Подобни триъгълници

Дефиниция

Два триъгълника са подобни, ако:

1) ако имат равни ъгли т.е.
∠A₁ = ∠A₂, ∠B₁ = ∠B₂ и ∠C₁ = ∠C₂
Достатъчно е два от ъгълите на единия да са равни на 2 от ъглите на другия.

2) отношението между страните е равно т.е.:
$\frac{A_1B_1}{A_2B_2}=\frac{A_1C_1}{A_2C_2}=\frac{B_1C_1}{B_2C_2}$

3) отношението на 2 страни и ъгъла между тях са равни.

Например:
$\frac{B_1A_1}{B_2A_2}=\frac{A_1C_1}{A_2C_2}$ и $\angle A_1 = \angle A_2$
или
$\frac{A_1B_1}{A_2B_2}=\frac{B_1C_1}{B_2C_2}$ и $\angle B_1 = \angle B_2$
или
$\frac{B_1C_1}{B_2C_2}=\frac{C_1A_1}{C_2A_2}$ и $\angle C_1 = \angle C_2$

Относно 1)
За да са подобни 2 триъгълника е достатъчно е да имат по 2 равни ъгъла, защото, ако 2 ъгъла на един триъгълник са равни на 2 ъгъла на другия то третите им ъгли са равни.
(например ∠A₁=∠A₂ и ∠B₁=∠B₂) тъй като ∠C₁ = 180-(A₁+B₁) = 180-(A₂+B₂) = ∠C₂

Означаваме, че 2 триъгълника A₁B₁C₁ и A₂B₂C₂ са подобни по следния начин:

ΔA₁B₁C₁ ~ ΔA₂B₂C₂

Има разлика между подобни и еднакви триъгълници. При еднаквите съответните стани са равни т.е.:

$\frac{A_1B_1}{A_2B_2}=\frac{A_1C_1}{A_2C_2}=\frac{B_1C_1}{B_2C_2}=1$

Следователно всички еднакви триъгълници са подобни, но не всички подобни са еднакви.

Задачи върху подобни триъгълници

Задача 1: Докажете, че триъгълниците от фигурата са подобни.

Решение:
Тъй като дължини на страни на двата триъгълника са известни, второто условие може да се провери:

$\frac{PQ}{AB}=\frac{6}{2}=3$ $\frac{QR}{CB}=\frac{12}{4}=3$ $\frac{PR}{AC}=\frac{15}{5}=3$

Задача 2: Докажете, че двата триъгълника са подобни и изчислете дължините на PQ и PR.

Решение:
∠A = ∠P и ∠B = ∠Q, ∠C = ∠R(защото ∠C = 180 - ∠A - ∠B и ∠R = 180 - ∠P - ∠Q)

Следователно ΔABC ~ ΔPQR от което следва:
$\frac{AB}{PQ}=\frac{BC}{QR}=\frac{AC}{PR}$

$\frac{BC}{QR}=\frac{6}{12}=\frac{AB}{PQ}=\frac{4}{PQ} \Rightarrow PQ=\frac{4\times12}{6} = 8$ и
$\frac{BC}{QR}=\frac{6}{12}=\frac{AC}{PR}=\frac{7}{PR} \Rightarrow PR=\frac{7\times12}{6} = 14$

Задача 3: Намерете дължината на AB.

Решение:

∠ABC = ∠ADE, ∠ACB = ∠AED и ∠A е обща => ΔABC ~ ΔADE.

$\frac{BC}{DE} = \frac{3}{6} = \frac{AB}{AD} = \frac{AB}{AB + BD} = \frac{AB}{AB + 4} = \frac{1}{2} \Rightarrow 2\times AB = AB + 4 \Rightarrow AB = 4$

Задача 4: Намерете дължината на AD (x).

Двата триъгълника ΔABC и ΔCDE са подобни тъй като AB || DE и имат общ ъгъл C.
Единия триълник е мащабиран спрямо другия и нека да го докажем.

AB || DE, CD || AC и BC || EC
∠BAC = ∠EDC и ∠ABC = ∠DEC

От написаното по-горе и общия ъгъл C, следва, че ΔABC и ΔCDE са подобни.

Следователно:
$\frac{DE}{AB} = \frac{7}{11} = \frac{CD}{CA} = \frac{15}{CA} \Rightarrow CA = \frac{15 \times 11}{7} = 23,57$
x = AC - DC = 23,57 - 15 = 8,57

Задачи с практическа насоченост

Задача 5: Във фабрика се използва наклонена транспортна лента, за да се транспортират продуктите от ниво 1 до ниво 2. Ниво 2 е на височина 3 метра спрямо ниво 1. Дадено е и разстоянието от 8 метра както е изобразено на картинката.

Фабриката иска да удължи транспортната лента до ниво 3, което е на височина 9м спрямо ниво 1.

Намерете разстоянията x и y изобразени на чертежа.

Решение:

От направените разсъждения в примерите по-горе заключаваме, че триъгълниците ΔABC и ΔADE са подобни. Следователно:

$\frac{DE}{BC} = \frac{3}{9} = \frac{AD}{AB} = \frac{8}{AB} \Rightarrow AB = \frac{8 \times 9}{3} = 24m$
x = AB - 8 = 24 - 8 = 16m

Следователно, новия пост трябва да бъде поставен на разстояние 16m от съществуващия пост.

Тъй като конструкцията се образува от правоъгълни триъгълници, можем да изчислим разстоянието за пътуване на продукта, както следва:

$AE = \sqrt{AD^2 + DE^2} = \sqrt{8^2 + 3^2} = 8,54m$

По същия начин, $AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{24^2 + 9^2} = 25,63m$
което е разстоянието продукт в момента е пътуване до достигане на съществуващото ниво.

y = AC - AE = 25,63 - 8,54 = 17,09m
което е разстоянието продукт в момента е пътуване до достигане на ново ниво.

Задача 6: Стрив иска да отиде до негов приятел, който се е преместил в нова къща. Картата на маршрюта е изобразена на фигурата по-долу. Помогнете на Стив като определите, кой е най-прекия маршрют.

Решение:

Нека да погледнем картата от гледна точка на гоеметрията.

Забелязваме, че триъгълниците ΔABC и ΔCDE са подобни следователно:
$\frac{AB}{DE} = \frac{BC}{CD} = \frac{AC}{CE}$

От условието на задачата имаме:

AB = 15km, AC = 13,13km, CD = 4,41km и DE = 5km

можем да изчислим следните отсечки:

$BC = \frac{AB \times CD}{DE} = \frac{15 \times 4,41}{5} = 13,23km$
$CE = \frac{AC \times CD}{BC} = \frac{13,13 \times 4,41}{13,23} = 4,38km$

Нека да изчислим дължината на всеки от маршрютите:

A -> B -> C -> E -> G с обща дължина: 7,5+13,23+4,38+2,5=27,61km

F -> B -> C -> D -> G с обща дължина: 7,5+13,23+4,41+2,5=27,64km

F -> A -> C -> E -> G с обща дължина: 7,5+13,13+4,38+2,5=27,51km

F -> A -> C -> D -> G с обща дължина: 7,5+13,13+4,41+2,5=27,54km

Следователно маршрют 3 е най-къс.

Задача 7:
Ивелина иска да изчисли височината на сграда, но няма нужния инструмент. Тя забелязала дърво пред сградата и решила да използва знанията си по геометрия, за да намери височината. Ивелина премерила височината между дървото и сградата - 30 m.
След това застанала пред дървото и започнала да се отдаличава докато успее да види горния ъгъл на сградата през върха на дървото. Маркирала мястото, на което е застанала и след това го измерела - 5 м.

Като имаме в предвид, че височината на дървото е 2,8м. и че височината от земята до нивото на очите на Ивелина е 1,6м. изчислете височината на сградата.

Решение

Геометрично задачата изглежда така:

Първо да докажем подобността на триъгълниците ΔABC и ΔADE.

След това:
$\frac{BC}{DE} = \frac{1,6}{2,8} = \frac{AC}{AE} = \frac{AC}{5 + AC} \Rightarrow 2,8 \times AC = 1,6 \times (5 + AC) = 8 + 1,6 \times AC$

$(2,8 - 1,6) \times AC = 8 \Rightarrow AC = \frac{8}{1,2} = 6,67$

Можем да използваме подобността на триъгълниците ΔACB и ΔAFG или на ΔADE и ΔAFG. Нека да използваме първата възможност.

$\frac{BC}{FG} = \frac{1,6}{H} = \frac{AC}{AG} = \frac{6,67}{6,67 + 5 + 30} = 0,16 \Rightarrow H = \frac{1,6}{0,16} = 10m$

Задачи

Задачи от теорема на Талес