Обобщение Великой Теоремы Ферма и Теоремы Пифагора

Обобщение Великой Теоремы Ферма и Теоремы Пифагора

Сообщение Гость » Ср апр 24, 2019 8:15 pm

УТВЕРЖДЕНИЕ
(Обобщение Великой Теоремы Ферма и Теоремы Пифагора)

Уравнение вида:

[tex]a^x+b^y=c^z (1)[/tex]

в котором [tex]a,b,c[/tex] - целые числа, [tex]x,y,z[/tex] – натуральные числа:
Имеет бесконечное множество решений в целых числах при [tex]x=y=z=2[/tex], а треугольник со сторонами [tex]a,b,c[/tex] - является прямоугольным. (Теорема Пифагора).
Не имеет решения в целых числах при [tex]2<x\leqslant y\leqslant z[/tex] (Обобщённая Теорема Ферма).

Прежде чем приступить к доказательству этого утверждения, определим допустимые значения чисел [tex]a,b,c[/tex] для которых решение возможно в том смысле, который вкладывал в него П. Ферма; именно - нельзя разложить куб на два меньших куба без остатка, нельзя разложить биквадрат на два меньших биквадрата без остатка и так и далее.

Необходимые и достаточные условия:

[tex]a\times b\times c\ne0[/tex]
[tex]a\ne b\ne c[/tex]
[tex]a+b>c[/tex] (В противном случае решение отсутствует и это легко доказывается)

Решение будем искать в положительных числах, так как, очевидно, что если есть решение в отрицательных числах, то оно есть и в положительных.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО

Допустим, при каких-то значений [tex]a,b,c,x,y,z[/tex] уравнение (1) выполняется (соответственно, при выполнении условий, оговоренных выше). Тогда выполняется следующее неравенство:

[tex]a^{x-1}+b^{y-1}> c^{z-1}[/tex] (2)

Построим треугольник со сторонами [tex]a^{x-1},b^{y-1}, c^{z-1}[/tex] и углами [tex]\alpha,\beta,\gamma[/tex].

Из него, по теореме синусов, имеем:

[tex]\frac{a^{x-1}}{\sin \alpha}=\frac{b^{y-1}}{\sin \beta}=\frac{c^{z-1}}{\sin \gamma}[/tex]

Откуда:

[tex]a^{x-1}=c^{z-1}\frac{\sin\alpha}{\sin\gamma}; b^{y-1}=c^{z-1}\frac{\sin\beta}{\sin\gamma}[/tex];

Подставим полученные значения в (2):

[tex]c^{z-1}\frac{\sin\alpha}{\sin\gamma}+c^{z-1}\frac{\sin\beta}{\sin\gamma} > c^{z-1}[/tex]

Помножим в последнем неравенстве каждый член, соответственно, на [tex]a,b,c[/tex] и с учётом (1) получим равенство:

[tex]ac^{z-1}\frac{\sin\alpha}{\sin\gamma}+bc^{z-1}\frac{\sin\beta}{\sin\gamma} = cc^{z-1}[/tex]

Сократим на [tex]c^{z-1}[/tex]:

[tex]a\frac{\sin\alpha}{\sin\gamma}+b\frac{\sin\beta}{\sin\gamma}=c[/tex]

Приведём к общему знаменателю:

[tex]a\sin\alpha+b\sin\beta = c\sin\gamma[/tex],

Разделим на [tex]c[/tex]:

[tex]\frac{a}{c}\sin\alpha+\frac{b}{c}\sin\beta=\sin{\gamma}[/tex](3)

Где:

[tex]\gamma=(\pi-\alpha-\beta)[/tex]
[tex]\sin\gamma=\sin{(\alpha+\beta)}= \sin\alpha\cos\beta+\sin\beta\cos\alpha[/tex]

Подставим значение [tex]\sin\gamma[/tex] в (3), получим:

[tex]\frac{a}{c}\sin\alpha + \frac{b}{c}\sin\beta = \sin\alpha\cos\beta+\sin\beta\cos\alpha[/tex]

Последнее равенство имеет очевидное решение:

[tex]\frac{a}{c}=\cos\beta; \frac{b}{c}=\cos\alpha[/tex],

Возведём левые и правые части последних равенств, первого – в [tex]x[/tex], второго в [tex]y[/tex], приведём к общему знаменателю:

[tex]a^{x}=c^{x}\cos^{x}\beta; b^{y}=c^{y}\cos^{y}\alpha[/tex],

Суммируем правые и левые части последних равенств:

[tex]a^{x}+b^{y}=c^{x}\cos^{x}\beta+c^{y}\cos^{y}\alpha[/tex],

Исходя из (1), заменим [tex]a^{x}+b^{y}[/tex] на [tex]c^{z}[/tex], получим:

[tex]c^{z}=c^{x}\cos^{x}\beta+c^{y}\cos^{y}\alpha[/tex] (4)

Разделим в (4) правую и левую части на [tex]c^{z}[/tex] получим:

[tex]1=\frac{c^{x}}{c^{z}}\cos^{x}\beta+\frac{c^{y}}{c^{z}}\cos^{y}\alpha[/tex],

[tex]1= \frac{\cos^{x}\beta}{c^{z-x}}+\frac{\cos^{y}\alpha}{c^{z-y}}[/tex],

Последнее равенство выполняется при [tex]x=y=z=2[/tex], если треугольник со сторонами [tex]a,b,c[/tex] - является прямоугольным. (Теорема Пифагора).
Не имеет решения в целых числах при [tex]2<x\leqslant y\leqslant z[/tex] (Обобщённая Теорема Ферма). т.к. в числителях числа меньшие единицы в целочисленной степени большей [tex]2[/tex], а в знаменателях целое число [tex]c\geqslant4[/tex], (самые маленькие значения [tex]a,b,c[/tex] будут [tex]2,3,4[/tex]).
Что и требовалось доказать.
Гость
 

Вернуться в Уравнения