Доказательство Великой теоремы Ферма

[MIMO]

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО BЕЛИКОЙ ТЕОРЕМЫ ФЕРМА
Уравнение Великой теоремы Ферма запишем уравнение следующим образом:
[tex]a^n=(b+x)^n-b^n[/tex] (1)
Здесь: [tex]b,x[/tex] – заданные взаимно простые числа; [tex]b[/tex] – четное число; [tex]x[/tex]- нечетное число; [tex]a[/tex]– если целое, то нечетное число, взаимно простое с числами [tex]b[/tex], [tex](b+x)[/tex]
Для упрощения доказательства рассмотрим частный случай:
[tex]a^3=(b+x)^3-b^3[/tex] (2)
После преобразования уравнения (2) получим:
[tex]a^3=x(3b^2+3bx+x^2)[/tex] (3)
Трехчлен в скобках не делится на число [tex]x[/tex]. Следовательно, если [tex]a[/tex] целое число, то число [tex]a^3[/tex] должно делиться на число [tex]x.[/tex] Это возможно только в том случае, если:
[tex]a=kx[/tex] (4)
Тогда, подставив значение числа [tex]a[/tex] из равенства (4) в формулу (3) и произведя преобразования, получим:
[tex]k^3x^2 =(3b^2+3bx+x^2)[/tex] (5)
Из анализа формулы (5) следует, что трехчлен в скобках не делится на число [tex]x^2[/tex]. Следовательно, формула (5) не является равенством при условии, что выполняется равенство (4), и что число [tex]a[/tex] является целым числом:
[tex]k^3x^2 \ne(3b^2+3bx+x^2)[/tex] (6)
Следовательно, уравнение Великой теоремы Ферма третьей степени не имеет решения в целых числах.
Аналогичным методом выполняется доказательство для любого показателя степени. Таким образом, уравнение Великой теоремы Ферма не имеет решения в целых числах для любой степени.

[va.tlx]

Уважаемый MIMO!
Можно только приветствовать вашу увлеченность такой сложной и красивой задачей, какой является Великая теорема Ферма.
Могу предложить источник, который явно будет полезен в ваших дальнейших исследованиях. Это небольшая, но хорошо и понятно
написанная книжка (Peter Schorer, Is There a 'Simple' Proof of Fermat’s Last Theorem? - 2017) где можно почерпнуть много новых и
свежих идей. Удачи!

[Гость]

Уважаемый va.tlx
если в указанном Вами источнике информации нет доказательства теоремы Ферма, тем более, методами элементарной алгебры, он вряд ли представляет для меня интерес.
Кстати, Вы ничего не сказали о приведенном моем доказательстве.
С уважением МIMO

[va.tlx]

Могу порекомендовать книгу А.Я.Хинчина 'Великая теорема Ферма'. Там он дает полное доказательство Эйлера
для показателя степени 3. Что касается общего доказательства ВТФ, то я таких источников не знаю. Даже
доказательство Эндрю Уайлса, представленное им в 1995 году было доказательством гипотезы Танима-Шимуры.
ВТФ в этой работе является лишь следствием общей темы. Ну, а вашу работу я считаю неплохим началом
для дальнейших исследований. Исправьте ошибки, расширяйте ареал поиска и ВТФ обязательно покорится.
Успеха!

[MIMO]

Исправьте ошибки.

Буду очень признателен, если Вы укажете допущенные мною ошибки.
Это доказательство и приведенное ранее доказательство ВТФ с помощью теоремы Безу являются общими доказательствами ВТФ.
У меня есть и другие общие доказательства ВТФ, т. е. доказательства для любых показателей степени.
В указанной Вами книге приведено доказательство для одного показателя степени так называемым методом спуска.
Сделать из него однозначный вывод нельзя.
Оно имеет предположительный характер.
Уайлс доказал не теорему Ферма, а гипотезу Таниямы-Шимуры.
Нет доказательства, что построенная по уравнению теоремы ферма кривая является эллиптической кривой.
Запишем:
[tex]y^n=a^n-x^n[/tex]
Отсюда:
[tex]y=\sqrt[n]{a^n-x^n}[/tex]
Эта кривая имеет вид параболы, концы которой опираются на оси координат [tex]X-Y[/tex] в точках:
[tex]x=0, y=a[/tex]; [tex]x=a, y=0[/tex]
Это кривая симметрична относительно оси, проходящей через начало координат под углом [tex]45^0[/tex]
И никаких эллипсов!

С уважением MIMO

[Гость]

Уравнение Великой теоремы Ферма запишем уравнение следующим образом:
[tex]a^n=(b+x)^n-b^n[/tex] (1)
Здесь: [tex]b,x[/tex] – заданные взаимно простые числа; [tex]b[/tex] – четное число; [tex]x[/tex]- нечетное число; [tex]a[/tex]– если целое, то нечетное число, взаимно простое с числами [tex]b[/tex], [tex](b+x)[/tex]

Эти утверждения нужно обосновать. Для начала, почему [tex]b[/tex] и [tex]x[/tex] взаимно просты?

[Гость]

Если числа b, x имеют общий делитель, то число a также будет делиться на этот делитель.
Тогда числа a, (b+x), b будут не взаимно простыми, что противоречит условию теоремы Ферма.

[Гость]

Доказательство теоремы можно посмотреть на сайту: http://forum-nauka.ru/domains_data/file ... 20A.B..pdf

[MIMO]

Доказательство теоремы можно посмотреть на сайту: http://forum-nauka.ru/domains_data/file ... 20A.B..pdf

Уважаемый гость,
1. Указанный Вами источник информации вразумительного доказательства теоремы Ферма не содержит.
2, Судя по всему, Вы ничего конкретного о приведенных здесь моих доказательства ВТФ сказать не можете.

[MIMO]

Сообщение удалено

[Гость]

Если ВТФ доказывалась бы вот таким элементарным способом, то вряд ли учёные мучились бы так долго 3 столетий подряд. Конечно же в Вашем доказательстве есть ошибка! Вместо х в самом начале Вам стоило бы написать [tex]x^{3}[/tex], так как разность между z^{3}-y^{3} нам должна дать именно куб (раз идёт речь о кубе). Ведь речь идёт исключительно только о взаимопростых чисел. И вот тогда Ваше доказательство перестанет работать. Вот теперь мы и не получим k^{3} * x^{2} как Вы написали. А получим только k^{3}.

[Гость]

Уважаемый гость!
Моей вины в том, что с 1637 года никто не смог найти элементарное доказательство Великой теоремы Ферма с помощью элементарной математики, нет. Видимо, стремились найти что-то объемное, мудреное, чтобы написать диссертации, получить ученые степени и звания.
Прочитайте внимательно доказательство. В самом начале его сказано, что все числа [tex]a, b, x, (b+x)[/tex] взаимно простые.
Доказательство не содержит логических и математических ошибок.
Ознакомьтесь и с другими приведенными здесь моими доказательствами ВТФ. Особо обращаю Ваше внимание на доказательство с помощью теоремы Безу. Годы жизни Безу 1730-1783.

[Гость]

Конечно же в Вашем доказательстве есть ошибка! Вместо х в самом начале Вам стоило бы написать [tex]x^{3}[/tex], так как разность между z^{3}-y^{3} нам должна дать именно куб (раз идёт речь о кубе). Ведь речь идёт исключительно только о взаимопростых чисел. И вот тогда Ваше доказательство перестанет работать. Вот теперь мы и не получим k^{3} * x^{2} как Вы написали. А получим только k^{3}.

Уважаемый гость!
В моем доказательстве [tex]b, x[/tex] заданные числа. При этом [tex]b[/tex] свободный член, [tex]x[/tex] -переменная величина.
Само собою разумеется, что [tex](b+x)[/tex] переменная величина.
[tex]a[/tex] -искомое число.
Вместо числа [tex]a[/tex] можно написать привычное число [tex]y[/tex]. Получим:
[tex]y^{n}=(b+x)^{n}-b^{n}[/tex].

[Гость]

Уважаемый MIMO, отвечаю на вашу просьбу: Буду очень признателен, если Вы укажете допущенные мною ошибки. Но дальнейшей переписки я не желаю, и опыта такого не имею.

Запишем уравнение Великой теоремы Ферма (a^n + b^n = с^n) следующим образом:
a^n = (〖b+x)〗^n – b^n (1)
Здесь: b, x - заданные взаимно простые числа; b – четное число; x –нечетное число; a – если целое, то
нечетное число, взаимно простое с числами b, (b + x). Последнее предложение эквивалентно утверждению, что c – нечётное число, на что нет никаких оснований.

Для упрощения доказательства рассмотрим частный случай:
a^3 = (〖b+x)〗^3 – b^3 (2)
После преобразования уравнения (2) получим:
a^3 = x(3b^2 + 3bx + x^2) (3)
Трехчлен в скобках не делится на число x. Следовательно, если a целое число, то число a^3 должно делиться на число x. Это возможно только в том случае, если:
a = kx (4)
Последнее уравнение ошибочно, следует записать a^3= kx (из того, что a^3 делится на x, не следует, что a делится на x, ибо x не есть простое число). Тогда как первое необоснованное утверждение можно принять как анализ частного случая (c – нечётно), то вторая ошибка делает ошибочными дальнейшие рассуждения.
Тогда, подставив значение числа а из равенства (4) в формулу (3) и произведя преобразования, получим:
k^3 x^2 = (3b^2 + 3bx + x^2) (5)
Из анализа формулы (5) следует, что трехчлен в скобках не делится на число x^2 . Следовательно, формула (5) не является равенством при условии, что выполняется равенство (4), и что число a
является целым числом:
k^3 x^2 = (3b^2 + 3bx + x^2) (6)
Следовательно, уравнение Великой теоремы Ферма третьей степени не имеет решения в целых числах.

Аналогичным методом выполняется доказательство для любого показателя степени.
Таким образом, уравнение Великой теоремы Ферма не имеет решения в целых числах для любой степени.

[Гость]

Все не так просто. Я занимался этим вопросом более 30 лет и у вас первое - не определено какой член делится на 3, второе - если перевести ваше уравнение на традиционное, то будем иметь : x^3+y^3=(y+n)^3. И здесь n=z-y. Здесь z=y+n. Причем n=a^3, при условии, что мы приняли у делится на 3.
И x=abc + a^3.
А если бы приняли, что х делится на три, то написать должны : x=abc + a^3/3 ( число а в кубе деленное на три.).
Подставим и увидим, что не все так просто и что вы ошибаетесь.
Я сидел на форуме dxdy под НИКом Гаджимурат. С огромным уважением коллега и извини, я работал с другой программой для написания формул.
Моя почта. korovinva@yandex.ru
Пишите, отвечу!!.

[Гость]

Hello friends,

I've published preprint in ResearchGate.net:
https://www.researchgate.net/publication/342624684_APPLICATION_OF_THE_FERMAT%27S_THEOREM_FOR_PRACTICAL_PROBLEMS_SOLUTION_IN_BIOLOGY_Article_is_under_consideration_for_IJB
​Please, write me to my email id:
smlk03@mail.ru

Best regards,

Sergey Klykov,PhD

[Гость]

А на русском языке сказать все это можете?

[Гость]

сильно в доказательстве не копался, но...

действительно

[tex]НОД(b,c) = 1[/tex]
[tex]c = b + x[/tex]
[tex]НОД(b, x) = 1[/tex]

автор только рассмотрел почему-то частный случай нечётного b, осталось рассмотреть случай чётного b и x = 1, при которых

[tex]a^{3 } = 3 b^{2 } + 3b + 1[/tex]

[Гость]

\begin{document}

\title{Доказательство Великой теоремы Ферма}
\author{Ремизов Вадим Григорьевич, Ремизов Константин Вадимович}
\maketitle

\noindent {$\textsl{\textbf{Аннотация: }}$


Доказательство Великой теоремы Ферма основано на свойствах экстремумов периодических, непрерывных и гладких функций, у которых в точках экстремумов \textbf{\textit{функции экстремумов}} являются непрерывными функциями. В точках, в которых \textbf{\textit{функции экстремумов}} имеют разрывы, непрерывная и гладкая функция не может иметь экстремумы. Разрывы \textbf{\textit{функций экстремумов}} в точках являются необходимыми условиями отсутствия экстремумов у непрерывных и гладких функций в указанных точках.
Определены новые математические понятия - \textbf{\textit{функции экстремумов}} в точках экстремумов и \textbf{\textit{разрывы функций третьего рода}} в точках экстремумов. Установлена прямая связь целочисленной математики с математикой периодических, непрерывных и гладких функций. Теорема Ферма доказана новым методом доказательства неразрешимости диофантовых уравнений в целых числах. Указанным методом может быть доказана гипотеза Била. Суть метода доказательства неразрешимости диофантовых уравнений в целых числах понятна школьникам.

\noindent {$\textsl{\textbf{Ключевые слова: }}$
Периодические, непрерывные и гладкие функции; разрывы функций; экстремумы и минимумы функций; необходимые условия существования экстремумов функций; диофантовы уравнения; Великая теорема Ферма.

\noindent {$\textsl{\textbf{Abstract: }}$
The proof of Fermat's Great Theorem is based on the properties of the extrema of periodic, continuous and smooth functions, in which at the extremum points \textbf{\textit{extremum functions}} are continuous functions. At points where \textbf{\textit{extremum functions}} have discontinuities, a continuous and smooth function cannot have extremes. Discontinuities of \textbf{\textit{extremum functions}} at points are necessary conditions for the absence of extremes for continuous and smooth functions at these points.
New mathematical concepts are defined - \textbf{\textit{extremum functions}} at extremum points and \textbf{\textit{discontinuities of functions of the third kind}} at extremum points. A direct connection between integer mathematics and the mathematics of periodic, continuous and smooth functions has been established. Fermat's theorem is proved by a new method of proving the unsolvability of Diophantine equations in integers. By this method, Beale's conjecture can be proved. The essence of the method of proving the unsolvability of Diophantine equations in integers is clear to schoolchildren.

\noindent {$\textsl{\textbf{Keywords: }}$
Periodic, continuous and smooth functions; function breaks; extrema and minima of functions; necessary conditions for the existence of extrema of functions; Diophantine equations; Fermat's Great Theorem.

\noindent {$\textbf{УДК 510; 511; 517}$}\\
$\textbf{MSC 26B05, 46N10, 11D41}$}

\textbf{Доказательство неразрешимости диофантовых уравнений в целых числах (доказательство Великой теоремы Ферма) основано на свойствах экстремумов непрерывных и гладких функций} [1, 93 – 161 c, 197 – 222 c], у которых в точках экстремумов \textbf{\textit{функции экстремумов}} являются непрерывными функциями. В точках, в которых \textbf{\textit{функции экстремумов}} имеют разрывы, непрерывная и гладкая функция не может иметь экстремумы. Разрывы \textbf{\textit{функций экстремумов}} в точках являются необходимыми условиями отсутствия экстремумов у непрерывных и гладких функций в указанных точках.

В отличие от методов теории чисел, используемых для решения диофантовых уравнений, при доказательстве теоремы Ферма парадоксально использован аппарат математического анализа непрерывных и гладких функций, который, как может показаться, не применим к задачам теории чисел. Для доказательства Великой теоремы Ферма (ВТФ) использован новый метод доказательства неразрешимости диофантовых уравнений в целых числах. При использовании нового метода задача нахождения целочисленных решений диофантова уравнения Ферма заменена эквивалентной задачей нахождения при $a=1$ нулевых локальных минимумов неотрицательной, периодической, непрерывной и гладкой функции.

В новом методе доказательства неразрешимости диофантовых уравнений в целых числах определены новые математические понятия - \textbf{\textit{функции экстремумов}} в точках экстремумов и \textbf{\textit{разрывы функций третьего рода}} в точках экстремумов.

Условия равенства нулю частных производных по независимым координатам $x$ и $y$ называются необходимыми условиями существования экстремумов непрерывных и гладких функций. Необходимые условия существования экстремумов функций, содержащие четыре переменные $x, y, n, a$, (если они удовлетворяются) представляют собой неявные уравнения, которые определяют \textbf{\textit{неявные функции необходимых условий}}, содержащие четыре переменные $x, y, n, a$. Если в этой неявной функции четырех переменных зафиксировать координаты точки экстремума $x, y$, то получим \textbf{\textit{функцию экстремумов}} двух переменных $n, a$ в точке экстремума с координатами $x, y$, то есть получим функцию переменной $n$ в зависимости от переменной $a$ в точке экстремума функции (2) с координатами $x, y$.

$\textbf{Под непрерывными функциями}$ понимаются функции, которые изменяются без мгновенных «скачков» (называемых разрывами), то есть такие функции, у которых малые изменения аргументов и параметров приводят к малым изменениям значений функции. Функция непрерывна в точке, если она определена в окрестности этой точки, и если существует предел функции при стремлении к этой точке и этот предел равен значению функции в этой точке. Непрерывные функции непрерывны во всех точках области определения функции. Другими словами непрерывная функция – это функция, которая изменяется непрерывно при изменении переменных и параметров.

\textbf{Под гладкими функциями} понимаются функции, имеющие непрерывные частные производные всех порядков на всем множестве их определения.

Функция непрерывна в точке, если она не имеет разрывов в указанной точке. \textbf{Точкой разрыва функции} называется точка, в которой функция не является непрерывной. Это означает, что в этой точке функция может иметь различные значения или не иметь значения вовсе. \textbf{Точка разрыва функции}} – это значение аргумента, при котором функция не определена или ее значение не является конечным.

Известны два рода разрывов функции в точке. \textbf{Точка неустранимого (конечного) разрыва первого рода}. Если в точке существуют конечные пределы, то точка называется \textbf{точкой разрыва первого рода}. Существуют левый и правый пределы, но они различны (не равны). Функцию невозможно доопределить. Разность пределов называется скачком функции в точке разрыва. \textbf{Точка устранимого разрыва первого рода}. В точке значение функции не определено, но существуют левый и правый пределы, которые равны. Функцию можно доопределить в этой точке значением предела и сделать функцию непрерывной (устранить разрыв). \textbf{Точкой разрыва второго рода} называется точка, в которой функция не имеет, хотя бы, одного из односторонних пределов или хотя бы один из них бесконечен.

Другими словами, \textbf{функция называется непрерывной в точке}, если: 1) функция определена в точке; 2) существует конечный предел функции в точке; 3) этот предел равен значению функции в точке. Точка, в которой нарушено хотя бы одно из трех перечисленных условий непрерывности функций, называется \textbf{точкой разрыва функции} [1, 98 – 106 c.].

У непрерывных и гладких функций при изменении параметров положение экстремумов изменяется непрерывным образом. Обычно под прерывностью (разрывностью) функций понимается скачкообразное изменение значений функции в точке. Однако имеют место и разрывы функций третьего рода, под которыми понимается скачкообразное изменение положения экстремума, то есть скачкообразное изменение координат точек экстремумов, другими словами под разрывом функций третьего рода понимается исчезновение экстремума в точке экстремума. Такой разрыв для непрерывных и гладких функций не может иметь места. Такой разрыв может иметь место только, когда \textbf{\textit{функции необходимых условий}} и \textbf{\textit{функции экстремумов}} в точках экстремумов имеют разрывы. Поэтому у непрерывных и гладких функций в точках экстремумов \textbf{\textit{функции необходимых условий}} и \textbf{\textit{функции экстремумов}} непрерывны!

Непрерывные и гладкие функции не должны иметь разрывов первого и второго рода во всех точках области определения, а точках экстремумов и разрывов третьего рода.

Из определения непрерывной и гладкой функции следует непрерывность изменения координат точек экстремумов. Разрывность (не непрерывность) координат точек экстремумов эквивалентна разрывности третьего рода. У непрерывной и гладкой функции скачкообразное изменение положения экстремума функции или исчезновению экстремума в точке экстремума невозможно. Поэтому, для того, чтобы координаты точек экстремумов были непрерывными функциями необходимо и достаточно, чтобы \textbf{\textit{функции необходимых условий}} и \textbf{\textit{функции экстремумов}} в точках экстремумов функции были непрерывными!

\textbf{При непрерывном изменении параметров} непрерывной и гладкой функции, координаты точек локальных экстремумов $x, y$ непрерывной и гладкой функции и значения самой функции изменяются непрерывным образом, то есть непрерывность координат точек экстремумов при непрерывном изменении параметров является следствием непрерывности самой непрерывной и гладкой функции. Скачкообразное изменение координат точек экстремумов непрерывной и гладкой функции приводит к исчезновению экстремума в точке экстремума, что равносильно разрывности третьего рода непрерывной и гладкой функции, что для непрерывной и гладкой функции невозможно.


$\textbf{Теорема Ферма}$ утверждает, что диофантово уравнение Ферма (1) не имеет решений в целых ненулевых числах $x, y, z, n$ при целом $n>2$ [2, 78 – 95 p.].
$$x^n + y^n = z^n. \eqno (1)$$
Будем натуральные числа $x, y, z, n$, которые удовлетворяют диофантову уравнению Ферма (1), называть корнями диофантова уравнения Ферма.

$\textbf{Следует заметить, что}$
\\$\textbf{-- если}$ $n=1$, то нелинейное диофантово уравнение (1) вырождается в линейное диофантово уравнение $z=x+y$, которое имеет целочисленные решения при любых целых $x$ и $y$;
\\$\textbf{-- если}$ $x=y$, то диофантово нелинейное уравнение Ферма (1) с двумя независимыми переменными вырождается в линейное диофонтово уравнение $z=x\sqrt[n]{2}$ с одной независимой переменной, которое не имеет целочисленных решений. Поэтому целочисленные решения уравнения Ферма (1) будем искать во множестве различных целых $x$ и $y$;
\\$\textbf{-- если}$ $n=2$, то диофантово уравнение Ферма (1) разрешимо в целых числах, а его решениями являются Пифагоровы тройки.
\\$\textbf{-- если}$ $n>2$, то требуется доказать, что диофантово уравнение Ферма (1) не имеет целочисленных решений.

\textbf{Для доказательства теоремы Ферма надо рассмотреть вещественную, неотрицательную, периодическую, непрерывную и гладкую функцию (2), соответствующую диофантову уравнению Ферма (1)}
$$f(x,y) = \sin^2(\pi a z) + \sin^2(\pi a x) + \sin^2(\pi a y) + \sin^2(\pi n). \eqno (2)$$
\noindent {где зависимая переменная $z$ определяется зависимостью
$$z = \sqrt[n]{x^n + y^n}. \eqno (3)$$
В функции (2) $x, y \in (0,+\infty)$ – положительные вещественные переменные, $n \in [1,+\infty)$ – положительный вещественный параметр, $a$ – вещественный параметр с областью определения в точке $a = 1$ и ее ближайшей окрестности, где $n=n(a)>0$. Вещественные параметры $n$ и $a$ могут рассматриваться и как переменные.

Очевидно, что при $a=1$ только целые значения $x, y, z$ и $n$ (корни диофантова уравнения Ферма) обращают функцию (2) в ноль и поэтому только корни диофантова уравнения Ферма (1) при $a=1$ доставляют вещественной, неотрицательной, периодической, непрерывной и гладкой функции (2) нулевые локальные минимумы. Справедливо и обратное утверждение, что только целые значения переменных $x, y, z$ и $n$ , которые при $a=1$ доставляют функции (2) нулевые локальные минимумы, являются корнями диофантова уравнения Ферма (1). Задача нахождения целочисленных решений диафонтова уравнения Ферма (1) и задача определения при $a=1$ координат нулевых локальных минимумов неотрицательной, периодической, непрерывной и гладкой функции (2) являются эквивалентными, поскольку указанные задачи имеют одно и то же решение. Таким образом, установлена прямая связь между целочисленной математикой и математикой периодических, непрерывных и гладких функций!

Поэтому доказательство разрешимости диофантова уравнения Ферма (1) в целых числах сводится к доказательству наличия у периодической, непрерывной и гладкой функции (2) нулевых локальных минимумов в точках с целыми координатами $x, y$ при целом $n>2$ и $a=1$, а доказательство неразрешимости диофантова уравнения Ферма (1) в целых числах сводится к доказательству отсутствия у периодической, непрерывной и гладкой функции (2) нулевых локальных минимумов в точках с целыми координатами $x, y$ при целом $n>2$ и $a=1$.

Таким образом, для доказательства теоремы Ферма необходимо исследовать необходимые условия существования экстремумов вещественной, неотрицательной, периодической, непрерывной и гладкой функции (2).
Для неотрицательной, непрерывной и гладкой функции (2) в точках нулевых локальных минимумов необходимые условия существования экстремумов функции (2) являются и достаточными.

\textbf{Запишем необходимые условия существования экстремумов функции (2) в произвольной точке с координатами $x$ и $y$}
$$\frac{\partial f(x,y)}{\partial x} = \pi a x^{n-1} z^{1-n} \sin(2\pi a z) + \pi a \sin(2\pi a x) = 0, \eqno (4)$$
$$\frac{\partial f(x,y)}{\partial y} = \pi a y^{n-1} z^{1-n} \sin(2\pi a z) + \pi a \sin(2\pi a y) = 0, \eqno (5)$$
\noindent {где $z$ определяется зависимостью (3)}.

\textbf{Из уравнений (4) и (5) с помощью эквивалентных преобразований можно исключить зависимую переменную $z$ и получить еще одно необходимое условие существования экстремумов (6) непрерывной и гладкой функции (2)}.
$$ y^{n-1} \sin(2\pi a x) - x^{n-1}\sin(2\pi a y) = 0. \eqno (6)$$
Полученное необходимое условие существования экстремумов (6) содержит только независимые переменные $x$ и $y$, поэтому оно будет удовлетворяться при $a=1$ и любых различных целых $x$ и $y$, в то время как условия (4) и (5) при $a=1$ могут удовлетворяться только, когда при заданных целых $x, y$ и $n$ зависимая переменная $z$ будет целой.

Таким образом, для определения координат точек экстремумов (нулевых локальных минимумов) функции (2) имеем любые два уравнения из трех уравнений (4), (5) и (6) с четырьмя неизвестными $x, y, n, a$.

Необходимые условия существования экстремумов (4), (5) и (6) функции (2) можно записать и в таком виде
$$-\frac{sin(2\pi a z)}{ z^{n-1}} = \frac{sin(2\pi a x)}{ x^{n-1}}) =\frac{sin(2\pi a y)}{ y^{n-1}}. \eqno (4-5-6)$$

Необходимые условия существования экстремумов функции (2) в точках экстремумов (условия равенства нулю производных по независимым переменным), если они удовлетворяются и содержат четыре неизвестные $x, y, n, a$, являются неявными уравнениями, решениями которых являются явные и неявные функции, которые будем называть \textbf{\textit{функциями необходимых условий}}. У непрерывной и гладкой функции (2) в точках экстремумов \textbf{\textit{функции необходимых условий}} являются непрерывными функциями.

В случае доказательства теоремы Ферма, уравнения (4), (5), (6) и \textbf{\textit{функции необходимых условий} содержат четыре неизвестные $x, y, n, a$, которые можно рассматривать как четыре координаты точки экстремума функции (2) в гиперплоскости $X0Y$. Из неявных уравнений можно в явном виде выразить одну неизвестную через оставшиеся три неизвестные (получить в явном виде \textbf{\textit{функцию необходимых условий}), например, параметр $n$ записать как функцию трех переменных $x, y, a$, и получить явную функцию $n=\omega(x,y,a)$. Здесь $n$ является функцией трех аргументов $x,y,a$. Полученную \textbf{\textit{функцию необходимых условий}} можно трактовать как множество функций $n=n(a)$ в различных точках экстремумов функции (2) с координатами $x$ и $y$. Если зафиксировать координаты $x, y$ точки экстремума функции (2), то получим функцию $n=n(a)$ (зависимость параметра $n$ от параметра $a$) в точке экстремума с фиксированными координатами $x$ и $y$. Функции $n=n(a)$ в точках экстремумов функции (2) с фиксированными координатами $x$ и $y$ будем называть \textbf{\textit{функциями экстремумов}} в точках экстремумов. Для неявного уравнения (6) в точках экстремумов с целыми координатами $x_o$ и $y_o$ \textbf{\textit{функция экстремумов}} может быть записана в виде (7). У непрерывной и гладкой функции (2) \textbf{\textit{функции экстремумов}} в точках экстремумов не имеют разрывов и являются непрерывными функциями. Поэтому непрерывность \textbf{\textit{функций экстремумов}} в точке является необходимым условием существования экстремума у непрерывной и гладкой функции в указанной точке.

В точках, в которых \textbf{\textit{функции экстремумов}} имеют разрывы, непрерывная и гладкая функция не может иметь экстремумы. Поэтому наличие разрывов у \textbf{функции экстремумов}} в точке является необходимым условием отсутствия экстремумов у непрерывных и гладких функций в указанной точке. Поэтому, чтобы ответить на вопрос может ли непрерывная и гладкая функция иметь экстремум в точке, необходимо исследовать на непрерывность \textbf{\textit{функцию экстремума}} в указанной точке.

Таким образом, если в какой-либо точке \textbf{\textit{функция экстремума}} является непрерывной функцией и не имеет разрывов, то непрерывная и гладкая функция (2) в этой точке может иметь экстремум (нулевой локальный минимум) - это необходимое условие существования экстремума у непрерывной и гладкой функции (2) в указанной точке. А если в какой либо точке \textbf{\textit{функция экстремума}} имеет разрывы, то непрерывная и гладкая функция (2) в этой точке не может иметь экстремум (нулевой локальный минимум) – это необходимое условие отсутствия экстремума у непрерывной и гладкой функции (2) в указанной точке.

\textbf{Наличие разрывов} у \textbf{\textit{функций экстремумов}} в точках с целыми координатами является необходимым условием отсутствия нулевых локальных минимумов у периодической, непрерывной и гладкой функции (2) в точках с целыми координатами $x_o$ и $y_o$.

Следует заметить, что случаи, когда при заданных целых $x, y, n$ зависимая переменная $z$ является целой и не является целой, должны рассматриваться отдельно.

Алгоритм доказательства разрешимости (неразрешимости) в целых числах диофантовых уравнений состоит в следующем:
\begin{enumerate}

\item $\textbf{ Задаться}$ значением параметра $n$, проверяемым на неразрешимость диофантова уравнения, и значениями целых координат $x_o$ и $y_o$ произвольной точки экстремума функции (2), и вычислить значение зависимой переменной $z$ по формуле (3).

\item \textbf{Если зависимая переменная $z$ окажется целой}, то получено целочисленное решение диофантова уравнения Ферма (1), то есть доказано, что диофантово уравнение Ферма (1) имеет целочисленные решения. В этом случае уравнения (4) и (5) удовлетворяются, функция (2) имеет нулевой локальный минимум, уравнение (6) не определяет \textbf{\textit{функцию экстремума}}, поскольку уравнение (6) эквивалентно системе двух независимых уравнений $sin(2\pi a x)=sin(2\pi a y)=0$, которые не являются неявными уравнениями, определяющими \textbf{\textit{функции экстремумов}}, поскольку содержат менее четырех неизвестных, поэтому нет \textbf{\textit{функций экстремумов}}, которые можно было бы исследовать на непрерывность. Установлена разрешимость диофантова уравнения в целых числах, и что новый метод доказательства неразрешимости диофантовых уравнений в этом случае не может быть применен!

\item \textbf{Если зависимая переменная $z$ окажется нецелой}, то уравнения (4) и (5) не удовлетворяются, поэтому в точке с координатами $x_o$ и $y_o$ функция (2) при $a=1$ не будет иметь нулевого локального минимума. А вопрос о наличии нулевых локальных минимумов у функции (2) в других точках экстремумов с целыми координатами остается открытым. Для того, чтобы ответить на этот вопрос надо исследовать на непрерывность \textbf{\textit{функции экстремумов}} в точках экстремумов функции (2) с целыми координатами $x_o$ и $y_o$ при $a=1$, то есть применить новый метод доказательства неразрешимости диофантовых уравнений в целых числах. В этом случае, уравнение (6) $\sin(2\pi a x)/ x^{n-1} = \sin(2\pi a y)/y^{n-1} <> 0$ будет являться неявным уравнением, которое будет определять\textbf{\textit{ функции экстремумов}}. Если \textbf{\textit{функции экстремумов}} $n=n(a)$ при $a=1$ в точках экстремумов с целыми координатами $x_o$ и $y_o$ будут непрерывными, то функция (2) будет иметь в других точках нулевые локальные минимумы, то есть диофантово уравнение имеет целочисленные решения, а если \textbf{\textit{функции экстремумов}} $n=n(a)$ в точках экстремумов с целыми координатами $x_o$ и $y_o$ при $a=1$ будут иметь разрывы, то функция (2) в других точках не будет иметь нулевые локальные минимумы, а диофантово уравнение не будет иметь целочисленные решения.

\end{enumerate}

Сначала рассмотрим случай, когда при заданных целых $x, y, n$ зависимая переменная $z$ не является целой.

Когда диофантово уравнение Ферма (1) не имеет целочисленных решений, то при целых $x, y, n$ переменная $z$ не будет целой, а поэтому при $a=1$ и целых $x, y, n$ неявные уравнения (4) и (5) не будут удовлетворяться, и поэтому эти уравнения не определяют \textbf{\textit{функции экстремумов}}, которые можно было бы исследовать на непрерывность.

Исследовать на непрерывность можно только \textbf{\textit{функции экстремумов}}, которые определяются только неявным уравнением (6), которое удовлетворяется при любых целых $x, y, n$ и $a=1$. Необходимое условие существования экстремумов (6) функции (2) является неявным уравнением, решением которого является \textbf{\textit{функция экстремумов}} (7) $n=n(a)$ в точках экстремумов с фиксированными целыми координатами $x_o$ и $y_o$.

\textbf{Выразим из неявного уравнения (6)} \textbf{\textit{функцию экстремума}} (7) $n=n(a)$ в произвольной точке экстремума с целыми фиксированными координатами $x_o$ и $y_o$
$$ n=1 + \frac{\ln \left(\frac{\sin(2\pi a y_o) }{\sin(2\pi a x_o) } \right)} {\ln \left( \frac{y_o}{x_o} \right)}. \eqno (7)$$
На Figure 1 и FIgure 2 показаны \textbf{\textit{функции экстремумов}} $n=n(a)$ и график минимумов функции (2) $f_{min}$ в окрестности точки $a=1$.

\begin{figure}[h!]
\centering
\includegraphics[width=0.80\linewidth]{Fig.1r}
\caption{\textbf{\textit{Функции экстремумов}} $n(a)$ при фиксированных $x_o$ и $y_o$.}
\label{Fig.1r}
\end{figure}

\begin{figure}[h!]
\centering
\includegraphics[width=1.05\linewidth]{Fig.2r}
\caption{\textbf{\textit{Функция экстремумов}} $n=n(a)$ $(A-B-C-B-D)$ при фиксированных $x_o=3$ и $y_o=4$ и график минимума функции (2) $f_{min}$
$(M_1-M_2-M_3-M_4-M_5)$ в зависимости от значений параметра $a$ в окрестности точки $a=1$.}
\label{Fig.2r}
\end{figure}

\textbf{\textit{Функция экстремумов}} (7) в точке $a=1$ неопределенна, в числителе дроби имеет место неопределенность типа 0/0. Чтобы \textbf{\textit{функция экстремумов}} (7) $n=n(a)$ была эквивалентна (соответствовала) непрерывной и гладкой функции (2) и диофантову уравнению Ферма (1), ее в точке $a=1$ надо доопределить значением $n$, равным значению $n$ в диофантовом уравнении Ферма (1) и в непрерывной и гладкой функции (2).

Исследуем на непрерывность \textbf{\textit{функцию экстремума}} (7) $n=n(a)$ в произвольной точке экстремума функции (2) с различными фиксированными целыми координатами $x_o$ и $y_o$ при $a=1$.

Для того, чтобы установить, является ли \textbf{\textit{функция экстремумов}} (7) $n=n(a)$ непрерывной в точке $a=1$, надо установить предел, к которому стремится \textbf{\textit{функция экстремумов}} (7) $n=n(a)$ при стремлении $a\to 1$. Вычислим этот предел по правилу Лопиталя.
$$ n=1 + \frac{ \ln \left( \lim\limits_{a \to 1 } \frac{\sin(2\pi a y_o) }{\sin(2\pi a x_o) } \right) } {\ln \left( \frac{y_o}{x_o} \right)}=1+\frac {\ln \left( \frac{y_o}{x_o} \right)} {\ln \left( \frac{y_o}{x_o} \right)}=2. \eqno (8)$$
Из уравнения (8) следует, что при различных целых координатах точек экстремумов $x_o$ и $y_o$ функции (2) уравнение (8) имеет единственное решение $n=2$.

\textbf{Установим целые значения параметра} $n$, при которых \textbf{\textit{функция экстремумов}} (7) $n=n(a)$ при $a = 1$ в произвольной фиксированной точке экстремума с целыми координатами $x_o$ и $y_o$ будет иметь разрыв, а непрерывная и гладкая функция (2) в указанной точке при $a = 1$ не будет иметь нулевого локального минимума.

Если в диофантовом уравнении Ферма (1) и в \textbf{\textit{функции экстремумов}} (7) при $a=1$ значение $n=2$, то \textbf{\textit{функция экстремумов}} (7) $n=n(a)$ будет непрерывной, а если в диофантовом уравнении Ферма (1) и в \textbf{\textit{функции экстремумов}} (7) при $a=1$ значение $n>2$, то \textbf{\textit{функция экстремумов}} (7) $n=n(a)$ будет иметь разрыв в точке $a=1$.

Поскольку мы рассматривали условия непрерывности \textbf{\textit{функции экстремумов}} (7) $n=n(a)$ в произвольной точке экстремума с целыми, различными координатами $x_o$ и $y_o$, то полученные выводы будут справедливы при $a=1$ для всех точек экстремумов функции (2) с целыми различными координатами $x_o$ и $y_o$. Откуда следует, что непрерывная и гладкая функция (2) при целом $n>2$ и $a=1$ не будет иметь нулевых локальных минимумов, а диофантово уравнение Ферма (1) не будет иметь целочисленных решений при $n>2$. Функция (2) может иметь нулевые локальные минимумы при $a=1$ и диофантово уравнение Ферма (1) целочисленные решения только при значении $n=2$.

Полученный вывод не находятся в противоречии с тем, что диофантово уравнение Ферма (1) имеет решения и при $n=1$, поскольку указанный вывод был получен для случая, когда зависимая переменная $z$ была нецелой. Чтобы разобраться в этом вопросе, надо рассмотреть случай, когда зависимая переменная $z$ является целой. И так, зависимая переменная $z$ является целой.

В этом случае необходимые условия существования экстремумов (4) и (5) удовлетворяются, что свидетельствует о том, что функция (2) при $a=1, n=1$ и целых $x, y, z$ имеет нулевой локальный минимум, а диофантово уравнение Ферма (1) имеет целочисленные решения. Так в чем проблема? А проблема в том, что в этом случае решение системы уравнений (4), (5) и (6) эквивалентно системе трех независимых уравнений (9), которые не являются неявными уравнениями, поскольку содержат менее четырех неизвестных, и которые не определяют \textbf{\textit{функции экстремумов}}, которые могли бы исследоваться на непрерывность!
$${sin(2\pi a z)} = {sin(2\pi a x)} ={sin(2\pi a y)}=0. \eqno (9)$$
В этом случае уравнение (6) эквивалентно системе двух независимых уравнений $sin(2\pi a x)=sin(2\pi a y)=0$. которые не являются неявными уравнениями (поскольку содержат менее четырех неизвестных), определяющими неявные функции в точках экстремумов. Поэтому уравнение (6) не является неявным уравнением, которое бы определяло \textbf{\textit{функцию экстремумов}}, которую можно было бы исследовать на непрерывность в точках экстремумов.

Таким образом, показали, что при $n=1$, когда зависимая переменная $z$ является целой при любых целых $x, y$, невозможно определение \textbf{\textit{функций экстремумов}} $n=n(a)$ для их исследования на непрерывность в точках экстремумов, и поэтому новый метод доказательства неразрешимости диофантовых уравнений не применим.

Следует подчеркнуть, что новый метод доказательства неразрешимости диофантовых уравнений в целых числах применим только в случаях, когда зависимая переменная $z$ \textbf{не является целой}, и не применим, когда зависимая переменная $z$ \textbf{является целой}.

ТАКИМ ОБРАЗОМ, ТЕОРЕМА ФЕРМА ДОКАЗАНА. И доказана с помощью математического анализа экстремумов периодических, непрерывных и гладких функций.

Теперь рассмотрим примеры применения нового метода доказательства неразрешимости диофантовых уравнений в целых числах в некоторых частных случаях, для чего надо задаться целыми координатами экстремума $x_o$ и $y_o$ и проверяемым значением параметра $n$ и вычислить значение зависимой переменной $z$. Новый метод доказательства неразрешимости диофантовых уравнений может применяться, если зависимая переменная $z$ является нецелой, и не может применяться, когда зависимая переменная $z$ является целой, потому что в этом случае нельзя получить \textbf{\textit{функции экстремумов}}, которые следует исследовать в точках экстремумов на непрерывность.

\textbf{Случай I}, когда $n=2, x=3, y=4$. В этом случае $z= \sqrt{3^2+4^2}=5$ - целое. В этом случае необходимые условия существования экстремумов (4) и (5) удовлетворяются, функция (2) в этой точке при $a=1$ имеет нулевой локальный минимум, а $n=2, x=3, y=4, z=5$ - целочисленное решение диофантова уравнения Ферма. Уравнение (6) $sin(2\pi a x) = sin(2\pi a y)=0$ не является неявным уравнением и не определяет \textbf{\textit{функции экстремумов}}, поэтому новый метод решения диофантовых уравнений не применим!

\textbf{Случай II}, когда $n=2, x=3, y=5$. В этом случае $z= \sqrt{3^2+5^2}=5,83$ - нецелое. В этом случае необходимые условия существования экстремумов (4) и (5) не удовлетворяются! В этой точке функция (2) при $a=1$ не имеет нулевого локального минимума. Вопрос о существовании целочисленных решений у функции (2) в других точках экстремумов при $a = 1$ и $n = 2$ остается открытым. Для его решения надо исследовать на непрерывность в точке экстремума \textbf{\textit{функцию экстремумов}} (7) $n=n(a)$, определяемую неявным уравнением (6) $y^{n-1} sin(2\pi a x) = x^{n-1} sin(2\pi a y)$. В этом случае заданное значение $n=2$ совпадает с пределом \textbf{\textit{функции экстремумов}} (8), поэтому \textbf{\textit{функция экстремумов}} в точке $a=1$ непрерывна, и поэтому при $a=1$ функция (2) при $n=2$ \textbf{может иметь} нулевые локальные минимумы, а диофантово уравнение Ферма (1) целочисленные решения!

\textbf{Случай III}, когда $n=3, x=3, y=4$. В этом случае $z= \sqrt[3]{3^3+4^3}=4,5$ - нецелое. В этом случае необходимые условия существования экстремумов (4) и (5) не удовлетворяются! В этой точке функция (2) при $a=1$ не имеет нулевого локального минимума. Вопрос о существовании нулевых локальных минимумов у функции (2) в других точках экстремумов при $a = 1$ и $n = 3$ остается открытым. Для его решения надо исследовать на непрерывность в точке экстремума \textbf{\textit{функцию экстремумов }} (7) $n=n(a)$, определяемую неявным уравнением (6) $y^{n-1} sin(2\pi a x) = x^{n-1} sin(2\pi a y$). В этом случае заданное значение $n=3$ не совпадает с пределом \textbf{\textit{функции экстремумов}} (8), равным $n=2$, поэтому \textbf{\textit{функция экстремумов}} в точке $a=1$ имеет разрыв, и поэтому при $a=1$ функция (2) при $n=3$ \textbf{не может иметь} нулевых локальных минимумов, а диофантово уравнение Ферма (1) целочисленные решения!

\textbf{Контрпример}. Этот контрпример мои оппоненты приводят для доказательства ошибочности нашего доказательства Великой теоремы Ферма. Они утверждают, что диофантово уравнение $z = x^n + y^n$, очевидно, имеет целочисленные решения при любых целых $x, y$ и $n$. А использование нового метода доказательства неразрешимости диофантовых уравнений дает противоположный результат, что это диофантово уравнение не имеет целочисленных решений при целых $n>2$. Ответ простой - при любых целых $x, y$ и $n$ переменная $z$ целая, поэтому условия (4) и (5) удовлетворяются, и поэтому диофантово уравнение имеет целочисленные решения, в то время как новый метод решения диофантовых уравнений при целом $z$ не применим, как и в случае доказательства Великой теоремы Ферма при $ n = 1$. В этом случае невозможно получить \textbf{\textit{функцию экстремумов}}, которую можно было бы исследовать в точках экстремумов на непрерывность. Поэтому ни какого противоречия нет.

Доказательство Великой теоремы Ферма нами изложено в работах [3,4].

$$\textbf{Литература}$$
1.Г.Корн, Т.Корн. СПРАВОЧНИК ПО МАТЕМАТИКЕ. Для научных работников и инженеров. М., Наука, 1974. - 832 с., с илл. \\
2. Эдвардс Г. Последняя теорема Ферма. Генетическое введение в алгебраическую теорию чисел. – М:, Мир, 1980. – 486 с. \\
3. Ремизов В.Г., Ремизов К.В. Доказательство теоремы Ферма. Ярославская областная ежедневная газета «Северный край», Ярославль, 2 ноября 1994 г., среда, № 189 (21819). – 4 с. \\
4. Ремизов В.Г., Ремизов К.В. Элементарное доказательство последней теоремы Ферма. XXIV Международная научная конференция Евразийского Научного Объединения (февраль 2017). Современные концепции научных исследований // Сборник научных работ XXIV Международной научной конференции Евразийского Научного Объединения (г. Москва, февраль 2017). — Москва: ЕНО, 2017. — 192 с.

\end{document}