Уравнение от четвърта степен

[Spider Iovkov]

[tex]x^4+4x-1=0[/tex]

[Реклама]

[NoThanks]

[tex]x^4+4x-1 = (x^2)^2 +4x^2 +4 -4x^2-4+4x-1=0[/tex]
=>[tex](x^2+2)^2 -(4x^2-4x+1)-4=0[/tex]
[tex](x^2+2)^2-(2x-1)^2 -4 =0[/tex]
[tex](x^2-2x+3)(x^2+2x+1)-4[/tex]
[tex]x^2-2x+1=t \Leftrightarrow t \in [0;+\infty][/tex]
[tex](t+2)t -4 =0 => t^2+2t-4 =0 t_{1,2}=-1\pm\sqrt{5}[/tex]
=>[tex]x^2-2x+1 = -1+\sqrt{5} => x^2-2x+2-\sqrt{5}=0 \; x_{1,2}=1\pm\sqrt{\sqrt{5}-1}[/tex]

[Spider Iovkov]

Ще искаме да разложим многочлена във вида
[tex](x^2+ax+b)(x^2+cx+d)=0[/tex].
Приравнявайки коефициентите при еднаквите степени на [tex]x[/tex] в равенството [tex]x^4+4x-1=(x^2+ax+b)(x^2+cx+d)[/tex], достигаме до системата
[tex]\begin{array}{||}a+c=0\\ac+b+d=0\\ad+bc=4\\bd=1\end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{||}a=-c\\d=\frac{1}{b}\\a^2=-b-\frac{1}{b}\\-a(\frac{1}{b}+b)=4\end{array}[/tex].
От последното уравнение изразяваме [tex]a[/tex] и повдигаме на втора степен. Замествайки в третото уравнение стойността на [tex]a[/tex], получаваме
[tex]\frac{16}{(b+\frac{1}{b})^2}=b-\frac{1}{b} \Leftrightarrow \frac{16}{b^2+\frac{1}{b^2}+2}=b-\frac{1}{b}[/tex].
Сега въвеждаме [tex]z=b-\frac{1}{b} \Rightarrow z^2=b^2+\frac{1}{b^2}-2[/tex], откъдето
[tex]\frac{16}{z^2+4}=z \Leftrightarrow z^3+4z=16 \Leftrightarrow z=2[/tex].
Намираме коефициента [tex]b[/tex] от уравнението [tex]b-\frac{1}{b}=2[/tex]:
[tex]b^2-2b-1=0 \Leftrightarrow (b-1)^2-2=0 \Leftrightarrow b=1\pm \sqrt{2}[/tex].
Нека [tex]b=1-\sqrt{2}[/tex]. В такъв случай [tex]a^2=b-\frac{1}{b}=2 \Rightarrow a=\pm \sqrt{2}; c=-a \Leftrightarrow c=\mp \sqrt{2}; d=-\frac{1}{1-\sqrt{2}}=1+\sqrt{2}[/tex].
Следователно разложихме изходното уравнение на множители:
[tex](x^2+\sqrt{2}x+1-\sqrt{2})(x^2-\sqrt{2}x+1+\sqrt{2})=0 \Leftrightarrow [(x+\frac{1}{\sqrt{2}})^2+\frac{1}{2}-\sqrt{2}][(x-\frac{1}{\sqrt{2}})^2+\frac{1}{2}+\sqrt{2}]=0[/tex].
Ако вземем [tex]b=1+\sqrt{2}[/tex], то [tex]a[/tex] и [tex]c[/tex] ще останат същите, а [tex]d=1-\sqrt{2}[/tex] и ще получим същото разлагане. Тъй като уравнението
[tex](x-\frac{1}{\sqrt{2}})^2+\frac{1}{2}+\sqrt{2}=0[/tex] няма реални корени, то всичките реални решения се изчерпват с
[tex]x=-\frac{1}{\sqrt{2}}\pm \sqrt{\sqrt{2}-\frac{1}{2}}[/tex] (от първия множител).

[NoThanks]

Не знам какво си имате с Ганка, но според мен е МЕГА ТЪПО да постнеш някво решение 4 минути след моя пост без да изчакаш някой друг да постне решение или пък аз да си поправя моето. Явно от сутринта чакаш някой да постне нещо, за да се похвалиш, че си научил великия метод, дето го има в учебника за 9-ти клас Давам ти ,според мен ,напълно заслужен отрицателен вот за тази тъпотия! Който иска, нека види защо и се въздържа от по-нататъшни изцепки!!!

[krainik]

Nothanks е прав...

[mkmarinov]

Nothanks, имаш грешка след полагането. Единият ти множител е [tex]x^2+2x+1[/tex], а другият - [tex]x^2-2x+3[/tex].
Все пак съм съгласен, че метода на неопределените коефициенти е... лош в най-добрия случай.

[ганка симеонова]

Я да оправим кашата. Значи първо: аз помолих Емо да си пусне решението, защото ми стана интересно. Второ: решението на Нотенкс е грешно . Трето: решението на Емо може и да е дълго, е вярно. Ако някой има други идеи, да ги пуска. Не виждам, за какво трябва да се нападаме.

[Math?]

[Pinetop Smith]

Сравних IP-тата(модератор съм) - NoThanks и krainik не са един и същ човек.

[krainik]