От зад. в СУ

[r2d2]

Нека правата [tex]l: y=ax+b[/tex] е допирателна към графиката на [tex]y=P(x) [/tex] (Р(х) - полином) в точката с абсциса x=u.

1. Докажете, че [tex]x=u [/tex]e поне двукрaтен корен на уравнението [tex]P(x)-ax-b=0.[/tex]

2. Намерете допирателните към графиката на [tex]f(x)=x^4+2x^3-12x^2[/tex], които имат точно две пресечни точки с нея.

[Реклама]

[r2d2]

толкова ли е трудно?

[ганка симеонова]

r2 d2, имам идея, но вече ме е срам, да я напиша). всъщност, до някъде имам идея...

[r2d2]

Aбе има една приказка, които го е страх от мечки.. да не ходи в math10.

A и една песен "Ни могъ маце мноо мъ ие срам!".

[ганка симеонова]

хеййййййййййййййй!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! мечка страх, мен не ме е страх!!!!!!!!!!!!!
но, стигам до някъде( а май, е до под кривата круша)... хайде, да напиша идеята
(дори не знам, дали е някаква идея) и ти ще ми кажеш.. става ли?

[ганка симеонова]

знаем, че първата производна на ф- та, в точката х=u е равна на ъгловия коефициент, т. е.
[tex] P^{'}(u)=a. [/tex] Тогава ; [tex] l:y= P^{'}(u)x+b [/tex] но, двете графики имат обща точка. тогава: [tex] P(u)= P^{'}(u)u+b=> b=P(u)-P^{'}(u)u. [/tex]
тогава: [tex] l: y= P^{'}(u)x+P(u)-P^{'}(u)u [/tex]
тогава, трябва да докажем , че уравненнието:
[tex] P(x)- P^{'}(u)x-P(u)+P^{'}(u)u=0 [/tex] има поне един двоен корен в [tex] x=u[ /tex]т.е.:
[tex] P(x)-P(u)-P^{'}(u)(x-u)=0 [/tex] има поне двоен корен..

[ганка симеонова]

само ми кажи, дали съм по права пътечка или на път, за кумчо вълчо))

[cub]

2) [tex] (x-u)^{2}(x-v)^{2}=0[/tex]
[tex] (x^{2}-2xu+u^{2})(x^{2}-2xv+v^{2})=0[/tex]
[tex] x^{4}-2x^{3}(v+u)+x^{2}(v^{2}+4vu+u^{2})-2x(uv^{2}+vu^{2})+u^{2}v^{2}=0[/tex]
[tex] f(x)=x^{4}+2x^{3}-12x^{2}=0[/tex]
[tex] v+u=-1[/tex]
[tex] v^{2}+4vu+u^{2}=-12[/tex]
[tex] (v+u)^{2}+2vu=-12[/tex]
[tex] 2uv=-13[/tex]
[tex] vu=\frac{-13}{2 }[/tex]
[tex]z^{2}+z.1-\frac{13}{2 }=0[/tex]
[tex] u,v=\frac{-1\pm \sqrt{27} }{2 } [/tex]
[tex] l: y=-(-2x(uv^{2}+vu^{2})+u^{2}v^{2})[/tex]
[tex] =-((1-27).2\frac{x}{4 } +\frac{(1-27)^{2}}{ 4})=-(-13x+\frac{169}{4 }) [/tex]

[tex] y_{1}=13x-\frac{169}{4 } [/tex]

[garion]

Нека f(x) = P(x) - ax - b. както си започнала:

[ганка симеонова]

да, така е. ясно е, че u е корен. диференцирам f(x) и получавам:
[tex] f^{'}(x)=P^{'}(x)-P^{'}(u). [/tex] приравнявайки на 0 се вижда, че х=u е корен) тенкс garion

[garion]

k-кратен корен на полином ми беше единия въпрос на изпита по Висша Алгебра в I курс във ФМИ , а и учителката ми в НПМГ ни го беше преподавала.

[ганка симеонова]

абе, и аз уж го знам, ама не зацепих веднага. каквао, да ти кажа:
старост- нерадост)

[garion]

ееее айде сега. без такива.

[r2d2]

[ганка симеонова]

ок, r2d2:
да разгледаме функцията:
[tex] f(x)=P(x)-P(u)-P^{'}(u)(x-u) [/tex] след като полинимът и допирателната имат обща точка, в x=u, то това е и корен на уравнението [tex] f(x)=0 [/tex] да разгледаме първата производна на [tex] f(x) [/tex]
[tex] f^{'}(x)= P^{'}(x)-P^{'}(u)[/tex]
[tex] f^{'}(u)= P^{'}(u)-P^{'}(u)=0[/tex] тогава следва, че x=u е корен на уравнението [tex] f^{'}(x)=0 [/tex]. тогава, щом u анулира дадена функция и нейната първа производна, е поне двукратен корен..

[bobson]

Нерабрах защо втората част на задачата стана така - там където се търсят самите допирателни

[r2d2]

[Infernum]

[borku]

Нищо не разбирам... на какво се дължи това!?

[r2d2]

[Infernum]

айде, айде не разбирали, хехе....

[garion]

[r2d2]

доказателството на инфернум е вярно.

решение на зад. още няма!

[garion]

[garion]

[Infernum]

[garion]

лелееее какви глупости съм писал. извинявам се

[r2d2]

Никой ли не иска да реши втората част?

[Infernum]

Втората част от задачата се свежда до намирането на условия за коефициентите a и b от уравнението на допирателната y = ax+b, построена в произволна точка от графиката на функцията f(x), с абсциса x = u, при които уравнението g(x) = f(x) - ax - b = 0 има точно двукратен корен в точката x = u. Тъй като f е полином, то както бе доказано по-горе, за това е необходимо и достатъчно в точката x = u да са изпълнени условията

g(u) = 0
g'(u) = 0
g''(u) ≠ 0

От последното условие, което представлява полином на u, се намират стойностите на u, при които уравнението g(u) = 0 има точно двукратен корен, а от първите две се получават системи линейни уравнения относно коефициентите a и b на допирателните построени към f(x) в точките с абсциси, корените на g''(u) = 0.

[r2d2]

Е този път си абсолютно неправ!