Квадратна функция, модули и параметър (НОМ 1986-та)

[ins-]

Да се намерят всички реални стойности на параметъра [tex]p[/tex], за които функцията: [tex]f(x)=x^2+2p|x-p|+|2p-1|x-p^2[/tex] приема само положителни стойности.

[Knowledge Greedy]

Само [tex]p=\frac{1}{2}[/tex].
В останалите случаи има по един подслучай, в който условието [tex]\forall x:[/tex] [tex]f(x)>0[/tex] е нарушено.

[ins-]

Ц

[georgi111]

Нека позная: [tex]p \in (-\infty;1/2]; p \in [1/6; +\infty)[/tex]

[georgi111]

Дори мога да го докажа

[kmitov]

Ми при $p=1/2$, $f(1/2)=0.$

[georgi111]

На Knowledge Greedy му се губи случая [tex]x>=p>=1/2[/tex].Тогаз имаме 2 възможности (понеже дискриминантата е > 0):
1) или [tex](x_1;x_2) \in (1/2;p)[/tex]
2) или [tex]x_2 \le 1/2 (\le p)[/tex],
за да е всяко [tex]x \ge p[/tex] решение (чертеж за да стане по-ясно)...

[georgi111]

Kmitov разпиши основното при p=1/2 ... И виж отделно - не е ли в сила за всяко x ?

[ins-]

Официалният отговор е [1/6;+безкрайност)

[georgi111]

Хайде да ти го поразпиша : При p=1/2 става:
[tex]x^2+ |x-1/2| -1/4 > 0[/tex].
1)При [tex]x>1/2[/tex]: [tex]x^2 + x - 3/4 > 0; (x+3/2)(x-1/2)>0[/tex] - вярно за [tex]x>1/2[/tex].
2) При [tex]x<1/2[/tex]: [tex]x^2 - x + 1/4 > 0; (x-1/2)^2>0[/tex] - вярно за [tex]x \neq 1/2[/tex].
3) При [tex]x=1/2[/tex]: - опп не е вярно. (0>0). За 1/6 също трябва да се провери внимателно ...

[kmitov]

При $p=1/2$ основното е $f(x)=x^2+2\frac{1}{2}|x−\frac{1}{2}|+|2\frac{1}{2}−1|x−\left(\frac{1}{2}\right)^2=x^2+|x-\frac{1}{2}|-\frac{1}{4}$

[kmitov]

Видя ли.

[georgi111]

Признавам си - имам грешка - отговора е само : [tex]p \in [1/6;+\infty)[/tex]. Това е ...

[kmitov]

Добре де, ама махни едната втора от този интервал. Нали се съгласи, че една втора не върши работа.

[inveidar]

Официалният отговор е [1/6;+безкрайност)

Да, но в официалното условие е НЕОТРИЦАТЕЛНИ стойности!

[ins-]

Лека грешка.

[georgi111]

Тогава ако е неотрицателни [tex]p=1/2[/tex] е решение

[georgi111]

Ето набързичко едно решение. Имаме следните случаи за да разкрием успешно модулите:
1) [tex]x \ge p[/tex]. Неравенството става еквивалентно с :[tex]x^2 + (2p + |2p-1|)x -3p^2 \ge 0[/tex]
2) [tex]x \le p[/tex]. Неравенството става еквивалентно с :[tex]x^2 + (-2p + |2p-1|)x + p^2 \ge 0[/tex].
Тогава минимума на [tex]f(x)[/tex] се достига в някоя от точките (върхове на горните параболи или в [tex]p[/tex]) т.е.
[tex]\in (f(p);f(-p+1/2|2p-1|);f(-p-1/2|2p-1|))[/tex]. Търсените стойности на параметъра са решение на системата:
\begin{cases} f(p) \ge 0 \\ f(p-1/2|2p-1|) \ge 0 \\f(-p-1/2|2p-1|) \ge 0 \end{cases} (защо ? ) или на еквивалентната система :
\begin{cases} p|2p-1| \ge 0 \\ 4p|2p-1| -(2p-1)^2 \ge 0 \\ 4p|2p-1| - (2p-1)^2 + 4p^2 \ge 0 \end{cases}.
Първото влече [tex]p \ge 0[/tex], а последното спокойно може да го елиминираме, защото следва от 2рото ... Значи дадената система е еквивалентна със системата :
\begin{cases} p \ge 0 \\ 4p|2p-1| -(2p-1)^2 \ge 0 \end{cases} т.е. със системата:
\begin{cases} p \ge 0 \\ 4p|2p-1| -|2p-1|^2 \ge 0 \end{cases} или със системата:
\begin{cases} p \ge 0 \\ -4p \le 2p-1 \le 4p \end{cases}.
От последната система следва [tex]p \in [1/6; +\infty)[/tex]

[georgi111]

Всъщност при [tex]x \ge p[/tex] израза за [tex]f(-p-1/2|2p-1|)[/tex] не е точно този ... То тогава за да е решение всяко [tex]x >=p[/tex] трябва:
\begin{cases} D \ge 0 \\ -p -1/2|2p-1| \lt p \\ f(p) \ge 0 \end{cases} откъдето следва [tex]p \ge 0[/tex].
При [tex]x \le p[/tex], за да е решение имаме 2 случая :
1) \begin{cases} D \le 0 \end{cases}
2) \begin{cases} D \ge 0 \\ f(p) \ge 0 \\ p \lt p-1/2|2p-1|\end{cases}
Случай 2 е невъзможен, а от 1) получаваме [tex]p \in [1/6; +\infty)[/tex]

[ins-]

Тук вече съм склонен да се съглася. За решение на задачата с НЕОТРИЦАТЕЛНИ правим сечение на x>=p и x<=p. Финален отговор p>=1/6.

Дискриминантата може да се игнорира напълно. Известно е, че една фукция може да има най-малка/голяма стойност, когато тя има локален екстремум, или в краищата на интервала.

При [tex]x \le p[/tex] решението е:

На база изказаното твърдение имаме, че минимумът на [tex]f(x)[/tex] е равен на минимума [tex]f(p)[/tex] и [tex]f(p-(1/2)*|2p-1|)[/tex]
[tex]f(p)= |2p-1|*p[/tex]
[tex]f(p)[/tex] - неотрицателно.
[tex]f(p-(1/2)*|2p-1|)[/tex] - неотрицателно
[tex](1/4)*|2p-1|*(4p-|1-2p|)[/tex] - неотрицателно
[tex](1/4)*|2p-1|*(4p-|1-2p|)[/tex] - неотрицателно
[tex]f(x)[/tex] е неотрицателно за всяко [tex]x[/tex] <=> [tex](1/4)*|2p-1|*(4p-|1-2p|)[/tex] e неотрицателно.
<=> [tex]4p-|1-2p|[/tex] неотрицателно
тогава и само тогава, когато [tex]-4p \le 2p -1 \le 4p[/tex] ([tex]p[/tex] е положително)
Следователно [tex]p \ge 1/6[/tex]

За [tex]x \ge p[/tex] по подобен начин следва, че [tex]p \ge 0[/tex]. Трябва само да се съобрази, че функцията достига минимума си при [tex]x=p[/tex].

Написаното е по идея на Giorgos Hassapis от Гърция.

[Alex98]

Ако използваме стандартния начин за разкриване на модулни скоби , задачата изиза лесно:
1 случай: [tex]x\le p \Rightarrow |x-p|=p-x[/tex]
[tex]\Rightarrow f(x)=x^2-2px+2p^2+|2p-1|x-p^2[/tex]
a) [tex]p\ge \frac{1}{2} \Rightarrow |2p-1|=2p-1[/tex]
[tex]\Rightarrow f(x)=x^2-2px+2p^2+(2p-1)x-p^2=x^2-x+p^2[/tex]
Сега търсим отрицателна дискриминанта:[tex]D=1-4p^2<0 \Rightarrow p\in(-\infty;-\frac{1}{2})\cup(\frac{1}{2};\infty)[/tex]
или окончателно за този подслучай [tex]p\in(\frac{1}{2};\infty)[/tex]
б)[tex]p<\frac{1}{2} \Rightarrow |2p-1|=1-2p[/tex]
[tex]\Rightarrow f(x)=x^2-2px+2p^2+(1-2p)x-p^2=x^2+(1-4p)x+p^2[/tex]
Отново търсим отрицателна дискриминанта:[tex]D=(1-4p)^2-4p^2<0 \Rightarrow 12p^2-8p+1<0 \Rightarrow 12(p-\frac{1}{6})(p-\frac{1}{2})<0 \Rightarrow p\in (\frac{1}{6};\frac{1}{2})[/tex]

От тук за 1 случай получихме [tex]p\in(\frac{1}{6};\frac{1}{2})\cup(\frac{1}{2};\infty)[/tex]

2 случай: [tex]x> p \Rightarrow |x-p|=x-p[/tex]
[tex]\Rightarrow f(x)=x^2+2px-2p^2+|2p-1|x-p^2[/tex]
a) [tex]p\ge \frac{1}{2} \Rightarrow |2p-1|=2p-1[/tex]
[tex]\Rightarrow f(x)=x^2+2px-2p^2+(2p-1)x-p^2=x^2+(4p-1)x-3p^2[/tex]
Сега търсим отрицателна дискриминанта:[tex]D=(4p-1)^2+12p^2=28p^2-8p+1[/tex], което е положително за всяко [tex]p[/tex] или в този подслучай няма решение
б)[tex]p<\frac{1}{2} \Rightarrow |2p-1|=1-2p[/tex]
[tex]\Rightarrow f(x)=x^2+2px-2p^2+(1-2p)x-p^2=x^2+x-3p^2[/tex]
Отново търсим отрицателна дискриминанта:[tex]D=1+12p^2[/tex], което е положително за всяко [tex]p[/tex] и в този подслучай няма решение

От тук решението е това от случай 1 или [tex]p\in(\frac{1}{6};\frac{1}{2})\cup(\frac{1}{2};\infty)[/tex]


П.П. Написаният в горните постове отговор [tex]p\in (\frac{1}{6}; \infty)[/tex] не е верен тъй като по условие [tex]f(x)[/tex] трябва да приема само положителни стойности , а за [tex]x=p=\frac{1}{2} ; f(x)=0[/tex] , което по определение е не положително

[ins-]

Това е така, просто бях объркал условието и не ми даваше да го редактирам. Правилното е "неотрицателни" (полученият отговор е коректен, ако е написано "неотрицателни"), но и то е ценно, защото се видя какво става, ако имаме "положителни".