Брутална примерна тема за ТУ

[Fed]

Противно на традицията тази тема за ТУ е ужасна в сравнение с всички останали.

Ако на някой му се решава нека да послужи като подготовка за Математика 2 в СУ и изпита в ТУ (ако някой ще ходи там).

Задача 1. Да се реши уравнението [tex]x^2 - 4\left| x \right| - k = 0[/tex], в зависимост от реалния параметър k.

Задача 2. M и N са точките, в които функцията f(x)=2sinx-cos2x има съответно НГС и НМС при x E [∏/4; 3∏/4;]. Нека точка А има координати А(k;0), k E R. Да се намери максималното лице на триъгълника AMN, когато k E [∏/2; 2∏].

Задача 3. Даден е триъгълник ABC, BC=a, AC=b, AB=c и медиана АМ към страната ВС (М E BC)

a) Да се докаже, че необходимото и достатъчно условие вписаната в АВС окръжност да разделя медианата АМ на три равни части е a:b:c=10:5:13

b) Нека периметърът на АВС е 56 см и медианата АМ пресича вписаната окръжност в точки L и S. Правите CL и CS пресичат АВ съответно в точките D и E. Да се намерят дължините на отсечките AD и EB, ако AL=LS=SM.

Задача 4. Oсновата на пирамида е равностранният триъгълник АВС. Върхът S на пирамидата се проектира ортогонално в точка М от вътрешността на ▲АВС така, че MA=√13, MB=3, MC=4. Двустенният ъгъл с ръб ВС има големина θ.

а) Да се намери обемът на пирамидата ABCS

b) Да се намери радиусът на описаната около пирамидата MBCS сфера, ако θ=30°

[Реклама]

[omeganet]

1.
[tex] x^2 - 4|x| - k = 0 \\ |x| = t \ge 0 \\ t^2 - 4t - k = 0 \\ D = 4(k + 4) \\ I. \\ k < - 4 \\ n.r. \\ II. \\ k = - 4 \\ t = 2 \Rightarrow x = \pm 2 \\ III. \\ k > - 4 \\ t_{1,2} = 2 \pm \sqrt {k + 4} \\ t = 2 + \sqrt {k + 4} \Rightarrow x = \pm (2 + \sqrt {k + 4} ) \\ 2 - \sqrt {k + 4} \ge 0 \Leftrightarrow k \le 0 \\ [/tex]

Решение:
[tex]k < - 4[/tex] - н.р.
[tex]-4 \le k \le 0[/tex] - [tex]x = \pm (2 + \sqrt {k + 4} )[/tex] и [tex]x = \pm (2 - \sqrt {k + 4} )[/tex]
[tex]k > 0[/tex] - [tex]x = \pm (2 + \sqrt {k + 4} )[/tex]

[Fed]

omeganet, 1 зад. ти е напълно вярна.

[omeganet]

2a
Използваме стандартни означения за страните.
1. Нека първо медианата се разделя на три равни части от окръжността. Използваме свойство на допирателната и секущата.

[tex] \left( {\frac{{c - b}}{2}} \right)^2 = 2x^2 = \left( {\frac{{b + c - a}}{2}} \right)^2 \\ c - b = b + c - a \\ a = 2b \\ \\ 3x = \frac{1}{2}\sqrt {2c^2 + 2b^2 - a^2 } = \frac{1}{2}\sqrt {2c^2 - 2b^2 } \\ \left( {\frac{{c - b}}{2}} \right)^2 = \frac{1}{9}(c - b)(c + b) \\ \frac{{c - b}}{4} = \frac{{c + b}}{9} \Leftrightarrow 5c = 13b \\ \left. \begin{array}{l} a = m \\ b = \frac{1}{2}m \\ c = \frac{{13}}{{10}}m \\ \end{array} \right\rangle \Rightarrow a:b:c = 10:5:13 \\ [/tex]

2. Нека имаме, че a:b:c=10:5:13

[tex] b = m \Rightarrow a = 2m;c = \frac{{13}}{5}m \\ \left( {\frac{{c - b}}{2}} \right)^2 = z(z + y) \\ \frac{{16}}{{25}}m^2 = z(z + y) \\ \left( {\frac{{b + c - a}}{2}} \right)^2 = x(x + y) \\ \frac{{16}}{{25}}m^2 = x(x + y) \\ x^2 + xy = z^2 + zy \\ (x - z)(x + z) + y(x - z) = 0 \Rightarrow x = z \\ x + y + z = \frac{1}{2}\sqrt {2b^2 + 2c^2 - a^2 } = \frac{{6\sqrt 2 }}{5}m \\ \left. \begin{array}{l} 2x + y = \frac{{6\sqrt 2 }}{5}m \\ x^2 + xy = \frac{{16}}{{25}}m^2 \\ \end{array} \right\rangle y = \frac{{2\sqrt 2 }}{5}m \\ x = \frac{{6\sqrt 2 m - 5y}}{{10}} = \frac{{2\sqrt 2 }}{5}m = y = z \\ [/tex]

[Fed]

Браво!

[PlaceboPills]

По 2-ра задача:
∫(х)=2sin²x+2sinx-1, което квадратно уравнение има минимум при 1/2, и функцията расте в интервала (∏/4 ; ∏/2), от където следва че минималната стойност на функцията при х в интервала [∏/4 ; 3∏/4] се получава при х=∏/4, а макцималана - при х=∏/2 => т.N (∏/4 ; √2), а т.M (∏/2 ; 2)
т.А (к,0) лежи на оста 0х . До тук добре - но сега малко се затруднявам при изразяването на лицето на триъгълника като функция на к - опитах да изразя всички страни чрез правоъгълни триъгълници чрез к, но се получават почти невъзможни сметки....Някакви идеи как ще стане?

За съжаление в момента нямам програма, с която да начертая графиката...

[lpishinov]

Само да вметна, че 3 задача е едно към едно с задача от курса на Керопе Чакарян( ще ме извинява, ако бъркам името ). Решението беше също с формула за медиана и свойство на допирателни и секущи.

П.П А между другото ако вземете една тема от 89 до 96, вярвайте ми няма да ви се стори по лесна, а за таз тема мнението ми е че си е перфектната тема за изпит, поне ще има раслоение на оценките, аз лично бих бил доволен ако ми се падне за втория изпит( направо ще скачам от щастие ).

[omeganet]

Темата наистина е интересна. Задачите не са толкова трудни. Иска се малко повече съобразителност и писане

[Fed]

4 зад. е много хубава. Опитайте я и нея.

[DevilFighter]

Отговори, които получавам :
4задача :
а) - [tex]V = \frac{{3\sqrt {37} tg\theta }}{2}\,\,,\,\,a = \sqrt {37} \[/tex]
б) - [tex]R = 2\sqrt {\frac{{349}}{{111}}} \[/tex]

2задача :
maxS = ∏(3-√2) - [tex]\frac{{\sqrt 2 }}{4}\[/tex] , к =2∏

По-късно задължително ще постна моите решения.

Чертеж на 2ра задача :




1сл.) Намирам S_▲AMN =S_MPQA - (S_▲AQN+S_▲MPN) ;

[Fed]

Devil, 4 зад. ти е напълно вярна.

На 2 се получава [tex]S_{\max } = \frac{{21 - 6\sqrt 2 }}{8}\pi \,\, \cup \,\,S_{\max } =\frac{\pi }{8}\left( {15 - 6\sqrt 2 } \right)[/tex] ( функцията приема НМС в 2 точки - ∏/4 и 3∏/4 и оттам има 2 случая )

[DevilFighter]

Fed, първият отговор на 2ра задача го получавам, но после получавам още 2ва други, които не се засичат с твоя отговор. И във втория случай при 3П/4 , к може да принадлежи в два интервала [П/2 ; 3П/4] иил [3П/4 ; 2П] и се получават различни неща. Довечера ще напиша аз какво правя да видим дали е вярно. Уви с полагане тук се изпускат някои случаи и е хубаво да се работи с тригонометричните функции.

2ри случай :
1) - k E [П/2 ; 3П/4] => maxS = 3∏/8
2) - k E [3П/4 ; 2П] => maxS = (∏/*(√2 + 11)

[Fed]

[DevilFighter]

Fed, във 2-ия случай ми се получава навсякъде за лицето че НГС се стига при к= П/2 или к=3П/4 , функцията е намаляваща в интервалите и к=2П е НМС. Така ми излиза.....странно защо така ни се разминават нещата



Fed, ще се радвам да видя и ти как решаваш 4та задача. Моето решение изглежда малко тегаво....

[Fed]

Аз така бих обяснил задачата (може и да бъркам някъде):



<SNM=α=<QLN
Продължаваме МN;
Търсим макс. височина (защото MN е фиксирана)

Ако к Е [∏/2,3∏/4] max височина е от ∏/2 (при спускането на много височини се получавам много подобни тр. и => това ще бъде макс. вис.)

Ако к Е [3∏/4,2∏] имаме същата работа и макс. вис. е от 2∏

=> макс. лице е при к=∏/2 или к=2∏ => трябва да намерим коя от тези две височини е по-голяма.

tgα=MS/SN=4(3-√2)/∏

Oт NQL tgα=√2/LQ=4(3-√2)/∏ => LQ=(∏√2)/(4(3-√2)) <∏/4 => L е преди ∏ => PL<AL

=> PH1 < AH2 => макс. лице е при 2∏

[DevilFighter]

Ми твоето решение на 2ра е къде къде по-леко. Аз с тази разлика на лица много смятам, но не проумявам заще не получавам същото като теб. С продължаване на отсечката е по-лесно.

[Fed]

На 4 основното е намирането на страната на равностранния тр.

Ето аз как го правя:



Ротация с център В и ъгъл 60° (A->C, M->M1)
=>ВМ1М - равностранен (<МВМ1=60, ВМ=ВМ1)
От cos th <M1MC=60 => <BMC=120 и пак от cos th BC=√37

[Fed]

Devil, ти не получаваш отговора защото чрез разсъжденията си приемаш че т.А е преди пресечната точка на MN с Ох. В този случай наистина максимум се достига при к=3∏/4. Но ако А мине след пресечната точка на MN с Ох (т. L от моя чертеж) тогава лицето на АМN няма да е сума и разлика от тр. и многоъгълниците които си писал в решението си. Те ще променят. Вече ще бъдат др. тр. и многоъг. По този начин ти изключваш този случай от решението си.

[DevilFighter]

Много хитро, браво на теб. Да прав си, пък и твоето решение е вярно. Но с триъг. и многоъг. е много занимавка, с височина трябва да се решава като теб. Ще запомня за в бъдеще (аз просто не бях си наумил да построявам височината в този ▲)

[Fed]

Хубава си е темата.

[uktc]

Темата е добра, но е невъзможно да дадат такава сега. Просто няма да успеят да си запълнят местата, защото '88 сме много тъпи. И натам все по-тъпи ще стават.
Абе, хора, не ви ли мързи да решавате задачи... Аз след мат1 нещо много се отпуснах и 1 задача не съм решил... А трябва. От утре сядам!

[Fed]

И аз съм така. След мат1 съм решил 2 зад. - една с-ма и една за правоъг тр. А тази тема я решавах докато бях в София преди изпита, т.е преди мат1.

[DevilFighter]

С оглед на това, което направих на мат1 не ме мързи....Но наистина деня след изпита е някакъв много отпускарски....

[HeypaBHobeceH]

[uktc]

Знаете ли батко ви уктц кога ще се сети да направи ротация...

[DevilFighter]

Колкото и аз се сетих. Аз нещо съм скаран с ротацията. Симетрия може, ама ротация...

[Fed]

HeypaBHobeceH, прав си че такова е решението и на автора. На мене не ми харесва неговото решение на 2 зад. Мисля си, че много по-добре се обяснява задачата с височините както аз направих малко по-горе, а не със сбор и разлика от лица на тр. и многоъг., както прави автора.

[HeypaBHobeceH]

Fed на 4-та б) какво ти е решението? При мен е сбъркано условието или решението на автора в края на сборника (Конкурсни теми и задачи по атематика за техническите и икономическите университети), едно от 2-те.

[Fed]

Моят сборник е същия. Не знам кое е сбъркано, но ми се струва че е условието защото не вярвам цяло едно решение да е сбъркато. Няма значение. Ако се търси R_ABCS задачата става много по-интересна и по-трудна.

Ето какво измислих аз. Но е само като стъпки, защото сметките ми се струва ще са много тегави:



Центъра Q на сф. е пресечна на двете прави минаващи през центровете на осн. и BCS и _I_ на тях. (това са сините прави)

1) Имаме стр. на равностр. ▲
2) θ=30, оттам намираме височ. на пир. SM
3) Намираме ВS и CS
4) Намираме R_BCS
5) N-ср. О1->Р, Ясно е че О, Р, N са на една права
6) Намираме О1N
7) PNO1=30°, CP=PB
8) Намираме ON, PN, O1P, OP
9) QO1N=90, PO1N=60 => QO1P=30
10) От равноб. трапец ОQO1P намираме ОQ
11) Oт тр. ОQB намираме R

[HeypaBHobeceH]

еми аз отдавна я мъчих, тия дни пак ще я пробвам но точно днес ме мързи...
спомням си че и аз тръгнах по този начин, но нещо не ми се получи. Първо че сметките бяха наистина отвратителни (което ме накара да се замисля дали изобщо това се предполага че се търси) а и честно казано май нещо се губеше в цялата работа, ако не се лъжа това беше двустенния <ОNО₁