Теорема:
Уравнение вида
[tex]a^n+b^n=c^n[/tex] (1),
где [tex]a,b[/tex] рациональные числа, модуль каждого из которых больше единицы, а [tex]n>2[/tex] натуральное число, не имеет решения в рациональных числах.
Доказательство.
Даны два рациональных числа [tex]a,b[/tex], модули которых больше единицы. Для простоты рассуждений будем считать их положительными. Требуется доказать, что число [tex]c[/tex], являющееся решением уравнения (1), не является рациональным числом.
Допустим равенство (1) выполняется. В этом случае обязательно выполняется неравенство:
[tex]a^{n-1}+b^{n-1}>c^{n-1}[/tex] (2),
Отрезки длиной [tex]a^{n-1},b^{n-1},c^{n-1}[/tex] (см. Рис-2) можно рассматривать как стороны треугольника, в котором углы имеют значение [tex]\alpha1,\beta1,\gamma1[/tex].
В этом треугольнике, опустим из вершины противолежащей стороне [tex]c^{n-1}[/tex], перпендикуляр на эту сторону и из образовавшихся двух прямоугольных треугольников получим следующее равенство:
[tex]c^{n-1}=a^{n-1}cos\beta1+b^{n-1}cos\alpha1[/tex] (3),
Умножим левую часть последнего равенства на [tex]\frac{с}{c}[/tex], получим:
[tex]\frac{с}{c}c^{n-1}=a^{n-1}cos\beta1+b^{n-1}cos\alpha1[/tex],
С учётом (1) получим:
[tex]\frac{a^n+b^n}{c}=a^{n-1}cos\beta1+b^{n-1}cos\alpha1[/tex],
[tex]a^{n-1}\frac{a}{c}+b^{n-1}\frac{b}{c}=a^{n-1}cos\beta1+b^{n-1}cos\alpha1[/tex],
Очевидным и единственным решением последнего равенства являются:
[tex]\frac{a}{c}=cos\beta1[/tex], [tex]\frac{b}{c}=cos\alpha1[/tex] (4),
Далее, исходя из неравенства (2), должно обязательно выполняться следующее неравенство:
[tex]a+b>c[/tex],
То есть, отрезки длиной [tex]a,b,c[/tex] можно рассматривать как стороны треугольника с углами равными [tex]\alpha,\beta,\gamma[/tex], (см Рис-1).
Проделав с этим треугольником аналогичные операции, что и делались выше получим:
[tex]c=acos\beta+bcos\alpha[/tex],
[tex]\frac{c^{n-1}}{c^{n-1}}c=acos\beta+bcos\alpha[/tex],
[tex]\frac{c^n}{c^{n-1}}=acos\beta+bcos\alpha[/tex],
[tex]\frac{a^n+b^n}{c^{n-1}}=acos\beta+bcos\alpha[/tex],
[tex]a\frac{a^{n-1}}{c^{n-1}}+b\frac{b^{n-1}}{c^{n-1}}=acos\beta+bcos\alpha[/tex],
Из последнего равенства со всей очевидностью вытекает единственно возможное решение:
[tex]\frac{a^{n-1}}{c^{n-1}}=cos\beta; \frac{b^{n-1}}{c^{n-1}}=cos\alpha[/tex],
[tex]\frac{a^{n-1}}{c^{n-1}}+\frac{b^{n-1}}{c^{n-1}}=cos\beta+cos\alpha[/tex],
[tex]\frac{a^{n-1}+b^{n-1}}{c^{n-1}}=cos\beta+cos\alpha[/tex],
[tex]c^{n-1}=\frac{a^{n-1}+b^{n-1}}{cos\beta+cos\alpha}[/tex], (5)
Исходя из (3) и (5) получим:
[tex]a^{n-1}cos\beta1+b^{n-1}cos\alpha1=\frac{a^{n-1}+b^{n-1}}{cos\beta+cos\alpha}=\frac{a^{n-1}}{cos\beta+cos\alpha}+\frac{b^{n-1}}{cos\beta+cos\alpha}[/tex],
[tex]cos\beta1=\frac{1}{cos\beta+cos\alpha}; cos\alpha1=\frac{1}{cos\beta+cos\alpha}[/tex];
[tex]cos\beta1=cos\alpha1[/tex],
Учитывая (4) получим:
[tex]a=b[/tex].
Подставим полученный результат в (1) получим:
[tex]2a^n=c^n[/tex],
[tex]c=2^\frac{1}{n}a[/tex],
[tex]2^\frac{1}{n}a[/tex] - при любом n, число иррациональное, что и требовалось доказать.