Общински кръг на Олимпиадата по Математика 2008

[Мирослав Стоенчев]

Нека тук обсъдим първия кръг на Националната Олимпиада по Математика за учебната 2007-2008 година. Класиране, задачи, решения и всичко интересно свързано със състезанието.

[Реклама]

[Spider Iovkov]

Май още е рано да говорим за това, тъй като олимпиадата е чак през март. На мен общинският кръг се пада на 15 март.

[Cracker4o]

Ето ги задачите:



Нз дали във всички общини са еднакви, сигурно за да е еднакъв критерия...
Реших 1ва задача
2ра я докарах до b³+c³=3bc-1
3та и 4та няма да ги коментирам, много над нивото са ми
НЯкакви идеи по2ра задача иначе как се докарва ?

[DeHuTtY]

Дали ще се намери темичка за 9 клас ???

[zhivo_zad]

2 zad.a.)

[ins-]

Само аз ли не мога да видя задачите?!

... Разбрах каква е "врътката"

[zhivo_zad]

От тази тема най-интересна ми се вижда 3 зад.2.b.)

[v1rusman]

зад.1 Решете:

а) Системата:
x²-x.y+y=1
2x²+5.x.y+2y²=5

б) Уравнението:
[tex]\frac{1}{2x-1 } -\frac{1}{ x-4}=\frac{1}{x-2 } -\frac{1}{2x+1 } [/tex]

зад.2
Двама велосипедисти тръгнали едновременно един срещу друг от два пункта А и В.При срещата се оказало,че велосипедистът от А е изминал 10км по-малко от велосипедиста от В.Те продължили да се движат със същите скорости без да сменят посоката.Велосипедистът от А пристигнал в В 3 часа след срещата,а другият пристигнал в А 1 час и 20 минути след срещата.Намерете разстоянието между А и В и скоростите на всеки от велосипедистите.

зад.4
Даден е триъгълник АВС,в който ъгъл АСВ=60°.Точка Д лежи върху описаната около триъгълник АВС окръжност и е диаметрално противоположна на С.Точка М е среда на страната АВ,а H е симетрична на Д относно М.
а) Да се докаже,че H e ортоцентър на триъгълник АВС
б)Ако радиусът на описаната около триъгълник АВС окръжност е 6см,то намерете дължината на СH.

Трета задача я писах 100 часа и накрая LaTeX-a ми извежда само коефициентите.

[DeHuTtY]

О, това за 9ти клас ли е?
Мерси много

[maria_jeleva__]

Nai-interesnoto v slu4aq e ot kade uspqhte da namerite zada4ite za olmpiadata? Ne trqbva li zada4ite da se zapazqt v taina do samata olimpiada?
I 6te s`m vi mn. blagodarna ako pratite podrobni re6eniq na re6enite ot vas zad.

[v1rusman]

Да ако искаш да ти ги пратим на ЛС с пакет пуканки и 1 каса бира ?

[maria_jeleva__]

Не пия бира, но мн. мило! За трета зад. си мислех дали не трябва правата да се построи успоредна на BC, ако има6 някаква по-добра идея от пращане на колети с пуканки заповядай

[maria_jeleva__]

Доста време ми отне, но трета зад. успях да я докарам до края, ако има някой който е работил по нея нека да пише на: maria_jeleva__@abv.bg

[Cracker4o]

[marshall]

аре бе няма ли някой, който е решил 3та и 4та от олимпиадата да каже как..

[soldier_vl]

http://i.data.bg/08/02/23/823909_orig.jpg
Само аз ли виждам нещо нередно?? Датата е 23 март, а олимпиадата трябва да е минала вече.
Иначе 3та задача ми се струва най-интересна, но мисля че не се разглежда относно ъгъл АСВ, а ВАС, който е равен на сбора от ъглите МВА и АСН, където М и Н са петите на височините от условията

[marshall]

олимпиадата беше на 23 февруари имат печатна грешка сигурно

[sd_pld]

3та-се озаначава сборът (180 -α-β) и се прилага формулата за произведение на синуси...
4та-направил съм я с една основна задача за трапец,с която става лесно...
Интересно ми е на 2ра задача не трябва ли за има допълнително условие а,в,с да са положителни,за да може да се приложи AM-GM

[soldier_vl]

[marshall]

sd_pld дай по-подробно за 3 и 4, защото от тва обяснение нищо не схванах...

[soldier_vl]

Олимпидата много се различава с тази от миналата година. Тмата миналата година ми хареса много повече

[Who_cares123456]

[tex]a^3+b^3+c^3-3abc=\frac{a+b+c}{2 } [(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2] [/tex]
в случая със втора задача всички получават [tex]b^3+c^3+1=3bc[/tex]
=>[tex]\frac{1+b+c}{2 } [(1-b)^2+(b-c)^2+(c-1)^2]=0[/tex]
и сега като заместим b=-2 и c=1 на пример кво става ?
изпълнени са всички условия

[maria_jeleva__]

Защо за трета зад. е по-важен ъгълът АВС или АСВ, а не наклона на самата права.Ако разгледаме два по-специални случая напр. правата да е успоредна на ВС и IIсл. - правата да е \bot на ВС, след което изразим двете произведения с -а,в,с и допуснем, че първото е по-голямо от второто се получава а>0.Или максимално произведение се получава, само когато правата е успоредна на ВС. Необходимо ли е да се разглеждат тъпоъгълен, правоъгълен(не се споменава за такъв в условието) и остроъгълен триъг.?И как това би повлияло на правата????

[maria_jeleva__]

sd_pld къде го начерта тоя трапец, не е ли по-лесно с Талес???

[Who_cares123456]

ето едно решение на 4 без трапец или талес :
нека [tex]\alpha \le \beta [/tex]. Нека СO[tex]\cap [/tex]АВ=M .
=> [tex]\angle AOC=2\beta =180^\circ -2\angle ACO[/tex]
=> [tex]\angle ACO=90^\circ -\beta [/tex] и аналог. [tex]\angle BCO=90^\circ -\alpha [/tex]
=> Ако центърът на търсената окр. е [tex]O_1[/tex] , то от [tex]\angle O_1MO_1'=90^\circ -\alpha +\beta [/tex] [tex]( O_1O_1'\bot AB )[/tex]
=> [tex]MO_1=\frac{r}{ sin(90^\circ -\beta +\alpha )} =\frac{r}{ cos(\beta -\alpha )}[/tex] . Последното следва, просто като запишем sin на [tex]\angle O_1MB[/tex] в [tex]\Delta O_1MO_1'[/tex].

Имаме [tex]\angle OAM=\alpha -90^\circ +\beta [/tex] => [tex]\frac{OM}{sin(\alpha -90^\circ +\beta )} =\frac{R}{sin(90^\circ -\alpha +\beta )} [/tex]
=> [tex]OM=\frac{R.cos(-\alpha -\beta )}{cos(\alpha -\beta )} [/tex]

[tex]OM+CO=\frac{R.cos(-\alpha -\beta )}{cos(\alpha -\beta )} +R=CM[/tex]
[tex]MO_1+O_1C=\frac{r}{ cos(\beta -\alpha )}+r=CM[/tex]
...

[Иван]

Относно темата за 7 клас:Има ли решение(я) задачата?
задача:
От три различни цифри x,y,z са образувани всички възможни трицифрени числа.Сумата на тези числа е три пъти по-голяма от трицифреното число , всяка цифра на което е x.
Да се намерят цифрите x,y,z.


Питам,защото отрких отговори,а няколко мои познати ми казаха,че няма решения. Според тях израза:"всички възможни числа" има предвид и числата:xxy,yzy и т.н.

[marshall]

необходимо е, миче, госпожата каза че е така, и на всички ви е грешно, ако я решим в клас утре ще ви кажа как става и вместо да ми пишете някви простотии за талес и не знам си кой, напишете пълното решение..

[ins-]

Всичко е хубаво ... но като сте почнали - карайте наред - пуснете и темите за 10 и 11 клас.

[bobson]

Има нещо гнило във втората задачка от темата за 12ти клас
докарах я до b³ + c³=3bc-1 и сега с неравенството между средно аритметично и средно геометрично всичко е ок, обаче с проверка се вижда че освен двойката b=1 c=1 и двойката b=-2 c=1 и тази b=0 c=-1 също са решения и нещо невърви

къде бъркам?

[maria_jeleva__]

Някой знае ли на коя дата е олимпиадата по математика?

ps:marshall тя тая госпожа като ви е намекнала защо направо не я ви е решила?
И що се отнася до трета задача какво значение има вида на триъгълника?(отново наблягам, чо по-важно би трябвало да е разположението на правата)