Математическая индукция.

[Ana345]

При каких целых n справедливо неравенство: [tex]n!+n>=n^3+1[/tex]
Нужно доказать методом математической индукции.
Пожалуйста, можете помочь? Уже все перепробовала

[Andy]

Как сформулировано задание в источнике, где Вы его взяли?

[Ana345]

Задание задали в университете. Источник, к сожалению, указать не смогу

[Ana345]

У меня получилось так:
Неравенство верно при n=0, n=1 и n>=6(как раз это и нужно доказать)
Я поступила таким образом:
[tex]n!+n>=n^3+1 => n!>=n^3+1-n[/tex]
[tex](n+1)!+n+1>=(n+1)^3+1[/tex]
[tex]n!*(n+1)+n+1>=n^3+3n^2+3n+2[/tex]
[tex]n!*(n+1)>=n^3+3n^2+2n+1[/tex]
( это все было сделано ради того, чтобы увязать между собой левые части P(n)-исходного неравенства и P(n+1) при n=n+1, тем самым я получила, что они различны в n+1 раз) далее:
Нам достаточно, чтобы: [tex](n+1)*(n^3+1-n)>=n^3+3n^2+2n+1[/tex]
[tex]n^4+n^3-n^2+1>=n^3+3n^2+2n+1[/tex] получим: [tex]n^4-4n^2-2n>=0[/tex]
Но этого мало. Нужно строгое математическое обоснование всех полученных неравенств. Подскажите, где моя ошибка? Где мои рассуждения не верны?

[Andy]

Ноль не является натуральным числом.

Пусть при [tex]n=k>5[/tex] выполняется неравенство [tex]k!+k \geq k^3+1,[/tex] или [tex]k!+k>k^3.[/tex] Тогда при [tex]n=k+1[/tex] получим
[tex](k+1)!+(k+1)>(k+1)^3,[/tex]
[tex]k!+1>(k+1)^2,[/tex]
[tex]k!>k^2+2k,[/tex]
[tex](k-1)!>k+2,[/tex]
[tex](k-1)!>(k-1)+3,[/tex]
[tex](k-1)!-(k-1)>3,[/tex]
[tex](k-1)((k-2)!-1)>3.[/tex]
По-моему, из того, что оба множителя в левой части полученного неравенства при [tex]k>5[/tex] больше, чем [tex]2,[/tex] следует требуемое.

[Ana345]

Куда пропала 1 в доказательстве? И почему мы можем быть уверены, в том что последнее неравенство будет верно?

[Andy]

Единица в доказательстве не пропала. Если [tex]k!+k \geq k^3+1,[/tex] то [tex]k!+k-1 \geq k^3+1-1,[/tex] [tex]k!+k-1 \geq k^3,[/tex] [tex]k!+k>k^3.[/tex]

Последнее неравенство в моём предыдущем сообщении верное вследствие того, то [tex](k+1)!>k![/tex]

Я не настаиваю на том, чтобы Вы использовали моё доказательство. Если оно Вам не нравится, то используйте своё.

[slava_psk]

Andy, ваше решение безусловно лучше. Кстати, не знаете что случилось с mathplanet?

[Гость]

Andy, я сама не в восторге от своего решения. Наоборот, вижу в вашем решении правильный путь. Я просто задала интересующие меня вопросы. Большое вам спасибо за помощь!

[Andy]

Andy, ваше решение безусловно лучше. Кстати, не знаете что случилось с mathplanet?

Благодарю Вас! Что случилось с MHP, я не знаю. Предполагаю, что владелец сайта закрыл его.