има рационални корени значи , D трябва също да е рационална.
но ако [tex]pn=t[/tex] и [tex]2008q=k[/tex] =>[tex]t^4-4.k^4=v^2[/tex] , което няма решение в цели числа:


[tex]x^4-4y^4=z^2[/tex] . Полагаме [tex]x^2=x',2y^2=y'[/tex]
=>[tex](y')^2+z^2=(x')^2[/tex]
=> тъй като (y') e четно , то y'=2mn z=m²-n² x'=m²+n² (м и н са взаимнопрости)
имаме [tex]2y^2=2mn[/tex] => [tex]m=(m')^2;n=(n')^2[/tex]

=> имаме уравнението [tex]x^2=(m')^4+(n')^4[/tex]

http://www.math10.com/forumbg/viewtopic.php?t=2779

тука ще намерите защо това няма решение.

=> дискриминантата е ирационално число => не съществува исканото n .

?????? има ли грешка ???????

[martosss]

еее що не решихте някоя от моите задачи днес на втория кръг ще има да клепя...

[Nona]

12 клас - втори ден


Задача 4. Да се намерят всички естествени числа [tex]a[/tex] такива, че [tex]\left [ \sqrt {n}+\sqrt{n+1} \right ]=\left [ \sqrt{4n+a} \right ][/tex] за произволно естествено число [tex]n[/tex] [tex] \left ([x][/tex] означава цялата част на числото [tex]x )[/tex].

Задача 5. Вписаната в [tex]\triangle ABC[/tex] окръжност се допира до страните [tex]BC, \ CA[/tex] и [tex]AB[/tex] съответно в точки [tex]A_1, \ B_1[/tex] и [tex]C_1.[/tex] Известно е, че правата [tex]A_1B_1[/tex] разполовява отсечката [tex]CC_1.[/tex] Да се намерят ъглите на триъгълника, ако техните синуси образуват аритметична прогресия.

Задача 6. Нека [tex]\R[/tex] е множеството на реалните числа. Да се намерят всички функции [tex]f \ : \ \R \right \R[/tex] такива, че [tex]f(x+y^2)\ge (y+1)f(x)[/tex] за произволни [tex]x, \ y \in \R.[/tex]

[Tony_89]

12 клас

II ден

зад.4

Да се намерят всички естествени числа a такива, че [tex][\sqrt{n} + \sqrt{n + 1}] = [\sqrt{4n + a}][/tex] за произволно естествено число n ([x] означава цялата част на числото x).

зад.5

Вписаната в ▲ABC окръжност се допира до страните BC, AC и AB съответно в точки A₁, B₁ и C₁. Известно е, че правата A₁B₁ разполовява отсечката CC₁. Да се намерят ъглите на триъгълника, ако техните синуси образуват аритметична прогресия.

зад.6

Нека R е множеството на реалните числа. Да се намерят всички функции [tex]f : R \to R[/tex] такава, че [tex]f(x + y^{2}) \ge (y + 1)f(x)[/tex] за произволни [tex]x,y \in R[/tex].

[Tony_89]

Една минута . Малко труд и от двама ни

[ShAkE]

[katalizator_]

Някой има ли задачите за 11 клас от двата дни?

[katalizator_]

[Who_cares123456]

6 задача - 11 клас :
За естественото число к означаваме с f(k) възможно най-големия брой числа в множеството М , за което:
1. Всяко число от М е делител на к
2. Нито едно един елемент на М не дели друг елемент на М.
ДСД [tex]f(n.2^n)f(m.2^m)=f(mn.2^{m+n})[/tex]

Ако вземем [tex]f(n.2^n)=\alpha [/tex] и [tex]f(m.2^m)=\beta [/tex], то числата [tex]t_1,t_2,...,t_{\alpha }[/tex] по между си няма да се делят, ще делят n2ⁿ и ще са възможно най-много, а [tex]g_1,g_2,...,g_{\beta }[/tex] по между си няма да се делят, ще делят m2^m и ще са възможно най-много.

Нека [tex]n=(p_1)^{r_1}(p_2)^{r_2}...(p_s)^{r_s}[/tex] и [tex]m=(p_{s+1})^{r_{s+1}}(p_{s+2})^{r_{s+2}}...(p_{s+l})^{r_{s+l}}[/tex].

=> [tex]t_i=(p_1)^{h_1}(p_2)^{h_2}...(p_s)^{h_s}[/tex] [tex](0\le h_j\le r_j;1\le j\le s)[/tex] ; [tex]g_i=(p_{s+1})^{h_{s+1}}(p_{s+2})^{h_{s+2}}...(p_{s+l})^{h_{s+l}}[/tex] [tex](0\le h_{s+q}\le r_{s+q};1\le q\le k)[/tex] където ако м или н е са нечетни, ще е възможно и наличието на двойки в канонични вид на t и g.

Числата [tex]t_i[/tex] и [tex]t_j[/tex] , за които всичките делителите на едното са делители и на второто - някои два, от което са р_x и р_у, задалжително имат [tex]h_{xi}>h_{xj}[/tex] - степените на [tex]p_x[/tex] съответно в [tex]t_i[/tex] и [tex]t_j[/tex] - и [tex]h_{yi}<h_{yj}[/tex] - степените на [tex]p_y[/tex] съответно в [tex]t_i[/tex] и [tex]t_j[/tex]. Иначе ако степените на всичките делители на [tex]t_i[/tex] са по-големи или = на степените на същите прости числа в каноничното разлагане на [tex]t_j[/tex], то [tex]t_j[/tex] ще дели [tex]t_i[/tex]. (1)

Аналогично и за g-тата.

Сега като вземем [tex]g_1t_1 , g_1t_2 , .... , g_1t_\alpha [/tex] те очеведно няма да се делят помежду си , заради t-тата и ще са възможно най-много. Също така тези числа ще делят [tex]f(mn.2^{m+n})[/tex]. Като заместим g₁ последователно с g₂,g₃,...,g_β ще получим [tex]\alpha .\beta [/tex] числа, които делят [tex]f(mn.2^{m+n})[/tex].

Те са възможно най-много , тъй като имаме [tex] \beta[/tex] редици двойки числа - макс възможите - от по [tex]\alpha[/tex] елемента - макс възможите.
Да предположим, че някои две числа от тези се делят по между си - [tex]t_ig_j|t_wg_u[/tex]. Тогава всички прости числа в каноничния вид на по-малкото - [tex]t_ig_j[/tex] - участват и в каноничния вид на другото. На всяко от тези прости числа степента в числото с по-голяма стойност - [tex]t_wg_u[/tex] ще е по-голяма или равна от степента му в по-малкото число - [tex]t_ig_j[/tex]. Което не е вярно заради (1) - степента на някое от простите числа формиращи [tex]t_i[/tex] ще е по-голяма от тази в [tex]t_u[/tex]. Трябва да се отбележи, че простите числа, идващи от t_i в [tex]t_ig_j[/tex], в [tex]t_wg_u[/tex] ще идват от t_w.

Ако това е вярно, ще се заколя , щото не успях да го напиша като хората на самата олимпиада и може на тая задача и една точица да не ми дадат.
С други думи пожелавам късмет на тея , дето ще ходят на 3ти кръг.