Алгоритъм за решаване на квадратно-параметрично уравнение

[BHuMaHuE]

Този тип задачи не мога да ги разбера незнам как да започна да ги решавам... говора за задачи от типа :

Броят на корените е :

x²+(a-1)x+a+2 = 0

За кои стойности на параметъра а корените са с различни знаци...

(a-2)x²+(3a²-2)x+5a-6=0

[Реклама]

[ганка симеонова]

1)при Д>0, съществуват два различни реални корена
при Д=0, съществува един двукратен корен
при Д<0, несъществуват корени
2) уравнението е с параметър пред най- високата степен, но щом се иска да иам корени с различни знаци, това предполага, че е квадратно=>
с/а<0

[BHuMaHuE]

Мерси много за пореден път

[Methuselah]

Само да вметна, че в критериите за оценяване на изпити влиза и отделното разглеждане на случая: старшият коефициент (онова пред х² ) да е равен на 0.

[ганка симеонова]

аз го написах, но в случая се предполага, че уравнението е квадратно, след като се искат корени с различни знаци

[Methuselah]

Това беше в отговор на "Какъв е начинът...", а не в отговор на твоя пост.

[BHuMaHuE]

[Methuselah]

Гледаш за кои а дискриминантата е положителна, отрицателна и равна на нула.
За тези а за които е положителна - има 2 корена, за тези за които е отрицателна няма реални корени, за тези за които е равна на нула има 1 двоен корен.

[Fed]

[ганка симеонова]

[tex] D=a^{2}-6a-7[/tex]
[tex]1) D>0 => a\in (-\infty ;-1)\cup (7;+\infty )=>[/tex] при тези стойности на а, уравнението ще има два различни реални корена
[tex] 2) D=0 =>a_{1}=-1; a_{2}=7 =>[/tex] при тези две стойности уравнението ще има един двоен корен
[tex] D<0 =>a\in (-1;7) => [/tex] за всяко а от този интервал уравнението няма да има реални корени

[ганка симеонова]

я ми кажи, ясен ли ти е смисъла на понятието "параметър"?
ако не ти е ясен, ще ти го обясня.
защото, ако не съзнаваш значението на параметър, няма да можеш да решаваш, задачи с такъв..

[BHuMaHuE]

Еми не точно ... ще съм радостен ако ми кажеж

[ганка симеонова]

ок, приготви се за една по- дълга лекция. като за начало ще разгледам три конкретни уравнения, всяко с различен брой корени
[tex]x^{2}-4x+3=0 ; D=12>0 => x_{1}\ne x_{2}[/tex]
[tex] x^{2}-4x+4=0 ; D=0 =>x_{1}=x_{2}=2 [/tex]
[tex] x^{2}-4x+5=0; D<0 =>[/tex] не съществуват реални корени
всички тези уравнения се различават единствено по свободния си коефициент. аз мога да напиша безброй много такива уравнения, но мога да ги запиша само с помощта на едно:
[tex] x^{2}-4x+m=0 [/tex]
представи си, че в една кошница си сложил всички тези уравнения. давайки някаква стойност на m, ти вадиш от тази кошница конкретно уравнение. да видим, каква трябва да е стойността на параметъра, така че извадените уравнения, да са например с два различни корена очевидно дискриминантата трябва да е положителна. =>
[tex] D=16-4m>0 => m\in (-\infty ; 4)[/tex]
ето свободния коефициент на първото ми уравнение е 3. това число е от интервала и се вижда, че уравнението има два различни корена.
ако искаме пар. уравнение да има един корен=>
[tex] D=0 => 16-4m=0 =>m=4[/tex] така получих и второто си уравнение. аналогично при [tex] D<0 =>m\in (4 ;+\infty )[/tex] нямаме корени. третото уравнение с коефициент 5>4 и е пример, за това

[BHuMaHuE]

ееее Ганка мерси много за изчерпателното обяснение да си жива и здрава

[ганка симеонова]

да ти се връща тъпкано, приятел стръскано и препълнено!!!

[Shanel_1990]

Е ако уравнението е биквадратно какви условия трябва да са изпълнени за реалния параметър за да има например 4,2 или да няма реални корени? Благодаря предварително.

[Methuselah]

След полагането u=x² се гледа колко положителни корена има квадратното уравнение относно u.
Това вече си е описано на дълго и нашироко в на Делев сборника - сега не мога да обясня как се прави.

[ганка симеонова]

[tex] ax^{4}+bx^{2}+c=0[/tex] пол.[tex] x^{2}=y\ge 0[/tex]
ако съответното квадратно уравнение е непълно :
1) [tex] ay^{2}=0 =>x=0[/tex] 1 корен ( четворен)
2) [tex]ay^{2}+by=0 =>y_{1}=0=>x_{1}=0 ; y_{2}=-\frac{b}{a } [/tex] ако [tex] y_{2}>0=>x_{2,3}=\pm \sqrt{\frac{-b}{a } }[/tex] в този случай имаш 3 корена
3)ако квадратното уравнение е пълно и има отрицателна дискриминанта или два отрицателни корена, биквадратното няма решение
4)ако квадратното има корени с различни знаци, биквадратното има 2 различни противоположни корени
5)ако квадратното има два положителни корена, биквадратното има 4 корена- два по два противоположни

[Shanel_1990]

Имам проблем с една конкурсна задача по математика. Условието е: Намерете стойностите на реалния параметър a ,при които уравненията [tex]f(x)=x^2 + ax + 1=0[/tex] и [tex]g(x)= x^2+x+a=0[/tex] имат поне един общ корен.

[soldier_vl]

f(x)=g(x) го реши

[Shanel_1990]

Само това? Така ли се решава задачата?

[soldier_vl]

Ми май да. Има 2 случая при а=1 двете функции съвпадат при а различно от 1 х=1 е общото решение

[Shanel_1990]

Еми отговора е a=1 и a=-2. То всъщност задачата е от един сборник,където има подобна решена,но по такъв начин... И затова се учудих за този кратък метод.

[Shanel_1990]

Някой няма ли да ми помогне със задачката,защото аз определено не мога да си помогна

[ганка симеонова]

шанел, аз не разбрах, кое не е ясно..
напиши, какво в решението те притеснява..

[Shanel_1990]

То по принцип изцяло решението ме притеснява Значи направих както ме посъветва soldier_vl f(x)=g(x) и получих двата случая. Обаче отговора е a=1 и a=-2. Откъде се получава a=-2? И всъщност основното е,че не разбирам смисъла на задачата Кога две уравнения имат общ корен Мисля,че единия случай е този,който направих,т.е. да се приравнят.

[soldier_vl]

Ми виж сега! При а=3 да речем се получава х²+3х+1 и х²+х+3 и като ги приравниш се получава х=1 че е решение

[Shanel_1990]

Да,разбирам те! Но не може ли някой да ми го реши подробно и да ми обясни,защото това,което ме притеснява е,че задачата е давана на конкурсен изпит,а аз не знам нито как да я реша цялата,нито пък как да я запиша така,че стилистично да е издържана!

[ганка симеонова]

две уравнения [tex] f(x)=0[/tex] и [tex]g(x)=0 [/tex] имат общ корен, ако уравнението [tex] f(x)=g(x) [/tex] има решение. тогава искаме:
[tex] x^{2}+ax+1=x^{2}+x+a [/tex] унищожавайки вторите степени на х, то се превръща в линейно параметрично уравнение. да го изследваме:
[tex] (a-1)x=a-1[/tex]
1сл.) [tex]a-1=0 => a=1 =>0x=0[/tex] това уравнение има безбройно много решения и това е така, защото при а=1 двете първоначални уравнения стават еквивалентни и всички корени на евдното, ще са корени и на другото.
2сл.) [tex]a-1\ne 0 =>a\ne 1 =>x=\frac{a-1}{a-1 } =1[/tex]
тогава очевидно х=1 е общ корен. заместваме го в кое и да е уравнение, например в първото и получаваме:
[tex] 1^{2}+a.1+1=0 =>a=-2 [/tex]
окончателно: а=1; а=-2

[Methuselah]