Nqkolko zada4i

[deizy]

Zdraveite!Bih iskala da pomolq za pomo6t za re6avaneto na tezi zada4i.
1.Dadeni sa 2 okrajnosti,vsqka ot koito minava prez centara na drugata.Prez edna ot prese4nite im to4ki e prekarana prava razli4na ot ob6tata im horda,koqto presi4a okrajnostite v AiB.Da se nameri mqrkata na agala mejdu dopiratelnite kam okrajnostite prekarani v AiB.
2.Da se nameri 4islenata stoinost na x ako:
x³+7y=y³+7x i sa izpalneni usloviqta x>y>0 i x i y sa celi 4isla.
3.Da se dokaje,4e ako x+y+z=0,to
(x²+y²+z²)²=2((x²)²+(y²)²+(z²)²Blagodarq predvaritelno!

[Реклама]

[Pinetop Smith]

Здравей, deizy, задачите(поне 2 и 3) не са стандартни. От някое състезание ли са? Ако да - от кое?

Между другото, условието на трета ми е малко неясно. Това ли искаш да напишеш:

[tex](x^2 + y^2 + z^2)^2 = 2(x^4 + y^4 + z^4)[/tex]

Просто май има някакво объркване със скобите.

ПП: Иначе ъгълът ти е 120, ама трябва да помисля как се доказва, щото Geonext ми го говори

[deizy]

Zdravei!Za uslovieto na treta zada4a e tova koeto si razbral prosto ne mi be6e qsno kak da napi6a 4-ta stepen.A zada4ite mi gi dade u4itelkata po mat za vakanciqta da re6avam no tezi neuspqh i o6te nqkoi de.

[Pinetop Smith]

y^4 и маркираш с

[tex] отляво и с

[/tex] отдясно.

от двете страни. Излиза

[tex]y^4[/tex]

Или пък между <suр> и </suр> слагаш 4 и излиза

у⁴

Иначе задачите ще ги помисля.

ПП: Имаш ли кирилица? Предпочитана е.

[Gringo]

можеш ли дадеш всички задачи?

[Pinetop Smith]

Особено тези от типа на трета

И така, ето ти решението:

[tex](x + y + z)^2 = 0 [/tex]
[tex]x^2 + y^2 + z^2 + 2xy + 2xz + 2yz = 0 [/tex]
[tex]x^2 + y^2 + z^2 = -2xy - 2xz - 2yz[/tex] Този израз го повдигаме на втора степен:
[tex]x^4 + y^4 + z^4 + 2x^2y^2 + 2z^2y^2 + 2x^2z^2 = 4(x^2y^2 + y^2z^2 + z^2x^2) + 8xyz(x + z + y)[/tex]

[tex]x^4 + y^4 + z^4 = 2x^2z^2 + 2x^2y^2 + 2z^2y^2 (1)[/tex]

Сега допускаме, че

[tex]x^4 + y^4 + z^4 + 2x^2y^2 + 2x^2z^2 + 2z^2y^2 \ne 2x^4 + 2y^4 + 2z^4[/tex]

[tex]0 \ne x^4 + y^4 + z^4 - 2x^2y^2 - 2z^2y^2 - 2x^2z^2[/tex]
[tex]x^4 + y^4 + z^4 \ne 2x^2y^2 + 2z^2y^2 + 2x^2z^2[/tex]

Което е противоречие с [tex](1)[/tex] и задачата е доказана.

[deizy]

Мерси много за решението на задачата.Обещавам да дам още такива задачи,но малко по-късно,защото в момента не са в мен.

[deizy]

Мерси много за решението на задачата.Обещавам да дам още такива задачи,но малко по-късно,защото в момента не са в мен.

[Gringo]

[deizy]

Съжелявам много,че се забавих със задачите.Ето някои от тях:
1.Да се докаже,че всеки триъгълник с P=12см и S=6см² може да се разреже на 100 триъгълника,всеки от които има P>6см.
2.k₁ и k₂,с центрове O₁ иO₂ се пресичат в точки А и В.O₁A пресича k₂ в точка C.
O₂A пресича k₁ в точка D.Да се докаже,че C,D,O₁,B и О₂ лежат на една окръжност.
3.Да се докаже,че за всяко к,което е цяло число изразът:
М=(ksup>4/sup>+7k²)/4)-(7ksup>3+5k)/(6) е цяло число.

[Pinetop Smith]

[deizy]

Да.Това е.

[deizy]

Някой има ли идея или решение на 3-та задача?

[deizy]

Ето още една задачка
Да се реши уравнението:
|x-a|+|x-6|=|a+6-2x| ,ако а е реален параметър.

[Pinetop Smith]

Мен лично ме затруднява, и то доста...(за 3-та говоря). Предполагам, че идеята е да се докаже, че М едновременно се дели на 3 и 4, а това ще стане само с подходящо разлагане...

А тази с параметъра - предполагам всички случаи трябва да се разгледат, т.е. за всеки модул дали е по-голям или по-малък от нула?

ПП: Ти си за 9-ти клас, нали?

[Pinetop Smith]

Значи, deizy, това, което ти написах одеве, са пълни глупости... Просто не съм се бил залавял по-сериозно със задачата, иначе е доста лесна.

Първо ще докажем, че [tex]M[/tex] се дели на [tex]3[/tex]. Имаме последователно:

[tex]M = \frac{3k^4 - 14k^3 + 21k^2 - 10k}{12}[/tex]
[tex]M = \frac{3k^4 + 21k^2 - 15k^3 - 9k + k^3 - k}{12} [/tex]
[tex]M = \frac{3(k^4 + 7k^2 - 5k^3 - 3k) + k(k^2 - 1)}{12} [/tex]
[tex]M = \frac{3(k^4 + 7k^2 - 5k^3 - 3k) + k(k - 1)(k + 1)}{12} [/tex]

Отдясно имаме произведение на [tex]3[/tex] последователни числа, тоест то се дели на [tex]3[/tex], а отляво имаме [tex]3[/tex] пред скоби, т.е. [tex]M [/tex]се дели на [tex]3[/tex].

Сега ще докажем, че [tex]M[/tex] се дели на [tex]4[/tex]. Имаме:

[tex]M =\frac{4k^4 - 16k^3 + 20k^2 - 8k - k^4 + 2k^3 + k^2 - 2k}{12} [/tex]
[tex]M = \frac{4k(k^3 - 4k^2 + 5k - 2) - k(k^3 - 2k^2 - k + 2)}{12} [/tex]

Отляво изразът се дели на [tex]4[/tex], ето защо разглеждаме този отдясно. Имаме:

[tex]k(k^3 - 2k^2 - k + 2) =[/tex]
[tex]k[k^2(k - 2) - (k - 2)] =[/tex]
[tex]k(k^2 - 1)(k - 2)[/tex]
[tex](k - 2)(k - 1)k(k + 1)[/tex]

Имаме произведение на [tex]4[/tex] последователни числа, т.е. изразът се дели на [tex]4[/tex], т.е. [tex]M[/tex] се дели на [tex]4[/tex], т.е.[tex] M[/tex] се дели на [tex]12[/tex].

[RIdSL]

Типа задачи като тази последнта в 8 клас ли се решават???

[Pinetop Smith]

Мисля, че по принцип по-рано, макар да ги няма в програмата. Донякъде са логика.

Например давали са подобна задача на Зимните за 6-ти клас и ми се струва по-трудна от тази

[deizy]

Отново мерси много за задачата. И аз отначало се мъчих да разлагам и да го докарам,че се дели и на 3и4.Както и да е.А относно модулите на миналогодишните зимни имаше нещо подобно.Аз бях получила отговора,но се оказа,че материала е неучен и не ми било вярно решението и за това реших да напиша задачата ,за да видя как се решават.И да.За девети клас съм.

[RIdSL]

Аз такава си спомням че решавах в 10 клас.И защо при мене толкова късно???

[Pinetop Smith]

Спокойно. На Зимните обикновено дават задачи, които се изучават в по-горен клас, но реално не използват знания след пети или шести клас например.

Например системи с две неизвестни за [tex]5[/tex]-ти, сплави и смеси пак за [tex]5[/tex]-ти и т.н.

Ето още две задачи за цели числа:

Ако числото [tex]n[/tex] e цяло, да се докаже, че и числото [tex]A[/tex] е цяло, ако

а) – олимпиада по математика, областен кръг([tex]7[/tex] клас) - [tex]A = \frac{n^5}{120} - \frac{n^3}{24} + \frac{n}{30} [/tex]

б) – ЗМС, [tex]1990[/tex], Пазарджик, тема за[tex] 6[/tex]-ти клас - [tex]A = \frac{n^4 + 10n^3 + 23n^2 - 34n}{24} [/tex]

Поне според мен, б)-подточка е по-трудна. Успех!

[r2d2]

Решение на модулното уравнение:

[Saposto_MM]

Относно първите две задачи, който си дала.
Задача 1:
Чертежа е по-долу. При решението използвам означенията от него.
Виждаме, че PO₁ANBO₂ е шестоъгълник, следователно сбора от ъглите в него е 720°. (1)
Знаем, че <O₁AN=<O₂BN=90°(допирателни). (2)
Според условието двете окръжности имат равни радиуси и O₁O₂ се явява радиус и за двете от тях. Тогава O₁O₂=O₁P=O₂P. Тогава ▲O₁O₂P равностранен => <O₁PO₂=60° (3)
Разглеждаме <AO₁P, който съдържа O₂. <AO₁P=180-2<ATO₁+180-2<PTO₁=360-2(<ATO₁+<PTO₁). Сега да разглеждаме <BO₂P, който съдържа O₁. <BO₂P=180-2<BTO₂+180-2<PTO₂=360-2(<BTO₂+<PTO₂). Но <ATO₁+<PTO₁+<PTO₂+BTO₂=180°. Тогава <PTO₂+BTO₂=180-<ATO₁-<PTO₁. Като приложим последното равенство в равенството, в което изразихме <BO₂P, получаваме <AO₁P+<BO₂P=360°. (4)
Като приложим (1), (2), (3) и (4) намираме <ANB=120°.

Задача 2:
Имаме:
x³+7y=y³+7x
x³-y³=7x-7y
(x-y)(x²+xy+y²)=7(x-y)
Понеже x>y делим на (x-y) и получаваме:
x²+xy+y²=7
Понеже x>y>0,
x²+y²<7
Но при x≥3 - x²>7. Тогава за x и y остават само 1 и 2, и наистина, след проверка виждаме, че двойката (1,2) е решение на уравнението. Понеже x>y, то x=2.

[Saposto_MM]

Относно втората Геометрича задача.
Чертежа е по-долу.

Нека А₁ и А₂ са диаметрално противоположни точки на А съответно върху к₁ и к₂. [tex]\angle[/tex]А₁DA=[tex]\angle[/tex]A₂CA=90°(А₁А и А₂А са диаметри). Тогава четириъгълникът А₁А₂СD е вписан, следователно [tex]\angle[/tex]А₂А₁С=[tex]\angle[/tex]А₂DC. Но О₁О₂ е средна отсечка, следователно [tex]\angle[/tex]О₂О₁С=[tex]\angle[/tex]A₂A₁C=[tex]\angle[/tex]A₂DC, което означава, че четириъгълникът О₁О₂СD е вписан или О₁, О₂, С и D лежат на една окръжност.
Нека вземем средата М на А₁А₂. [tex]\angle[/tex]А₁АВ=[tex]\angle[/tex]А₂ВА=90°(А₁А и А₂А са диаметри), следователно [tex]\angle[/tex]А₁ВА₂=180°, следователно А₁, В и А₂ са колинеарни. Понеже О₁, О₂ и М са среди на страните на ▲АА₁А₂, то МО₁=O₂A. Но О₂А=О₂В, следователно МО₁=О₂В и понеже О₁О₂ е средна отсечка, то О₁О₂llA₁A₂, но А₁, В и А₂ са колинеарни, тогава MBO₁O₂ е равнобедрен трапец. Тогава В лежи на окръжността, на която лежат М, O₁ и O₂. Знаем, че МО₁=O₂A, а O₂A=O₂C, следователно МО₁=O₂C и понеже МО₂ е средна отсечка, то МО₂llA₁C, следователно МО₂СО₁ е равнобедрен трапец. Така С лежи на окръжността, на която лежат М, O₁ и O₂.
Тогава съгласно по-горе доказаното О₁, В, О₂ и С лежат на една окръжност. Но О₁, О₂, С и D лежат на една окръжност, следователно C, D, О₁, B и О₂ лежат на една окръжност.

[deizy]

Ето още няколко алгебрични задачи:
1.Нека М е произволно множество от 75 различни естествени числа,които не надминават 100.Да се докаже,че за всяко естествено число l<5съществуват 2 елемента от множеството М,чиято разлика е l.
2.Да се докаже,че ако са дадени к+1 произволни естествени числа,то разликата на поне 2 от тях се дели на к. (k>1)
3.Нека М е множество от 101 естествени числа,всяко от които е по-малко или равно на 200.Да се докаже,че в М има поне 2 числа,едното от които се дели на другото.
4.В квадрат със страна 1 са избрани по произволен начин 51точки.да се докаже,че поне3 от тях се съдържат в квадрат със страна 2,2.
5.На 21 деца раздали 200 ореха.Да се докаже,че поне 2 деца имат еднакъв брой орехи.
6.В един жилишен блок живеят 123души.Сумата от годините им е 3813.Да се докаже,че могат да се изберат 100 от жителите,сумата от годините на които не е по-малка от 3100.
7.30 ученика от 5 различни паралелки предложили 40 задачи за олимпиада,като учениците от една и съща паралелка са предложили един и същ брой задачи,аа учениците от различни паралелки са предложили различен брой задачи.Колко ученика са предложили по една задача?
8.В равнината са дадени n точки (n по-голямо или равно на 7),като растоянията между всеки 2 са различни.Всяка точка е свързана с отсечка с най-близката си точка.Да се докаже,че няма точка,която да е свързана с повече от 5 други точки.

[deizy]

Някой може ли да помогне с решенията на задчите.Ще съм му мого благодарна.Благодаря предварително.
Между другото за повечето задачи се използва принципа на Дирихле.

[deizy]

[Pinetop Smith]

За пета предполагам(но не съм сигурен), че е така решението: най-много възможности би имало, ако първото дете вземе един орех, второто - два и т.н. Но 1 + 2 + 3 ... + 20 = 210 < 200, т.е. поне две взимат еднакъв брой.

[deizy]

Mersi mn za zada4kata.Eto o6te nqkolko zada4i:
1.Vav vatre6nostta na ravnostranen triagalnik sas strana 1 sa razpolojeni 5 to4i.Da se dokaje,4e razstoqnieto mejdu pone dve ot tqh e po malko ot 0,5.
2.Na 6ahmatna daska s razmeri 8 na 8 sa otbelqzani centrovete na vsi4ki poleta.Moje li s 13 pravi da se razdeli daskata na 4asti,taka 4e vav vatre6nostta na vsqka 4ast da lejat ne pove4e ot 1 ot to4kite?
3.V ravninata sa dadeni 25 to4ki,za koito e izvestno,4e za vseki 3 ot tqh,ima 2 razstoqnie mejdu koito e po malko ot 1.Da se dok. 4e sa6testvuva krag s r=1,koito sadarja ne po malko ot 13 ot daenite to4ki.
4.Vsqka ot 9 pravi razdelq kvadrat na 2 4eteriagalnika,kato licata im sa v saotno6enie 2 kam 3.Da se dokaje,4e pone 2 ot tezi pravi minavat prez 1 to4ka.
5.V kvadrat sas strana 15 sa razpolojeni 20 kvadrat4eta sas strana 1,nikoi 2 ot koito nqmat ob6te to4ka.Da se dokaje,4e v dadeniq kvadrat moje da se vnesti krag s r=1,koito ne presi4a nikoi ot malkite kvadrat4eta.
Izvinqvam se 4e ne izpolzvam kirilica,na komputara,ot koito pi6a nqma.

[Pinetop Smith]

За първата, ето ти насока: построй средите на страните на триъгълника. Образуват се 4 равностранни триъгълника(средни отсечки, ще си го докажеш), всеки със страна 0,5. Имаме 4 триъгълника и 5 точки, т.е. в поне един триъгълник ще има 2т. Виж 3/а от тук: http://fmi-plovdiv.org/u4imi/turniri/Lovech/LOVECH_RESH_05-9kl.pdf за да докажеш, че разстоянието между тия две точки е < 0,5.