Безкрайно малка геометрична прогресия

[Grievery]

Искам да Ви попитам относно едно от приложенията на безкрайно малката геометрична прогресия, а именно - представяне на безкрайни периодични десетични дроби като обикновени дроби.
Например: [tex]2,(3)=2+\frac{3}{10 } +\frac{3}{100 }+ \frac{3}{1000 }+... [/tex] Всяко събираемо (с изключение на първото) е член на безкрайно малка ГП с първи член [tex]a_1=\frac{3}{10 } [/tex] и разлика [tex]q=\frac{1}{10 } [/tex].
Използвайки формулата за сума на елементите на безкрайна малка ГП и прибавяйки цялата част (в случая - числото 2), получаваме:
[tex]S=2+\frac{a_1}{1-q } =2+\frac{\frac{3}{10 } }{1-\frac{1}{10 } } =2+\frac{\frac{3}{10 } }{\frac{9}{10 } } =2+\frac{1}{3 } =\frac{7}{3 } [/tex]

Въпросът ми е свързан със следния "подобен" пример.
[tex]1,(9)=1+\frac{9}{10 } +\frac{9}{100 } +\frac{9}{1000 } +...[/tex]
[tex]a_1=\frac{9}{10 } [/tex], [tex]q=\frac{1}{10 } [/tex]
[tex]S=1+\frac{a_1}{1-q } =1+\frac{\frac{9}{10 }}{1-\frac{1}{10 } } =1+\frac{\frac{9}{10 }}{\frac{9}{10 } } =1+1=2[/tex]
Да, ама не! Колкото и малка да е разликата, все пак [tex]1,(9)\ne 2[/tex]!!!
Защо се получава така?

[Реклама]

[Baronov]

0,(9) е равно на 1

[ганка симеонова]

[mkmarinov]

[Grievery]

Благодаря много!