На колко е равно arctg2?

[Bor1s]

И по-точно как бихте го пресметнали?

[Реклама]

[Fed]

С четиризначни таблици.
Иначе това е ъгъл, чийто тангенс е 2. Или е такъв ъгъл, за който в правоъгълен триъгълник ще бъде изпълнено следното: срещулежащия катет към прилежащия е равно на 2.
После чрез геометрични разсъждения за един правоъгълен триъгълник трябва и да се получи.

[r2d2]

Фед, ти правиш ли разлика между препишете (от 4-зн. таблици, що не от CAlC ), измерете (с транспортир = второто ти предложение) и пресметнете.

Не е ясно, какво иска и задалият задачата (Защо в раздел "Алгебра" - по-добре във "Фомули за съкратено умножение" ).

[Bor1s]

И все пак никой не ми каза как мога алгебрично да сметна аркуса

[r2d2]

[Fed]

[r2d2]

CAlC - беше калкулатор.

А като си от ФМИ, напиши програма (можеш да ползваш PI=3.1415927..) , която смята
arctg 2 с точност 10^-6.
Други вградени мат. функции не можеш да ползваш.
Може и без програма - на ръка!

[Fed]

[r2d2]

Eстествено, че ще покажа, ама ми се иска предишната задача да е нещо като малко състезание (Коледно) без премии за всички от ФМИ (и не само), които са в този форум!

[Fed]

добре

[b1ck0]

Таз програма може ли да ползва формули на Тейлър ?

Нещо от сорта ...

[Infernum]

По принцип може с формулата на Тейлор да се сметне. Само трябва да се установи предварително колко члена от развитието на функцията arctan x в степенен ред ще са необходими, за да се достигне желаната точност 10^-6, което ще определи и степента на апроксимиращия функцията полином.

[r2d2]

Ми хайде, сметни!

[Infernum]

Ми убаво.

От тъждеството

[tex]\arctan x=\frac{1}{2}\arcsin\left(\frac{2x}{1+x^2}\right)[/tex], е в сила

[tex]\arctan 2=\frac{1}{2}\arcsin\left(\frac{4}{5}\right).[/tex]

Сега от развитието в ред на Маклорен за функцията arcsin x, в сила за -1<x<1, имаш

[tex]\arcsin x=x+\sum_{k=1}^{\infty}\frac{(2k-1)!!}{(2k+1)k!2^k}x^{2k+1}[/tex]

И така

[tex]\arctan 2=\frac{2}{5} +\sum_{k=1}^{\infty}\frac{(2k-1)!!}{(2k+1)k!2^{k+1}}\left(\frac{4}{5}\right)^{2k+1}[/tex]

Нататък покажи, да те видим, как ще определиш необходимия брой членове .

[Irrefutable]

Тези факториели могат бая да се опростят.
[tex]arctanX = \sum_{n=0}^\infty \frac {(-1)^n X^{2n+1}} {2n+1}[/tex]
A за компютърна калкулация се използва:
[tex]arctanX = 2*arctan\frac{X}{ 1 + \sqrt{ 1 + X^2} } [/tex]
Където за корена се ползва Babylonian method
Формулата на тейлър се ползва само на контролни по информатика в ФМИ ако някъде я напишете като програмисти се смятайте за уволнени.

[r2d2]

Tолкова ли е трудно: Намерете аrctan 2 = ?
с точност 10^-6. На ръка или с програма (по избор)!
Може да ползвате само ПИ = 3,14159265 (с достатъчна точност).

[Irrefutable]

63,434948822922010648427806279547
С точност до 10е-32 за 0.00 ms с програма която написах.
И не съм ползвал PI а преди това си го изчислих и него с тази точност.
Ако говориме за градуси де. Ако става дума за аrctan 2 в радиани....1,1071487177940905030170654601785

[Irrefutable]

[r2d2]

Eто моето решение:
[tex](\arctan x)'=\frac {1}{1+x^2}=1 - x^2+x^4-x^6 +...[/tex]. Kaто интегрираме

[tex]\arctan x = x - \frac{x^3}{3} + \frac {x^5}{5} - \frac{x^7}{7}+ ...[/tex]. Проблем, е че не можем да заместим с х = 2, защото редът е разходящ за | x|>1.

При x = 1/7 получаваме [tex] \arctan \frac{1}{7} = \frac {1}{7} - \frac{1}{3.7^3} + \frac {1}{5.7^5}[/tex] .
Понеже редът е от лайбницов тип грешката (по абс. стойност) не надминава първия отхвърлен член, т.е.[tex] \frac {1}{7^8}<10^{-6}[/tex].
Така получавам [tex]\arctan \frac{1}{7} =0,141897[/tex]. Сега от равенството [tex]\frac{\pi}{4} = 2 \arctan {\frac{1}{2}} - \arctan \frac{1}{7}[/tex] намирам [tex]\arctan \frac{1}{2}[/tex]. A oт тъждеството [tex]\arctan x +arctan \frac{1}{x} = \frac {\pi}{2}\;\; x>0[/tex] намирам и arctan2=1,107149.

Irrefutable, покажи ги тия програми.
Иначе за 0 сек. и калкулаторът в Windows дава
arctan2 = 1,1071487177940905030170654601785 (странно е, че с точно същата точност като твоя отговор?!)

Зад. Докажете [tex]\frac{\pi}{4} = 2 \arctan {\frac{1}{2}} - \arctan \frac{1}{7}[/tex] и
Весели Празници!

[Irrefutable]

Калкулатора в winshit, съвсем не ти дава отговора за 0ms. Тоест 0 милисекунди и 0 секунди са различни неща
Горкичкия калкулатор смята 10000! за около секунда. Което са под 1 милион операции при всички положения и би-трябвало да става за 0 милисекунди.
Но MS са почитатели на бозавите истории катo Basic и dos debug.
Относно програмите, можеш да видиш част от тях ако участваш в http://projecteuler.net/
След като решиш дадена задача, форума към нея става достъпен и можеш да се порадваш на реализациите на другите.
Задачите след 60-та за continued fractions са си точно упражнение на смятането на е, Pi , sqrt и прочие.
От както участвам там не поствам оптимизирани сорсове в нета и не пиша домашни и курсови
Надявам се че калкулатора ти няма 200 цифри
1,107148717794090503017065460178537040070047645401432646676539207433710
33897736279401341712868617064143454419100545031581004110412315027996039
11491341201349380058057851860891590202770663235486719483371
(tnx to NTL: Floating Point )
Състезанието което предлагаше по-горе. Ако искаш може да направиме състезание за най-много цифри. Ще бъде доста интересно ако има още желаещи да се включат.

[Irrefutable]

384
1,10714871779409050301706546017853704007004764540143264667653920
7433710338977362794013417128686170641434544191005450315810041104
1231502799603911491341201349380058057851860891590202770663235486
7194833709304692725054642792914622530691740937762679741583947780
2650155236302150617431245551139595028661343071619620451122700330
0787433098765840507305568550334961609171671820321435579524185770

[Fed]

[Infernum]

[Fed]

А ето и по-лесно решение на задачата на r2d2.
По картинката ми горе: лесно се забелязва че ако приемем А за (0,0) точката с кординати (4,3) е на равни разстояния от A, B, C и D => те лежат на една окръжност и следователно ъглите са равни като вписани.

[r2d2]

Човекът беше попитал, как се смята.
Мисля, че показах как би могло да се сметне (под това аз поне разбирам и защо е вярно).
Irrefutable показа какво е сметнал (честно, впечатлен съм!), но не и как.

Фед, имах предвид аналитично доказателство (твоето е вярно, а с добавката и красиво!).

[Irrefutable]

След като някой беше променил грубо поста ми, следва да го залича.

[Irrefutable]

Да вдигнеме летвата малко до 2000. То ако никой не се включи в натпреварата няма смисъл да продължавам
1,10714871779409050301706546017853704007004764540143264667653920743371033897736279401341712868617064
1434544191005450315810041104123150279960391149134120134938005805785186089159020277066323548671948337
0930469272505464279291462253069174093776267974158394778026501552363021506174312455511395950286613430
7161962045112270033007874330987658405073055685503349616091716718203214355795241857700197414191786755
6092072396370970780081569293338989816628296388058648735549977420441253262448910061152421541607476658
4529676305191359123843068833807854994436658360321388970745187923657572988919937839460158482554709016
1225035196871189783122746036964389610175954948681680608372084193670609231885850766325167242787015609
4793691467362050699710474237952805081154791173982305447826322952479276589220603404510278110198878003
5206412430734065638063860806068376669717338185443086060746991321348499762999982233029912673121034142
7699296386191117485391905582247004876384226978830624698888322169325915904958869416119040867743594563
6054033056951943730390612970190994743462965402966155412878186679853891076377292986498045709591516287
1222730812841475929467238817085569199368604853376570200836847837568496570195570102602599628327922940
1354949971830300560917093148629665004309433146969586052421272337885198270482452596226386318685134037
4303574382717064337801485748648139605177171696310242881466857771978537006158216574923756002229876696
5408502430086927857392609571203543083176200861405545547666183184759946415608697451105721212418883364
7100697988194552558753584963581723511176385522594880904410149551300826889354228765318289693411904093
0166783164870420288535631372421572726355714130690159800215749416342853776315307794942760390587330707
2290073441780244414017776784890280665903880422381068867487381387682523112826693457014944323611045532
5488438724839088930732523736551181207937256294892937780620087859129010663183209664346191483941292679
1477216631096762315301511845428103704943216362807755718220087981647212132184140515867380999985013810

[jeo]

ае пичове вий нямате ли си работа

[Infernum]

Брой

1,107148717794090503017065460178537040070047645401432646676539207433710338973627940134171286861706414345441910054503
15810041104123150279960391149134120134938005805785186089159020277066323548671948337093046927250546427929146225306917
40937762679741583947780265015523630215061743124555113959502866134307161962045112270033007874330987658405073055685503
34961609171671820321435579524185770019741419178675560920723963709707800815692933389898166282963880586487355499774204
41253262448910061152421541607476658452967630519135912384306883380785499443665836032138897074518792365757298891993783
94601584825547090161225035196871189783122746036964389610175954948681680608372084193670609231885850766325167242787015
60947936914673620506997104742379528050811547911739823054478263229524792765892206034045102781101988780035206412430734
06563806386080606837666971733818544308606074699132134849976299998223302991267312103414276992963861911174853919055822
47004876384226978830624698888322169325915904958869416119040867743594563605403305695194373039061297019099474346296540
29661554128781866798538910763772929864980457095915162871222730812841475929467238817085569199368604853376570200836847
83756849657019557010260259962832792294013549499718303005609170931486296650043094331469695860524212723378851982704824
52596226386318685134037430357438271706433780148574864813960517717169631024288146685777197853700615821657492375600222
98766965408502430086927857392609571203543083176200861405545547666183184759946415608697451105721212418883364710069798
81945525587535849635817235111763855225948809044101495513008268893542287653182896934119040930166783164870420288535631
37242157272635571413069015980021574941634285377631530779494276039058733070722900734417802444140177767848902806659038
80422381068867487381387682523112826693457014944323611045532548843872483908893073252373655118120793725629489293778062
00878591290106631832096643461914839412926791477216631096762315301511845428103704943216362807755718220087981647212132
18414051586738099998501381054085024300869278573926095712035430831762008614055455476661831847599464156086974511057212
12418883364710069798819455255875358496358172351117638552259488090441014955130082688935422876531828969341190409301667
83164870420288535631372421572726355714130690159800215749416342853776315307794942760390587330707229007344178024441401
77767848902806659038804223810688674873813876825231128266934570149443236110455325488438724839088930732523736551181207
93725629489293778062008785912901066318320966434619148394129267914772166310967623153015118454281037049432163628077557
18220087981647212132184140515867380999985013810540850243008692785739260957120354308317620086140554554766618318475994
64156086974511057212124188833647100697988194552558753584963581723511176385522594880904410149551300826889354228765318
28969341190409301667831648704202885356313724215727263557141306901598002157494163428537763153077949427603905873307072
29007344178024441401777678489028066590388042238106886748738138768252311282669345701494432361104553254884387248390889
30732523736551181207937256294892937780620087859129010663183209664346191483941292679147721663109676231530151184542810
37049432163628077557182200879816472121321841405158673809999850138105408502430086927857392609571203543083176200861405
54554766618318475994641560869745110572121241888336471006979881945525587535849635817235111763855225948809044101495513
00826889354228765318289693411904093016678316487042028853563137242157272635571413069015980021574941634285377631530779
49427603905873307072290073441780244414017776784890280665903880422381068867487381387682523112826693457014944323611045
53254884387248390889307325237365511812079372562948929377806200878591290106631832096643461914839412926791477216631096
76231530151184542810370494321636280775571827523759021375097350913759012958358937590101754554766618318475994641560869
74511057212124188833647100697988194552558753584963581723511176385522594880904410149551300826889354228765318289693411
90409301667831648704202885356313724215727263557141306901598002157494163428537763153077930732523736551181207937256294
89293778062008785912901066318320966434619148394129267914772166310967623153015118454281037049432163628077557182200879
81647212132184140515867380999985013810540850243008692785739260957120354308317620086140512418883364710069798819455255
87535849635817235111763855225948809044101495513008268893542287653182896934119040930166783164870420288535631372421572
72635571413069015980021574941634285377631530779494276039058733070722900734417802444140141253262448910061152421541607
47665845296763051913591238430688338078549944366583603213889707451879236575729889199378394601584825547090161225035196
87118978312274603696438961017595494868168060837208419367060923188585076632516724278701560947936914673620506997104742
37952805081154791173982305447826322952479276589220603404510278110198878003520641243073406563806386080606837666971733
81854430860607469913213484997629999822330299126731210341427699296386191117485391905582274563476585674546346347658583

[Irrefutable]

При копирането си изпуснал 77-мата цифра

Честита коледа на всики.