4 задачи с аритметични и геометрични прогресии

[complex]

Бихте ли ми помогнали да реша следните задачи:
1) Да се намери сумата на всички положителни двуцифрени числа, които се делят на 13.
2) Между числата a и b (а≠b), да се вместят р числа, които заедно с дадените да образуват аритметична прогресия. Запишете чрез параметрите a, b и p първите 4 члена на тази прогресия, ако p≥3.
3) Това е система:
|a₁ - a₃ + a₅ = - 65
|a₁ + a₇= -325
Има ли по-елегантен начин за решение освен да изразим а₁ чрез q, след което се получава полином от 6-та степен и чрез Хорнер се намират корените?
4) Между числата 9 и 234 да се намерят 2 числа така, че четирите да образуват геометрична прогресия.

[Реклама]

[ганка симеонова]

най- малкото число, делящо се на 13, е самото 13. най- голямото е, 91. тогава
[tex] a_{1}=13, a_{n}=91, a_{n}=a_{1}+(n-1)13, 91=13+(n-1)13, n=7 [/tex]
[tex] S_{7}=(13+91).\frac{7}{ 2}=364 [/tex]

[complex]

Да и аз го реших по същия начин но отговорът в сборника е 1665.

[ганка симеонова]

отговорът е сгрешен, в сборника

[ганка симеонова]

относно системата: използвай, че [tex] 1+q^{6}=(1+q^{2})(1-g^{2}+q^{4})[/tex]
това е формула за съкратено умножение и като изнесеш първия член пред скоби и разделиш двете уравнения, ще получиш:
[tex] 1+q^{2}=5, q^{2}=4, q=\pm 2 [/tex]

[ганка симеонова]

относно последната: нека означим така:
[tex] a_{1}=9, a_{2}=x, a_{3}=y, a_{4}=234 [/tex] тогава можем да намерим частното
[tex] a_{4}=a_{1}.q^{3}, q^{3}=26, q=\sqrt[3]{26} [/tex] после мисля, че останалите две числа са ясни, като имаш частното.

[ганка симеонова]

относно втора задача. числата, заедно с а и b, стават р+2. тогава а е първият член, а b е (р+2)-ият член. тогава
[tex] a_{p+2}=a_{1}+(p+1)d, b=a+(p+1)d, d=\frac{b-a}{p+1 } [/tex]
вече имаш разликата , първия член и можеш, да намериш което си число искаш)

[complex]

Благодаря ти за помощта. За четвърта задача и аз бях стигнал до [tex]\sqrt[3]{26} [/tex], но отговорите са 27 и 81, т.е. за [tex]a_2=9.\sqrt[3]{26}[/tex] което не е равно на 27 и аналогично и за а₃. Според мен в условието е сгрешено числото 234, което трябва да е 243.
Ето още една задача, за която мисля, че е сгрешено условието:
Корените на уравнението x³ + ax² + bx=0 (a, b са реални параметри) не са отрицателни и образуват аритметична прогресия. Да се намерят, ако числото b е равно на четвъртия член на онази числова редица, за която S_n=2ⁿ - 1. (S_n е сумата от първите n члена на рази редица) Да се намери и числото а.
Отговорите са: 0, 2, 4; а=-6;
Аз я решавам така:
[tex]b=a_4[/tex] [tex]S_n=2^n-1 S_1=2^1-1=1 S_1=a_1[/tex] => [tex]a_1=1 S_2=2^2 -1 S_2=a_1 + a_2 a_2=2 [/tex] => [tex]d=1 a_4=4 b=4[/tex]
[tex]x^3+ax^2+bx=0 x(x^2 + ax +b)=0 x_1=0[/tex] и [tex](x^2+ax + 4)=0[/tex] От формулите на Виет имаме:
[tex]|x_2 + x_3= -a[/tex]
[tex]|x_2.x_3=4[tex][/tex]
От аритметичната прогресия имаме: [tex]x_2=\frac{x_1 + x_3}{2} [/tex] но x₁=0 => [tex]x_2=\frac{x_3}{2} [/tex] Като заместим в системата получаваме:
[tex]|3x_3=-2a[/tex]
[tex]|x_3^2=8[/tex]
Което като пресметнем не дава отговорите на задачата. Но ако променим S_n=2ⁿ + 1. (S_n), тогава всичко се получава точно.
Корените са 0, 2 и 4, а=-6, такива са отговорите.

[ганка симеонова]

не, не са сгрешени. ползвай формулите на виет за полином от трета степен. знаеш ли ги?

[complex]

Не ги знам формулите на виет за 3-та степен, но ще ти бъда много благодарен ако ми ги кажеш .

[ганка симеонова]

ок. ако х1, х2, х3 са корени на полинома
[tex] a_{1}x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{3}x+a_{4}[/tex], то:
[tex] x_{1}+x_{2}+x_{3}=-\frac{a_{2}}{a_{1} } [/tex]
[tex] x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+x_{2}x_{3}=\frac{a_{3}}{a_{1} } [/tex]
[tex] x_{1}x_{2}x_{3}=-\frac{a_{4}}{a_{1} } [/tex]
ползвай го в задачата, ако не успееш да се справиш, кажи и ще ти я напиша! успех!!!!1

[complex]

Опитах да го сметна с тези формули на Виет, но не успях, ще те помоля ако можеш да ми покажеш как ти го смяташ. Отговорите са: 0, 2, 4; а=-6.

[ганка симеонова]

ок, ще ти помогна. първата ти грешка е, че си помислил, че редицата, зададена с
[tex] S_{n}=2^{n}-1[/tex]е артметична прогресия, а тя не е и като развиеш до 4-тия член се вижда, че b=8. нека корените означим като последователни членове на аритметична прогресия:
x-d, x, x+d. тогава съгласно виет, за полином от 3 степен ще имаме следната система:
[tex]x-d+x+x+d=-a , (x-d)x+x(x+d)+(x-d)(x+d)=8, x(x-d)(x+d)=0 [/tex] след опростяване достигаме, до:
[tex] 3x=-a, x(x+d)=8, x(x-d)(x+d)=0 [/tex]
от второто у-ние следва, че [tex] x\ne 0, x\ne -d [/tex]
тогава, за третото уравнение следва,че то ще е 0, само при [tex] x=d [/tex]
от там следва, като заместиш във второто, че [tex] x^{2}=4, x=\pm 2 [/tex]
получаваш два случая:
[tex] x=2, d=2, a=-6 [/tex]и тогава корените са [tex] 0, 2, 4[/tex]
[tex] x=-2, d=-2, a=6[/tex]и тогава корените са [tex] 0, -2, -4[/tex], но понеже в условието в казано, че са неотрицателни, значи 2 случай отпада.

[elito_7]

Моля някой ако може да ми реши тази задача" Сборът на втория и четвъртия член на аритметична прогресия е равен на 16,а произведението на първия и петия е 28.Да се намерят първият член и разликата на прогресията.

Отг"(2;3) , (14;-3) така са дадени в сборника


И още една задача от ГЕОМЕТРИЧНА ПРОГРЕСИЯ ПО ВАШ ИЗБОР,НО ДА Е РЕШЕНА ПОДРОБНО!И ДА Е ОТ ЗП -шот не ми е профил математиката и мога да не разбера втората задача И ако може да ми пишите на е-маила:elito_7@abv.bg Мерси предварително! ТРЯБВА МИ ЗА УТРЕ ДО СЛЕДОБЕД!

[complex]

Ето ти подробно решение на задачата:
[tex]\begin{tabular}{|l}a_2 + a_4=16\\a_1.a_5=28 \end{tabular}[/tex] <=> [tex]\begin{tabular}{|l}a_1 + d + a_1 + 3d = 16\\a_1(a_1 + 4d)=28\end{tabular}[/tex] <=> [tex]\begin{tabular}{|l}a_1 + 2d=8\\a_1(a_1 + 4d)=28\end{tabular}[/tex] <=> [tex]\begin{tabular}{|l}a_1=8 - 2d\\(8-2d)(8+2d)=28\end{tabular}[/tex]
=> [tex]64-4d^2=28[/tex] <=> [tex]4d^2=36 d^2=9[/tex] => [tex]d_1,2=\pm 3[/tex]
Заместваме в първото равенство и получаваме:
При d=3 [tex]a_1=8-6 \Leftrightarrow a_1=2[/tex] и при d=-3 [tex]a_1=8+6 \Leftrightarrow a_1=14[/tex]
По горе има доста задачи свързани с аритметична и геометрична прогресия.

[elito_7]

complex
Мерси много! Ще може ли още една с геометрична прогресия по ваш избор-ма да се търсят 2-3 неща

[elito_7]

а1=1
q=2
n-7

Търси се Sn=?


Моля някои да ми я реши до довечера плс спешно е!

[soldier_vl]

[tex]S_{n}=a_{1}\frac{1-q^n}{1-q}[/tex] заместваш и готово. Даже не знам защо ти го пиша това, но от мен да мине. И си купи четризначна таблица или учебник, ако имаш лошо за теб, ако не можеш да решиш тази задача

[elito_7]

то и аз знам фармулата,ма май не ми излиза отговора. 127 ли се получава?

[complex]

Аз имам въпрос към още една задачка:
Първият, третият и петият член на геометрична прогресия са съответно първи, четвърти и шестнадесети членове на аритметична прогресия. Да се определи четвъртият член на аритметичната, ако нейната разлика е 3.

[ганка симеонова]

нека означим числата, като членове на аритметична прогресия. тогава, понеже разликата е 3, те ще са:
[tex] a, a+9, a+45 [/tex]
ще ползваме основното свойство на геометричната прогресия, а именно,ако:
[tex] k+l=m+n [/tex], където това са индекси на членове на геом. прогресия, то
[tex] a_{k}.a_{l}=a_{m}.a_{n} [/tex] тогава, понеже 3+3=1+5, то:
[tex]a_{3}.a_{3}=a_{1}.a_{5}, a_{3}^{2}=a_{1}.a_{5}[/tex] тогава:
[tex] (a+9)^{2}=a(a+45), ..., 27a=81, a=3 [/tex]
тогава като заместим в първоначалното изразяване, ще получим:
3, 12, 48, значи 4-тият член е 12

[elito_7]

и все пак някой ще ми я реши ли

а1=1
q=2
n-7

Търси се Sn=?

[ганка симеонова]

[tex] S_{7}=a_{1}.\frac{q^{7}-1}{q-1 }=1.\frac{2^{7}-1}{2-1 }=2^{7}-1=128-1=127 [/tex]

[elito_7]

мерси и аз питах да ли е 127 но никой нищо не каза
А тази ще можеш ли да ми я решиш?

Да се намери първият член и частното на геометрична прогресия,за която:

а5-а1=15
а4-а2=6

[ганка симеонова]

[tex] a_{1}q^{4}-a_{1}=15, a_{1}g^{3}-a_{1}q=6 [/tex] изкарваш общ множител и делиш почленно двете уравнения. получава се:
[tex]\frac{a_{1}(q^{2}-1)(q^{2}+1)}{a_{1}q(q^{2}-1) }=\frac{15}{6 } [/tex]съкращаваш и решаваш полученото уравнение.......мисля, че можеш по- нататък и сама...

[complex]

ганка симеонова много ти благодаря, за решената задача. Този метод не го знаех, в учебника също го няма, така че ако не ми беше решила задачата, щях да се лутам цял ден, за което отново ти благодаря

[elito_7]

Някой може ли да ми реши тези задачки от тригонометрични функции на сбор и разлика на ъгли :алфа щте пиша с "А";(Числата са в градуси)

1зад: tgA(A-45)+cotg(45+A)=? Oтг:0 (така са дадени в учебника отг)

2зад: 1-tg(45+A)tg(45-A)=? Отг:0

3зад: sin(A-3П/2)=? Отг: -cosA


МОЛЯ ПОМОГНЕТЕ МИ ДО ДОВЕЧЕРА,ЧЕ МИ ТРЯБВАТ ЗА УТРЕ(СОРИ ЧЕ ВИ ПРИШПОРВАМ НО ПРИ МЕН НЕЩАТА СА ОТ ДНЕС ЗА УТРЕ,ТЪЙ КАТО ДНЕС И УТРЕ СА МИ ЧАСОВЕТЕ ПО МАТЕМАТИКА МНОГО МОЛЯ РЕШЕТЕ ГИ!!!!

[ганка симеонова]

я си седни на 4-буквието и си отвори малко учебничето!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

[elito_7]

аз и да седна ко ша разбера,че и бях болна когат сме взели тия задачи,а си е друго да вида как се решават,но ако не искаш не решевай

[soldier_vl]

Ми като нямаш желание, нищо нама да разбереш!