Задачи за изпити

[marti1295]

Хайде седмокласници!Размърдайте се, че изпитите наближават!Предлагам в тази тема да се пускат по-трудни задачи от тестове, например с допълнително построение (хич не ги умея).Ще съм ви благодарен и ще е в полза на всички!Аз започвам с една:
Отсечката AL ([tex]L \in BC[/tex]) е ъглополовяща в триъгълника АВС, в който [tex]\angle ACB = 90^\circ [/tex] и [tex]AC \ne \frac{1}{ 2}AB [/tex] .Отсечката СН ([tex]H \in AL[/tex]) е височина в [tex]\Delta ACL[/tex].Известно е, че[tex] CH=\frac{1}{4 }AB[/tex] .Намерете градусната мярка на [tex]\angle ABC [/tex].

[Реклама]

[ганка симеонова]

Напарви ли я?
Ако си я решил, напиши решение.

[marti1295]

Да, реших я.Ето я:
[tex]CH \cap AB =N[/tex].AH - ъглополовяща и височина [tex] \Rightarrow [/tex]ACN - равнобедрен и[tex] CN=2CH=\frac{1}{2 }AB[/tex] ; означаваме [tex]\angle CAB = 2\alpha \Rightarrow \angle ACN=\angle ANC=90^\circ - \alpha[/tex] .Построяваме M - среда на AB [tex] \Rightarrow CN=CM=\frac{1}{2 }AB[/tex], т.е. CNM - равнобедрен.Допускаме, че[tex] M\in BC \Rightarrow \angle CNM = 90^\circ + \alpha[/tex]. Обаче така получаваме тъп ъгъл при основата на равнобедрен триъгълник, което е невъзможно.Следователно[tex] M \in AN[/tex].Тогава[tex] \angle CMN=\angle CNA[/tex] . [tex]\angle CMN [/tex]- външен за AMC [tex] \Rightarrow \angle CMN =4\alpha \Rightarrow 4\alpha=90-\alpha \Rightarrow \alpha=18^\circ [/tex]и [tex]\angle CAB=36^\circ[/tex],[tex] ABC=54^\circ[/tex].

Ох, измъчих се, докато я реша.Моля Ви дайте и Вие някоя задача с допълнително построение, пък ние - седмокласниците ще я мъдрим.

[ганка симеонова]

Средата М на страната CD на квадрата ABCD е съединена с върха А. От върха D е спуснат перпендикулярът DK към АМ ( К лежи на АМ). ДА се докаже, че
а) [tex]\angle MDK=\angle MBC [/tex]
б) [tex]BK=AB [/tex]

[marti1295]

Нещо не ми е много ясно.Под среда на квадрата да разбирам ли център на квадрата(така го дефинират в нашия учебник), т.е. пресечната точка на диагоналите.Ако е така ми става още по-объркано.
ПП: не ми се смейте, аз съм само един заблуден и шашнат седмокласник.

[ганка симеонова]

сори, пропуснала съм нещо. сега ще поправя

[mousehack]

Хм,аз за втората подточка се сещам за решение само със средна отсечка.

[ганка симеонова]

[mousehack]

Е да де,аз си правя допълнително построение и после се сещам за решение само със средна отсечка.

[ганка симеонова]

[mousehack]

ОПА,сетих се и със седми калс.

[ганка симеонова]

[marti1295]

Извинявам се, че толкова късно пиша, но бях на изпит по английски.Иначе за задача: първото подточка е лесна, но във втората точно е допълнителното построение.Дайте някакво упътване, пък после нека mousehack да напише решението му.
ПП:признавам, че и аз мисля, т.е. не съм я решил.

[ганка симеонова]

Mарти, не се отказвай
Mалко упътване.. Построй перпендикуляр от В към АМ...

[aleks0*]

[ Така ето какво измъдрих аз:
DM=MC=a
AB=AD=BC=CD=2a
[tex]DK-\bot AM[/tex]
Построяваме KL-медиана в ▲ADK
AL=LK=a
[tex]LB\bot AM[/tex]
[tex]R\in AM[/tex]
[tex]R\in LB[/tex]
AR=RK
[tex]RB\bot AM[/tex]
=> AB=BK=2a

[marti1295]

Браво aleks0*.С помощта на г-жа Симеонова и аз успях да реша на задачата.Много ме е яд, че не успях да я направя много по-рано, защото построих медианата но реших, че нищо няма да излезе и се отказах.Давайте още такива задачи, ще е супер.
ПП:alekso0* как получи, че [tex]LB\bot AM [/tex].Опаа, намерих си грешка в решението - утре на ново.

[ганка симеонова]

Даден е успоредникът ABCD, в който точката М е средата на АВ. Ако DE е перпендикулярна на ВС и точка Е е вътрешназа ВС, да се докаже, че триъгълник MED е равнобедрен.

[marti1295]

След дълга (и мъчителна) борба успях да победя задачата.Знам, че има едно решение на aleks0*,но искам и аз да запиша моето(обещах да не се отказвам).Ето го и него:
Построявам [tex]BN \bot AM[/tex], нека[tex] BN \cap AD= L[/tex] ;Означавам [tex]\angle MAD = \angle ABM= \angle CBM = \alpha[/tex] и [tex]\angle MAD=\angle BMC[/tex]
Разглеждаме [tex]\Delta BAL[/tex] и [tex]\Delta BCM[/tex].
[tex]\angle C= \angle A[/tex] ;[tex] AB=BC[/tex] ;[tex]\angle ABL = \angle MBC \Rightarrow[/tex] BAL еднакъв на BCM [tex]\Rightarrow AL = CM \Rightarrow L[/tex] -среда на AD [tex]\Rightarrow[/tex] KL - медиана в провоъг. триъгълник AKD [tex]\Rightarrow AL = KL \Rightarrow ALB[/tex] - равнобедрен и[tex] LN - h \Rightarrow LN[/tex] - медиана[tex] \Rightarrow AN = KN \Rightarrow [/tex]BN - височина и медиана в [tex]\Delta ABK \Rightarrow ABK [/tex]- равнобедрен [tex]\Rightarrow AB = BK[/tex]
Най - накрая успях.Надявам се, че няма грешки.Съжалявам, че пиша два поредни поста, но исках и аз да запиша моето решение.
ПП:почвам новата задача.Мерси много.

[ганка симеонова]

Няма нищо лошо една задача да бъде решена по няколко начина

[aleks0*]

Имам един въпрос...На новата задачка след като съм посторил средата на CD друго построение трябва ли да правя

[ганка симеонова]

[aleks0*]

И това съм направил,ама решението пак не излиза

[marti1295]

Реших я, да пускам ли решението или да ви оставя да помислите още малко.

[ганка симеонова]

Пускай, защото освен ти и другото момче, няма желаещи 7- класници, да мислят

[aleks0*]

[marti1295]

Построяваме N - среда на CD [tex]\Rightarrow DN=CN=EN=AM=BM[/tex].Нека [tex]MN \cap DE = P[/tex] Означаваме [tex]\angle NEC = \angle ECN = \angle DAM = \beta ; BNE = 2 \beta[/tex]
DN - успоредна и равна на AM [tex] \Rightarrow AMND [/tex]- успоредник [tex]\Rightarrow \angle MAD=\angle DNM = \beta \Rightarrow ENM = 2\beta - \beta = \beta \Rightarrow [/tex]
Разглеждаме[tex] \Delta DNM[/tex] и[tex] \Delta ENM [/tex]
MN-обща, [tex]EN = DN[/tex] и [tex]\angle DNM = \angle ENM \Rightarrow DNM[/tex] е еднакъв на [tex]ENM \Rightarrow DM = EM \Rightarrow MED[/tex] - равнобедрен.
ПП:не от провинцията съм, от всеизвестния град Дупница.
ПП2:коригирах излишните неща в решението.

[mousehack]

Ето една и от мен:
Даден е равностранен триъгълник [tex] ABC[/tex] и такава точка [tex]M[/tex] ,че [tex]\angle BCM=75^\circ [/tex] и [tex] \angle BAM=45^\circ [/tex].Да се намери [tex] \angle ABM[/tex]

[martosss]

Оле... радвам се, че не съм седмокласник Иначе тази последната задача я реших... разбира се с построяване на равностранен триъгълник Да го пиша ли подробно, или да оставя младото поколение да си опъва нервите?

[marti1295]

Хайде, хайде, ние - младото поколение даваме път на старото да напише решението.

[mousehack]

М e външна за триъгълника.То не е възможно да е вътрешна,след като [tex]\angle BCM=75^\circ [/tex]