Нещо като примерна тема -2

estoyanovvd

Задачките са от кандидатсудентски изпити в МГУ. ЦЪК!

Реклама

ганка симеонова · Пуснато на: Sat Jun 13, 2009 9:11 am Заглавие:

Стоянов, само кандидат- студенти ли могат да решават или и други? Embarassed

martosss · Пуснато на: Sat Jun 13, 2009 9:38 am Заглавие:

Аз на първа получих, че [tex]x\in [-3;2)\cup (5;7][/tex]

Г-жо, мисля че въпросът ви е излишен Wink

ганка симеонова · Пуснато на: Sat Jun 13, 2009 9:42 am Заглавие:

ганка симеонова · Пуснато на: Sat Jun 13, 2009 12:49 pm Заглавие:

KL, MN са бимедиани ( отсечки, свързващи средите на два с/уположни ръба в тетраедър). Тогава Р е медицентър на тетраедъра . Точка през която минават и самите медиани ( медиани- отсечки свързващи връх на тетраедъра с медицентъра на с/у положната стена)
Нека означим [tex]a^2+b^2+c^2=k^2+l^2+m^2=x [/tex]
Да построим едната медиана SG. Тогава [tex]SG=\frac{4}{3 }SP=4\sqrt{7} [/tex], но
[tex]SG^2=\frac{1}{3 }( k^2+l^2+m^2)-\frac{1}{9 }( a^2+b^2+c^2)=\frac{2}{ 9} x=>x=504 [/tex]
Тук ще ползвам една формула, която сравнително "лесно " се доказва с помощта на векторния апарат. (ако някой има желание, ще я докажа)
[tex]OP^2=R^2-\frac{1}{16 } ( a^2+b^2+c^2+k^2+l^2+m^2)=>R^2=21+\frac{1}{16 }2.504=>R^2=84=>R=2\sqrt{21} [/tex]

Is it black or white? · Пуснато на: Sat Jun 13, 2009 1:26 pm Заглавие:

На трета получавам:
[tex]x\in [ 2k\pi ; \frac{\pi}{4} + 2k\pi][/tex] [tex]\cup[/tex] [tex]x=\pi + 2k\pi[/tex] Confused

_sssss · Пуснато на: Sat Jun 13, 2009 1:30 pm Заглавие:

[tex]6. \; \; \frac{19\pi}{177}\le tg\alpha \le 3 ,\; \; sin2\alpha \le \frac{3}{5} ,\; \; cos4\alpha=?[/tex]
------------------------------------------------------
[tex]\normal \frac{2tg\alpha}{1+tg\alpha}\le \frac{3}{5} \Leftrightarrow (tg\alpha - \frac{1}{3})(tg\alpha - 3) \ge 0[/tex]

[tex]\normal tg\alpha \in(-\infty; \frac{1}{3}]\cup[3;+\infty) \\ tg\alpha\in[\frac{19\pi}{177};3][/tex]

[tex]\normal \frac{19\pi}{177}>\frac{1}{3} \Rightarrow tg\alpha=3[/tex]

[tex]\normal cos2\alpha=\frac{1-3^2}{1+3^2}=-\frac{4}{5}\\cos4\alpha=2\(-\frac{4}{5}\)^2 - 1=\frac{7}{25}[/tex]

naitsirk · Пуснато на: Sat Jun 13, 2009 2:19 pm Заглавие:

по 3-та:
[tex]\sqrt{1-sin2x}+|sinx|=\sqrt{(cosx-sinx)^2}+|sinx|=|cosx-sinx|+|sinx|\ge |cosx| [/tex]
Ясно е, че неравенството няма решение ако [tex]cosx< 0[/tex] => [tex]cosx\ge0 [/tex].
Тогава [tex]|cosx-sinx|+|sinx|\ge cosx[/tex], т.е. [tex]\sqrt{1-sin2x}+|sinx|\ge cosx[/tex].
Нататък мисля, че е ясно...
П.П. Използвам, че [tex]|a|+|b|\ge |a+b|[/tex]

Is it black or white? · Пуснато на: Sat Jun 13, 2009 2:23 pm Заглавие:

На четвърта получавам, че [tex]AB=BC=2[/tex]
[tex]S=2\frac{\sqrt{3+2\sqrt{2}}}{2+\sqrt{2}} [/tex]
Сега да си потърся програмата за чертане, ако успея ще направя едно чертежче + решение

Is it black or white? · Пуснато на: Sat Jun 13, 2009 2:24 pm Заглавие:

@naitsirk отговорът, който аз съм посочил по-нагоре верен ли е или получаваш нещо друго Confused

ганка симеонова · Пуснато на: Sat Jun 13, 2009 2:28 pm Заглавие:

Is it black or white? · Пуснато на: Sat Jun 13, 2009 3:16 pm Заглавие:

4. Върху страните АВ и ВС на триъгълника АВС са избрани съответно точки E и D
Така, че [tex] \angle BAD=4\angle DAC[/tex] ,[tex] \angle BCE=4\angle ECA[/tex] . Известно е , че [tex]AB.CE=BC.AD[/tex] , [tex]AB=2[/tex] и радиусът на окръжността, описана около АВС е равен на [tex]\sqrt{4+2\sqrt{2} }[/tex].

Пресметнете лицето на триъгълника АВС.

Да си означим:
[tex]\angle DAC=x[/tex] => [tex]\angle BAD=4x[/tex]
[tex]\angle ECA=y[/tex] => [tex]\angle BCE=4y[/tex]
От синусова теорема за ▲АВС:
[tex]\frac{AB}{sin5x}=2R [/tex] => [tex]sin5x=\frac{1}{R}=\frac{1}{\sqrt{4+2\sqrt{2} }} [/tex]
От:
[tex]AB.CE=BC.AD[/tex] => [tex]\frac{AB}{BC}=\frac{AD}{CE} [/tex]
и [tex]\angle ABC[/tex] - общ
=> ▲[tex]ABD[/tex] [tex] \approx[/tex] [tex]BCE[/tex]

=> [tex]\angle BAD = \angle BCE = 4x[/tex] и [tex]\angle CAD = \angle ACE = x[/tex]
=> ▲ AOC - равнобедрен [tex](AD\cap CE= O)[/tex]
[tex]\angle AOE = \angle COD[/tex] => ▲AOE[tex]\approx [/tex]▲COD
=>[tex]\frac{AO}{CO}=\frac{OE}{OD} [/tex]
Но знаем, че AO=CO=> OE=OD => AD=CE
От подобието на триъгълниците ABD и BCE имахме, че:
[tex]\frac{AD}{CE}=\frac{AB}{BC} [/tex]
Но AD=CE => AB=BC=2
Ох, току-що видях, че още от кога споменах, че [tex]\angle BAC = \angle BCA[/tex] => ▲ABC-равнобедрен, защо ги правих тези подобия ...
[tex]\angle ABC=180^\circ -10x[/tex]
[tex]sin5x=\frac{1}{\sqrt{4+2\sqrt{2} }} => cos5x=\sqrt{1-\frac{1}{4+2\sqrt{2}}}=\sqrt{\frac{3+2\sqrt{2}}{ 4+2\sqrt{2}} }[/tex]
[tex]sin(180^\circ - 10x)=sin10x=2sin5x.cos5x=2\frac{1}{\sqrt{4+2\sqrt{2} }}\sqrt{\frac{3+2\sqrt{2}}{ 4+2\sqrt{2}} }=2\frac{\sqrt{3+2\sqrt{2}}}{2(2+\sqrt{2})}=\frac{\sqrt{3+2\sqrt{2}}}{2+\sqrt{2}} [/tex]
[tex]S_{ABC}=AB.BC.sin(\angle ABC)=2\frac{\sqrt{3+2\sqrt{2}}}{2+\sqrt{2}}[/tex]
Ако успея да надвия програмата за чертане мога да пусна едно чертежче, макар че то няма смисъл от него

naitsirk · Пуснато на: Sat Jun 13, 2009 3:24 pm Заглавие:

Archer, мисля, че това са решенията.
Ето и друг начин, да се докаже, че AB=BC на 4-та:
[tex]2S_{ABC}=2(S_{AEC}+S_{BEC})=(AE+BE)EC.sin\angle AEC=AB.CE.sin(5x+y)[/tex]
Аналогично като разгледаме ADC и ABD [tex]2S_{ABC}=BC.AD.sin(5y+x)[/tex]. Приравняваме ги и получаваме:
sin(5x+y)=sin(5y+x). Тъй като x и y са ъгли в триъгълник не могат да се допълват до 180 => 5x+y=5y+x => x=y => триъгълникът е равнобедрен

ганка симеонова · Пуснато на: Sat Jun 13, 2009 3:46 pm Заглавие:

Очевидно АВС е равнобедрен, защото ъглополовящата АО минава през медицентъра на АВС. Ако ознaчим [tex]\angle A=\alpha ; BH=h; BC=a; AC=AB=b[/tex] ще имаме, че [tex]OT=\frac{h}{ 3} =>OH=\frac{h}{3 } \sqrt{2} [/tex]
Изразяваме [tex]h=a.cos{\frac{\alpha }{ 2}}; b=\frac{a}{2sin{\frac{\alpha }{2} } } [/tex]
Тогава[tex]{S_{ABH}}/{S_{ABC} }=\frac{AB.BHcos\alpha }{ AB.BCsin\alpha }=cos\alpha [/tex] От [tex]costh\Delta OHB=>OB^2=OH^2+BH^2-2OH.BH.cos45^\circ =>OB=\frac{h\sqrt{5} }{3 }=>BL=\frac{3}{2 }OB=\frac{h\sqrt{5} }{2 }[/tex]
[tex]\Delta LBH=>cos (45^\circ -\frac{\alpha }{2 } )=\frac{BH}{BL } =\frac{2}{\sqrt{5} }=>sin (45^\circ -\frac{\alpha }{2 } )=\frac{1}{\sqrt{5}}=>cos\alpha =\frac{4}{ 5}=>{S_{ABH}}/{S_{ABC} }=\frac{4}{ 5} [/tex]

ганка симеонова · Пуснато на: Sat Jun 13, 2009 3:54 pm Заглавие:

Is it black or white? · Пуснато на: Sat Jun 13, 2009 4:01 pm Заглавие:

Две страни и ъгъл срещу по-голямата от тях (4-ти признак)

ганка симеонова · Пуснато на: Sat Jun 13, 2009 4:07 pm Заглавие:

може да се изложа целокупно и тотално, но аз не знам такъв признак за подобие Embarassed

inimitably · Пуснато на: Sat Jun 13, 2009 4:09 pm Заглавие:

на 7. може и без косинусова теорема.

[tex]tan(90-\frac{x}{2 })=\frac{BH}{CH }=3[/tex]

ганка симеонова · Пуснато на: Sat Jun 13, 2009 4:11 pm Заглавие:

Is it black or white? · Пуснато на: Sat Jun 13, 2009 4:22 pm Заглавие:

На 4-та толкова ли получавате Smile

naitsirk · Пуснато на: Sat Jun 13, 2009 4:31 pm Заглавие:

за x=6 уравнението е еквивалентно на [tex]\frac{1}{4 }\ge \frac{1}{5 } [/tex], което е изпълнено. И аз получавам колкото martosss

Is it black or white? · Пуснато на: Sat Jun 13, 2009 4:43 pm Заглавие:

Прави сте, аз не съм догледал, вземам единицата като част от логаритъм, а тя не е Smile

estoyanovvd · Пуснато на: Sat Jun 13, 2009 4:55 pm Заглавие:

ганка симеонова · Пуснато на: Sat Jun 13, 2009 5:04 pm Заглавие:

8 зад) Тетраедърът е равностенен=> [tex]V=\frac{1}{12 }\sqrt{2(a^2+b^2-c^2)(b^2-a^2+c^2)(a^2-b^2+c^2)} [/tex](доказах този факт преди няколко дни в раздел Стереометрия)
Но в тази задача без ограничение на общността можем да считаме, че [tex]b=c[/tex]
Прилагайки кос. т-ма за [tex]DBC; DC=a; BC=BD=b [/tex] получаваме връзката [tex]a^2=\frac{2}{5 }b^2 [/tex] Замествайки във формулата за обем, получаваме АВ.

ганка симеонова · Пуснато на: Sat Jun 13, 2009 5:06 pm Заглавие:

estoyanovvd · Пуснато на: Sat Jun 13, 2009 5:21 pm Заглавие:

ганка симеонова · Пуснато на: Sat Jun 13, 2009 5:23 pm Заглавие:

Няма да го изтривам Very Happy

Наистина, никога до сега не съм ползвала такова чудо Laughing

А, задачата я реших по друг начин, обаче получих и още едно решение ( което не съм го анализирала) Embarassed

estoyanovvd · Пуснато на: Sat Jun 13, 2009 5:39 pm Заглавие:

Да. Задачата има две решения! Става въпрос за четвърта, нали?

ганка симеонова · Пуснато на: Sat Jun 13, 2009 5:54 pm Заглавие:

ганка симеонова · Пуснато на: Sat Jun 13, 2009 6:01 pm Заглавие: