Ферма был прав лишь наполовину.

Ферма был прав лишь наполовину.

Сообщение alex19411971 » Вт июл 16, 2019 9:15 pm

Теорема:

Уравнение вида

[tex]a^n+b^n=c^n[/tex] (1),

где [tex]a,b[/tex] рациональные числа, модуль каждого из которых больше единицы, а [tex]n>2[/tex] натуральное число, не имеет решения в рациональных числах.

Доказательство.

Даны два рациональных числа [tex]a,b[/tex], модули которых больше единицы. Для простоты рассуждений будем считать их положительными. Требуется доказать, что число [tex]c[/tex], являющееся решением уравнения (1), не является рациональным числом.
Допустим равенство (1) выполняется. В этом случае обязательно выполняется неравенство:

[tex]a^{n-1}+b^{n-1}>c^{n-1}[/tex] (2),

Отрезки длиной [tex]a^{n-1},b^{n-1},c^{n-1}[/tex] (см. Рис-2)
Рисунок (5).jpg
Рисунок (5).jpg (233 КБ) Просмотров: 2659
можно рассматривать как стороны треугольника, в котором углы имеют значение [tex]\alpha1,\beta1,\gamma1[/tex].
В этом треугольнике, опустим из вершины противолежащей стороне [tex]c^{n-1}[/tex], перпендикуляр на эту сторону и из образовавшихся двух прямоугольных треугольников получим следующее равенство:

[tex]c^{n-1}=a^{n-1}cos\beta1+b^{n-1}cos\alpha1[/tex] (3),

Умножим левую часть последнего равенства на [tex]\frac{с}{c}[/tex], получим:

[tex]\frac{с}{c}c^{n-1}=a^{n-1}cos\beta1+b^{n-1}cos\alpha1[/tex],

С учётом (1) получим:

[tex]\frac{a^n+b^n}{c}=a^{n-1}cos\beta1+b^{n-1}cos\alpha1[/tex],

[tex]a^{n-1}\frac{a}{c}+b^{n-1}\frac{b}{c}=a^{n-1}cos\beta1+b^{n-1}cos\alpha1[/tex],

Очевидным и единственным решением последнего равенства являются:

[tex]\frac{a}{c}=cos\beta1[/tex], [tex]\frac{b}{c}=cos\alpha1[/tex] (4),

Далее, исходя из неравенства (2), должно обязательно выполняться следующее неравенство:

[tex]a+b>c[/tex],

То есть, отрезки длиной [tex]a,b,c[/tex] можно рассматривать как стороны треугольника с углами равными [tex]\alpha,\beta,\gamma[/tex], (см Рис-1).
Проделав с этим треугольником аналогичные операции, что и делались выше получим:

[tex]c=acos\beta+bcos\alpha[/tex],

[tex]\frac{c^{n-1}}{c^{n-1}}c=acos\beta+bcos\alpha[/tex],

[tex]\frac{c^n}{c^{n-1}}=acos\beta+bcos\alpha[/tex],

[tex]\frac{a^n+b^n}{c^{n-1}}=acos\beta+bcos\alpha[/tex],

[tex]a\frac{a^{n-1}}{c^{n-1}}+b\frac{b^{n-1}}{c^{n-1}}=acos\beta+bcos\alpha[/tex],

Из последнего равенства со всей очевидностью вытекает единственно возможное решение:

[tex]\frac{a^{n-1}}{c^{n-1}}=cos\beta; \frac{b^{n-1}}{c^{n-1}}=cos\alpha[/tex],

[tex]\frac{a^{n-1}}{c^{n-1}}+\frac{b^{n-1}}{c^{n-1}}=cos\beta+cos\alpha[/tex],

[tex]\frac{a^{n-1}+b^{n-1}}{c^{n-1}}=cos\beta+cos\alpha[/tex],

[tex]c^{n-1}=\frac{a^{n-1}+b^{n-1}}{cos\beta+cos\alpha}[/tex], (5)

Исходя из (3) и (5) получим:

[tex]a^{n-1}cos\beta1+b^{n-1}cos\alpha1=\frac{a^{n-1}+b^{n-1}}{cos\beta+cos\alpha}=\frac{a^{n-1}}{cos\beta+cos\alpha}+\frac{b^{n-1}}{cos\beta+cos\alpha}[/tex],

[tex]cos\beta1=\frac{1}{cos\beta+cos\alpha}; cos\alpha1=\frac{1}{cos\beta+cos\alpha}[/tex];

[tex]cos\beta1=cos\alpha1[/tex],

Учитывая (4) получим:

[tex]a=b[/tex].

Подставим полученный результат в (1) получим:

[tex]2a^n=c^n[/tex],

[tex]c=2^\frac{1}{n}a[/tex],

[tex]2^\frac{1}{n}a[/tex] - при любом n, число иррациональное, что и требовалось доказать.
alex19411971
 
Сообщения: 3
Зарегистрирован: Сб апр 13, 2019 1:43 pm

Re: Ферма был прав лишь наполовину.

Сообщение Павел » Вс авг 18, 2019 5:22 pm

Уважаемый автор, может оно конечно и красиво, и даже убедительно - на первый взгляд...!?
...
Вот только под Ваше опровержение попадает и случай с теоремой Пифагора!
Понятное дело, что при a=b>1 и для n=2, рациональным числом с - не будет. - И это вторая "дырка" в представленном доказательстве!
Павел
 
Сообщения: 44
Зарегистрирован: Чт авг 08, 2019 3:45 pm

Re: Ферма был прав лишь наполовину.

Сообщение Гость » Вс сен 29, 2019 10:49 pm

Правда, "первую дырку" Вы не указали. Относительно второй могу заметить следующее: при равных катетах в прямоугольном треугольнике теорема Ферма ни при каких значениях [tex]n[/tex] не выполняется, и теорема Пифагора тоже. С глубоким уважением к Вашим познаниям в математике - автор.
Гость
 


Вернуться в Уравнения



cron