Элементарное доказательство теоремы Ферма.

Элементарное доказательство теоремы Ферма.

Сообщение alex19411971 » Вс апр 14, 2019 11:46 pm

Великая Теорема Ферма

Уравнения вида:

[tex]a^n+b^n=c^n[/tex] (1)

или:

[tex]\frac{a^n}{c^n}+\frac{b^n}{c^n}=1[/tex] (2)

в которых [tex]a,b,c[/tex] - целые числа, [tex]n[/tex] – натуральное число,
не имеет решения в целых числах.
Прежде чем приступить к доказательству этого утверждения, определим допустимые значения чисел [tex]a,b,c[/tex] для которых (нетривиальное) решение возможно.
Итак:
[tex]abc\ne0[/tex]
[tex]a\ne b\ne c[/tex]
[tex]a+b>c[/tex], (при [tex]a+b\le c[/tex] решение отсутствует и это легко доказывается)

Решение будем искать в положительных числах, так как, очевидно, что если есть решение в отрицательных числах, то оно есть и в положительных.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.
Предположим , равенство (1) выполнено, то есть, при каком то значении [tex]n[/tex] есть три числа [tex]a,b,c[/tex] которые удовлетворяют уравнению (1). Построим треугольник со сторонами [tex]a,b,c[/tex] и углами [tex]\alpha,\beta,\gamma[/tex] .
Опустим из противолежащей вершины на сторону [tex]c[/tex] (самую большую) перпендикуляр. Его основание разделит [tex]c[/tex] на две части - [tex]t[/tex] и [tex]m[/tex] . Тогда:
[tex]m=b\cos\alpha[/tex], [tex]t=a\cos \beta[/tex]
[tex]c=m+t[/tex]
[tex]c=b\cos\alpha+a\cos \beta[/tex]
Умножим и разделим левую часть последнего равенства на [tex]c^{n-1}[/tex] , получим:

[tex]\frac{cc^{n-1}}{c^{n-1}}=b\cos\alpha+a\cos \beta[/tex] (3)

Согласно (1) имеем:

[tex]cc^{n-1}=c^n=a^n+b^n[/tex]

Подставим последнее значение в (3), получим:

[tex]\frac{a^n+b^n}{c^{n-1}}=b\cos\alpha+a\cos \beta[/tex]

Или:

[tex]a\frac{a^{n-1}}{c^{n-1}}+b\frac{b^{n-1}}{c^{n-1}}=b\cos\alpha+a\cos \beta[/tex]

Очевидное решение последнего равенства:

[tex]\frac{a^{n-1}}{c^{n-1}}=\cos \beta; \frac{b^{n-1}}{c^{n-1}}=\cos\alpha[/tex]

Извлекаем корень [tex](n-1)[/tex] степени из левых и правых частей двух последних равенств:

[tex]\frac{a}{c}=\cos^{\frac{1}{n-1}} \beta; \frac{b}{c}=\cos^{\frac{1}{n-1}} \alpha[/tex]

Возведём в степень [tex]n[/tex] обе части полученных равенств, получим:

[tex]\frac{a^n}{c^n}=\cos^{\frac{n}{n-1}} \beta; \frac{b^n}{c^n}=\cos^{\frac{n}{n-1}} \alpha[/tex]

Сложим правые и левые части последних двух равенств:

[tex]\frac{a^n}{c^n}+\frac{b^n}{c^n}=\cos^{\frac{n}{n-1}} \beta+\cos^{\frac{n}{n-1}} \alpha[/tex]

Из последнего равенства, с учётом (2), следует:

[tex]\cos^{\frac{n}{n-1}} \beta+\cos^{\frac{n}{n-1}} \alpha=1[/tex]

Которое не выполняется при любом [tex]n\ge3[/tex], то есть, наше предположение о том, что (1) справедливо - ошибочно, что и требовалось доказать.
Отметим, что при [tex]n=2[/tex] и целых [tex]a,b,c[/tex] мы имеем дело с триадой Пифагора (при условии [tex]\angle\gamma=\frac{\pi}{2}[/tex] )
alex19411971
 
Сообщения: 3
Зарегистрирован: Сб апр 13, 2019 1:43 pm

Вернуться в Уравнения