Доказателства на Питагоровата теорема

uktc

Я да видим колко доказателства ще успеем да измислим на тази толкова използвана теорема Wink

Да използваме стандартните означения за правоъгълен триъгълник с прав ъгъл при върха C.

1. Следствие от косинусовата теорема
За хипотенузата c имаме
c²=a²+b²-2abcos(п/2), т.е. c²=a²+b²

2. От равенството sin²α+cos²α=1
sinα=a/c; cosα=b/c
sin²α+cos²α=1 <=>
a²/c² + b²/c²=1 <=>
(a²+b²)/c²=1 <=>
a²+b²=c²

Вие сте Wink

Реклама

Titu_Andrescu · Пуснато на: Mon Mar 12, 2007 12:56 pm Заглавие:

3. От Теорема на Птолемей за вписания правоъгълник ABCD
със страни AB=CD=a и BC=DA=a и диагонали AC=BD=c имаме, че AB.DC+BC.AD=AC.BD,
т.е. a²+b²=c².

4. От Подобни триъгълници Нека CD е височината в триъгълника ABC с ъгъл ACB=90°. AC=b, BC=a, AB=c и BD=x. Триъгълниците ADC, CDB и ACB са подобни. Следователно от ▲ADC~▲ABC: AC/AD=AB/AC или b/x=c/b, т.е. b²=cx.
▲CDB~▲ABC: CB/DB=AB/CB или a/(c - x) = c/a, т.е. a² = c(c - x) = c² - cx.
Събираме почленно получените резултати и получаваме, че:
a² + b² = (c² - cx) + cx = c².

Titu_Andrescu · Пуснато на: Mon Mar 12, 2007 1:21 pm Заглавие:

5. Чрез Хитрина

Големият квадрат има квадратна "дупка" със страна (a-b). Лицето и е (a-b)², а лицата на 4-те правоъгълни триъгълника са по a.b/2. Събираме всички лица на отделните фигурки и получаваме, че (a-b)²+2ab=c², т.е. a²+b²=c².

Titu_Andrescu · Пуснато на: Mon Mar 12, 2007 1:27 pm Заглавие:

6. J.A. Garfield, 1876

Лицето на правоъгълния трапец е (a+b).(a+b)/2=a.b/2+a.b/2+c.c/2, т.е. a²+b²=c².

Titu_Andrescu · Пуснато на: Mon Mar 12, 2007 1:32 pm Заглавие:

6. Доказателство без думи

tanas · Пуснато на: Mon Mar 12, 2007 2:36 pm Заглавие:

Relinquishmentor

Titu_Andrescu · Пуснато на: Mon Mar 12, 2007 3:43 pm Заглавие:

chicho.niki, няма какво да признавам, тъй като никъде (поне аз не виждам) не съм заявявал, че решенията са мои. Razz

omeganet · Пуснато на: Mon Mar 12, 2007 3:43 pm Заглавие: RE

http://www.cut-the-knot.org/pythagoras/index.shtml

tanas · Пуснато на: Mon Mar 12, 2007 4:30 pm Заглавие:

Titu_Andrescu · Пуснато на: Mon Mar 12, 2007 4:48 pm Заглавие:

Ok, няма да се обаждам повече в тази тема. Прав си

uktc

Methuselah · Пуснато на: Mon Mar 12, 2007 5:37 pm Заглавие:

Питагоровата теорема не е ли частен случай на косинусовата?

Relinquishmentor · Пуснато на: Mon Mar 12, 2007 5:42 pm Заглавие:

Докажете Косинусова теорема.

uktc · Пуснато на: Mon Mar 12, 2007 7:48 pm Заглавие:

Relinquishmentor · Пуснато на: Mon Mar 12, 2007 10:37 pm Заглавие:

uktc · Пуснато на: Mon Mar 12, 2007 10:47 pm Заглавие:

Тази формулка мога да я изведа от хероновата формула.
Та затова питам дали може хероновата формула да се докаже без косинусова теорема Wink

Methuselah · Пуснато на: Mon Mar 12, 2007 10:48 pm Заглавие:

Погледни тук. Google баце!

uktc · Пуснато на: Mon Mar 12, 2007 11:14 pm Заглавие:

Доказах я онази формула.
Ето първо доказателство на Херонова формула:
http://agutie.homestead.com/FiLes/Heron/Heron_formula_step_by_step_proof.html
После имаме:

П.П. Ето едно също много интересно доказателство на косинусовата теорема чрез Херон: http://planetmath.org/encyclopedia/ProofOfHeronsFormula.html . Просто следваме обратния ред.

Relinquishmentor · Пуснато на: Tue Mar 13, 2007 2:40 pm Заглавие:

Много сложно и най-вече нелинейно. Най-простото доказателство, според мен, е чрез Питагорова теорема, без никакви леми и помощни формули:

Titu_Andrescu · Пуснато на: Wed Mar 14, 2007 2:33 pm Заглавие:

Просто използвай вектори и скаларно произведение на 2 вектора и косинусовата теорема излиза на 3 реда.

Lubo · Пуснато на: Wed Mar 14, 2007 5:21 pm Заглавие:

Това е може би най-простото доказателство на Питагоровата теорема, което съм срещал:

Честит "п" Ден на всички математици в този форум!

п = 3.14 или (март, 14).

Любо

tanas · Пуснато на: Wed Mar 14, 2007 5:51 pm Заглавие:

Lubo · Пуснато на: Wed Mar 14, 2007 7:41 pm Заглавие:

Сумата на лицата на 4-те правоъгълни триъгълника е

2ab

Лицето на вътрешния квадрат е

c^2

Лицето на външния квадрат е

(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2

Но

Лицето на външния квадрат = Сумата на лицата на 4-те правоъгълни триъгълника + Лицето на вътрешния квадрат

или

a^2 + 2ab + b^2 = 2ab + c^2, т.е.

a^2 + b^2 = c^2

Любо

tanas · Пуснато на: Thu Mar 15, 2007 1:55 pm Заглавие:

Много красиво, понеже е лесно.Но на мен ми харесва повече Решение5, предложено от Titu_Andrescu на предната страница. Иначе и твоето е много хубаво, както казах.

Lubo · Пуснато на: Thu Mar 15, 2007 2:21 pm Заглавие:

Решението на Titu_Andrescu беше изобразено (може би все още е) на значката на моята гимназия.

Любо

uktc · Пуснато на: Mon Mar 19, 2007 10:09 pm Заглавие:

Колко съм бавен...
r/(p-c)=tg(γ/2). Това се доказва чисто графично.
Значи r=(p-c)tg(γ/2) |*p
S=p(p-c)tg(γ/2). Какви Херонови формули, какви леми Laughing

Spider Iovkov · Пуснато на: Tue Mar 20, 2007 8:21 pm Заглавие:

Питагорова теорема - доказателство.
Нека а1 е проекцията на катета а върху хипотенузата, а b1 - проекцията на другия катет върху нея. Както знаем:
а на втора = а1.с
b на втора = b1.с
Приравняваме левите и десните страни и получаваме:
а на квадрат + b на квадрат = а1.с + b1.с ↔ а2 + b2 = (а1 + b1)с; като отчетем, че а1 + b1 е с, стигаме до извода, че
а2 + b2 = с2

Irrefutable · Пуснато на: Thu Jul 19, 2007 10:46 am Заглавие:

Не може да ползвате косинус и синус при доказване на питаговора теорема защото тези функции са изведени на базата на нея.
Всъщност математически се доказва с подобни триъгълници:
http://en.wikipedia.org/wiki/Pythagorean_theorem
Иначе , практически може с най-различни триъгълници. Да се комплектоват и измерват.

Saposto_MM · Пуснато на: Sun Sep 02, 2007 9:33 am Заглавие:

r+c=p /*r
r(r+c)=pr
Но pr=ab/2 =>
=> r²+rc=ab/2 /*4
4r²+4rc=2ab 1)
2r+c=a+b /²
4r²+4rc+c²=a²+b²+2ab
От 1) => c²=a²+b²