Прости p и q.

[Пафнутий]

Да се намерят всички двойки [tex](p,q)[/tex] от прости числа, за които [tex]pq|5^p+5^q[/tex].

[Реклама]

[laluli]

нещо не схфащам

[Пафнутий]

И аз какво да направя?

[mkmarinov]

(2;3) ли е единствената двойка или да си проверя решението пак?

[nikko1]

Провери си го пак . Не е само тази. Какво ще кажеш за (5, 5)
P.S. Според мен тази задача не може да се реши със знания до 8ми клас. Не знам как ще стане без теоремата на Ойлер-Ферма.

[Baronov]

[mousehack]

А някой ща може ли да напише решението,защаото я мъчих тая задача известно време и ми е интересно как ще се реши.

[blqaa]

Нека p≤q
1 p=q => [tex]p^{2}[/tex]|[tex]|2.5^{p}[/tex]=> p=5=q
2 При p<q имаме:
pq|[tex]5^{p}[/tex](1 + [tex]5^{q-p}[/tex])=> остава да разгледаме следните случаи:
p=2 => 2q|5([tex]5^{q-1}[/tex]+5)=> от малката теорема на ферма q=3 или q=5
p=3 => 3q|625 + 5^{q} => 3q|125(1 + [tex]5^{q-3}[/tex]) => q|125, 3|1+[tex]5^{q-3}[/tex] => противоречие.
p=5 => 5q|[tex]5^{5}[/tex]+[tex]5^{q}[/tex]=>q|625 + [tex]5^{q-1}[/tex] => от малката теорема на Ферма q|626=> q=313.

[mousehack]

Ами ей тия три случая как идват:
p=2 => 2q|5(+5)=> от малката теорема на ферма q=3 или q=5
p=3 => 3q|625 + 5^{q} => 3q|125(1 + ) => q|125, 3|1+ => противоречие.
p=5 => 5q|+=>q|625 + => от малката теорема на Ферма q|626=> q=313.

[nikko1]

[Пафнутий]

Ще напиша и решението. От [tex]pq|5^p+5^q \Rightarrow 5^p+5^q\equiv 0(mod p)[/tex] и ползвайки малката теорема на Ферма следва, че [tex]5^q+5=5(5^{q-1}+1)\equiv 0(mod p)[/tex]
1 случай: [tex]p=5[/tex], тогава имаме [tex]5q|5^q+5^5=5(5^{q-1}+5^4)[/tex]. Оттук [tex]q|5^{q-1}+625[/tex], но [tex]5^{q-1}\equiv 0,1(mod q)\Rightarrow q|626=2.313[/tex] или [tex]q|625=5^4[/tex]. След директна проверка и [tex]q=2[/tex],[tex]q=313[/tex] и [tex]q= 5[/tex] изпълняват условието на задачата. Поради симетричността в този случай решенията са [tex](p,q)=(5,313),(5,5),(5,2),(2,5),(2,5),(313,5)[/tex]
2 случай: [tex]p\ne 5[/tex], тогава [tex]5^{q-1}+1\equiv 0(mod p)[/tex], но от малката теорема на Ферма имаме [tex]5^{q-1}-1\equiv 0 (mod p)[/tex], откъдето [tex]1\equiv -1(mod p)\Rightarrow p=2[/tex].Тогава от условието [tex]2q|25+5^q\Rightarrow q|5^{q-1}+5[/tex]. И по аналогичен на първия случай начин достигаме до [tex]q=3[/tex]. Отново поради симетричността решения са [tex](p,q)=(2,3),(3,2)[/tex]

[nikko1]

[Пафнутий]

Прав си !!! Грешката е моя.

[nikko1]

Доста интерсна задача се оказа. Горните решения водят до мисълта, че със знания за 5-8 клас няма да може да се реши. Теоремата на Ойлер-Ферма (малка теорема на Ферма) учи ли се в училище (школа по математика) и в кой клас?

[Пафнутий]

Учи се по СИП в 8 клас

[mousehack]