Ферма был прав лишь частично

Ферма был прав лишь частично

Сообщение Гость » Пн июл 08, 2019 7:31 pm

Теорема:
Уравнение вида:
[tex]a^n+b^n=c^n[/tex] (1)
где [tex]a[/tex] и [tex]b[/tex] рациональные числа, модуль каждого из которых больше единицы, а [tex]n[/tex] - натуральное число большее 2, не имеет решения в рациональных числах.
Доказательство.
Дано: два рациональных числа - [tex]a[/tex] и [tex]b[/tex], модули которых больше единицы. Для простоты рассуждений будем считать эти числа положительными. Требуется доказать, что число [tex]c[/tex], являющееся решением уравнения (1), не является рациональным числом.
Допустим равенство (1) выполняется. В этом случае обязательно выполняется неравенство:
[tex]a^{n-1}+b^{n-1}>c^{n-1}[/tex] (2)
Тогда отрезки длиной [tex]a^{n-1},b^{n-1},c^{n-1}[/tex] можно рассматривать как стороны треугольника, в котором углы имеют значение [tex]\alpha(n-1),\beta(n-1),\gamma(n-1)[/tex].
В этом треугольнике, опустим из вершины противолежащей стороне [tex]c^{n-1}[/tex], перпендикуляр на эту сторону и из образовавшихся двух прямоугольных треугольников получим следующее равенство:
[tex]c^{n-1}=a^{n-1}cos\beta(n-1)+b^{n-1}cos\alpha(n-1)[/tex] (3),
[tex](c/c)c^{n-1}=a^{n-1}cos\beta(n-1)+b^{n-1}cos\alpha(n-1)[/tex],
[tex]c^n/c=a^{n-1}cos\beta(n-1)+b^{n-1}cos\alpha(n-1)[/tex],
[tex](a^n+b^n)/c=a^{n-1}cos\beta(n-1)+b^{n-1}cos\alpha(n-1)[/tex],
[tex]a^{n-1}(a/c)+b^{n-1}(b/c)=a^{n-1}cos\beta(n-1)+b^{n-1}cos\alpha(n-1)[/tex],
[tex]a/c=cos(\beta)(n-1), b/c=cos(\alpha)(n-1)[/tex] (4),
Далее, исходя из неравенства (2), должно выполняться и неравенство вида:
[tex]a+b>c[/tex],
Проделав аналогичные операции, что и делалось выше (только для треугольника со сторонами [tex]a,b,c[/tex] и углами [tex]\alpha,\beta,\gamma[/tex] получим:
[tex]c=acos(\beta)+bcos(\alpha)[/tex],
[tex]c(c^{n-1}/c^{n-1})=acos\beta+bcos\alpha[/tex],
[tex]c^n/c^{n-1}=acos\beta+bcos\alpha[/tex],
[tex](a^n+b^n)/c^{n-1}=acos\beta+bcos\alpha[/tex],
[tex]a(a^{n-1}/c^{n-1}+b(b^{n-1}/c^{n-1})=acos\beta+bcos\alpha[/tex],
[tex]a^{n-1}/c^{n-1}=cos\beta, b^{n-1}/c^{n-1}=cos\alpha[/tex],
[tex]a^{n-1}/c^{n-1}+b^{n-1}/c^{n-1}=cos\beta+cos\alpha[/tex],
[tex](a^{n-1}+b^{n-1})/c^{n-1}=cos\beta+cos\alpha[/tex],
[tex]c^{n-1}=(a^{n-1}+b^{n-1})/(cos\beta+cos\alpha)[/tex] (5),
Исходя из (3) и (5) получим:
[tex]a^{n-1}cos\beta(n-1)+b^{n-1}cos\alpha(n-1)=(a^{n-1}+b^{n-1})/(cos\beta+cos\alpha),
[tex]cos\beta(n-1)=1/(cos\beta+cos\alpha), cos\alpha(n-1)=1/(cos\beta+cos\alpha)[/tex],
[tex]cos\beta(n-1)=cos\alpha(n-1)[/tex],
Учитывая (4) получим: [tex]a=b[/tex],
Подставим полученный результат в (1) получим:
[tex]2a^n=c^n[/tex].
[tex]c=a2^{1/n}[/tex] – при любом [tex]a[/tex] и[tex]n>2[/tex] - [tex]2^{1/n}[/tex] число иррациональное, и, следовательно число [tex]с[/tex] тоже иррациональное. что и требовалось доказать.
Гость
 

Вернуться в Полиномы, Формулы сокращённого умножения