Ранг на тази матрица

[Garoll]

Някой би ли казал колко получава за ранга на тази матрица [tex]\left({\begin{array}{cccc}2 & 1 & 3 & 4 \\ 1 & 2 & 0 & 1 \\ 3 & 4 & 5 & 2 \\ 2&5&2&-1\\\end{array}\right)[/tex]

[Реклама]

[Garoll]

Както и да е, рангът и е 3.

Искам да питам едно друго нещо, свързано е с намирането на обратната матрица на матрицата А чрез елементарни преобразувания.В учебника са написани следните:
-разместване на редове(стълбове);
-умножаване на ред(стълб) с число, различно от 0;
-прибавяне към ред(стълб) на друг ред(стълб), умножен с число.
След като се образува (А|Е), очевидно не може просто да се сменят стълбовете и да получим обратната на А.Въпросът ми е точно кои стълбове можем да местим.Все си мисля, че са само тези на матрицата А, но все пак да питам.

[ганка симеонова]

Не мисля, че ако ще преобразуваме паралелно А и Е, докато А стане Е, а Е- обратната на А, имаме право да разместваме стълбове и редове.

[Garoll]

[ганка симеонова]

[Garoll]

Значи за редовете 100% могат да се местят, обаче за стълбовете все още не знам как става

П.С. За редовете естествено, че събирането/умножаването се прави с редовете на цялата новополучена матрица.

[ганка симеонова]

Гарол, когато търсиш обратната матрица по този метод (метод на Гаус- Жордан), не мисля че е редно да се разместват както редове, така и стълбове.
Ще ти дам алгоритъма с итерации.
ПЪРВА ИТЕРАЦИЯ: Първия ред наричаме ведущ ред, а първия стълб- ведущ стълб, общия им елемент- ведущо число.
Делим ведущия ред на ведущото число, полученото частно се нарича главен ред и се записва като първи ред във втората разширена матрица. Вторият ред на втората разширена матрица се получава, като към втория ред на първата разширена матрица прибавим главния ред умножен на основното число за втория ред с обратен знак [tex](-a_{21}) [/tex]. Останалите редове от втората разширена матрица се получават аналогично.
ВТОРА ИТЕРАЦИЯ: При нея ведущ е вторият ред от втората разширена матрица, а ведущ стълб е вторият и стълб. Общият им елемент е ведущото число за този етап. Главният ред на третата разширена матрица е равен на новия ведущ ред, разделен на ведущото число.Той се записва като втори ред на третата разширена матрица и т.н.
[tex]A^{-1} [/tex] се получава на мястото на Е, когато на мястото на А се е получила Е.

[Garoll]

[Baronov]

Всичките елементарни преобразувания, ( включително и разместването ) които са позволени са умножаване с подходяща матрица отляво. Операциите по редове могат да се реализират по този начин. Операциите по стълбове се реализират с умножение отдясно с подходяща матрица.
Когато търсиш обратна, трябва да си избереш ляво или дясно. Тоест редове или стълбове.

[nikko1]

Според мен не могат да се местят и стълбове, ето ви контрапример:
[tex]A=\left(\begin{array}{rr}1&1\\1&2\end{array}\right)[/tex], за която [tex]A^{-1}=\left(\begin{array}{rr}2&-1\\-1&1\end{array}\right)[/tex]. Сега по Гаус-Жордан:
I. Да сменим стълбовете (правим една и съща смяна и в двете клетки):
[tex]A=\left(\begin{array}{rr}1&1\\1&2\end{array}\ \right|\ \left.\begin{array}{rr}1&0\\0&1\end{array}\right)\sim\left(\begin{array}{rr}1&1\\2&1\end{array}\ \right|\ \left.\begin{array}{rr}0&1\\1&0\end{array}\right)\sim\left(\begin{array}{rr}1&1\\0&-1\end{array}\ \right|\ \left.\begin{array}{rr}0&1\\1&-2\end{array}\right)\sim\left(\begin{array}{rr}1&0\\0&-1\end{array}\ \right|\ \left.\begin{array}{rr}1&-1\\1&-2\end{array}\right)\sim\left(\begin{array}{rr}1&0\\0&1\end{array}\ \right|\ \left.\begin{array}{rr}1&-1\\-1&2\end{array}\right).[/tex]
II. Да сменим стълбовете (неправим същата смяна и във втората клетка):
[tex]A=\left(\begin{array}{rr}1&1\\1&2\end{array}\ \right|\ \left.\begin{array}{rr}1&0\\0&1\end{array}\right)\sim\left(\begin{array}{rr}1&1\\2&1\end{array}\ \right|\ \left.\begin{array}{rr}1&0\\0&1\end{array}\right)\sim\left(\begin{array}{rr}1&1\\0&-1\end{array}\ \right|\ \left.\begin{array}{rr}0&1\\-2&1\end{array}\right)\sim\left(\begin{array}{rr}1&0\\0&-1\end{array}\ \right|\ \left.\begin{array}{rr}-2&2\\-2&1\end{array}\right)\sim\left(\begin{array}{rr}1&0\\0&1\end{array}\ \right|\ \left.\begin{array}{rr}-2&2\\2&-1\end{array}\right).[/tex]