Парадокс Stasa

Парадокс Stasa

Сообщение Rados » Ср дек 21, 2022 10:46 am

В одной из "математических задач месяца" постоянный участник нашего Форума Stas (Станислав Ребрин) предложил ранее неизвестный вариант т.н. ленты Мёбиуса, на примере которого наглядно продемонстрировал ПЕРЕСЕЧЕНИЕ двух линий, которые на ленте Мёбиуса ПАРАЛЛЕЛЬНЫ.
В отличие от ленты Мёбиуса в этой модели концы ленты не стыкуются, а ПЕРЕСЕКАЮТСЯ под прямым углом и могут быть продолжены в декартовой системе координат именно как ПРЯМЫЕ линии.

Публикуем эту модель в разделе "ТОПОЛОГИЯ" именно как "Парадокс Stasa" - как альтернативу "односторонней поверхности листа Мёбиуса"...
Наглядно ПОКАЗАНО, что в трёхмерном пространстве такая криволинейная поверхность всегда имеет ДВЕ стороны, если даже её толщина "не имеет значения", а радиус кривизны - величина НЕ постоянная, но не может быть МЕНЬШЕ НУЛЯ...
парадокс.jpg
парадокс.jpg (53.73 КБ) Просмотров: 659
Аватара пользователя
Rados
 
Сообщения: 3558
Зарегистрирован: Вт ноя 20, 2018 8:36 am
Откуда: РОССИЯ

Re: Парадокс Stasa

Сообщение Rados » Ср дек 21, 2022 5:59 pm

В таком положении ШИРИНА ленты измеряется по оси Z.
А при Z = 0 у нас получится ОДНА (горизонтальная?) плоскость ХУ... И тогда ОБЕ параллельные линии на ленте преобразуются в ОДНУ линию - как проекция на плоскость ХУ в системе декартовых координат...
Квадрокруг.jpg
Квадрокруг.jpg (25.12 КБ) Просмотров: 655
Аватара пользователя
Rados
 
Сообщения: 3558
Зарегистрирован: Вт ноя 20, 2018 8:36 am
Откуда: РОССИЯ

Re: Парадокс Stasa

Сообщение Rados » Чт дек 22, 2022 1:11 pm

Rados писал(а):В таком положении ШИРИНА ленты измеряется по оси Z.
А при Z = 0 у нас получится ОДНА (горизонтальная?) плоскость ХУ...

В данном случае "горизонтальной плосокстью ХУ" является рабочая поверхность СТОЛА, которую мы имеем в качестве БАЗОВОЙ поверхности для размещения НАД этой поверхностью реальных МОДЕЛЕЙ из бумаги (макетов).
Макет ленты Мёбиуса с пересечением Stas изготовил тоже из листа бумаги, то есть "в натуре" такой ОБЪЕКТ существует и был представлен на фото.
И сразу возник как бы "дополнительный" вопрос: может ли такую "фигуру высшего пилотажа" выполнить самолёт Мёбиуса в реальном пространстве аэродрома?! Авиаторы отвечают, что такая фигура (лента Мёбиуса" в авиации называется "ухо" - в отличие от обычного "обруча", который авиаторы называют "петлёй Нестерова". Но на рисунке Radosa (по мнению авиаторов) нарисована НЕ "петля Нестерова", потому что в верхней точке полёта самолет летит НЕ "пузом кверху", а уже повернувшись на 180 градусов по собственной оси...Но и "ухом" (то есть, мёбиусом) такая фигура пилотажа НЕ ЯВЛЯЕТСЯ, потому что тогда бы этот "самолёт Мёбиуса" приземлился на базовую поверхность аэродрома "кверху пузом".
Вращение самолёта вокруг своей оси в данном случае происходит либо на полный оборот = 360 градусов, либо на полоборота в обратную сторону = - 18о градусов, либо вообще эта траектория находится в ОДНОЙ наклонной плоскости...
Получается, что в реальном 3D-пространстве траектории концов крыльев самолёта либое пересеккаются, либо НЕ пересекаются.
То есть, опять получается "парадокс Stasa"?!!
Самолёт Мёбиуса.jpg
Самолёт Мёбиуса.jpg (48.96 КБ) Просмотров: 649
Аватара пользователя
Rados
 
Сообщения: 3558
Зарегистрирован: Вт ноя 20, 2018 8:36 am
Откуда: РОССИЯ

Re: Парадокс Stasa

Сообщение Rados » Ср дек 28, 2022 1:12 pm

В некоторых геоМЕТРИЧЕСКИХ задачках возникают вопросы, связанные с термином "ИЗМЕРЕНИЕ".
А "парадокс Мёбиуса" подразумевал, что у такой ЗАМКНУТОЙ (бесконечной ?) ленты есть только ОДНА сторона поверхности и нет никакой "толщины".
Но если МЕЖДУ краями этой ленты провести линию (1D), которая на всём протяжении этой ленты НЕ ПЕРЕСЕКАЕТСЯ с краями этой ленты, то такая КРИВАЯ линия будет являться ОСЬЮ этой "бесконечной" ленты. И как показал НАГЛЯДНО Stas на вполне реальной МОДЕЛИ (вырезанной из бумажного листа), вполне возможно САМОпересечение этой оси в трёхмерном пространстве (в домашних условиях)!!!
Если МЫ отобразим такую "фигуру высшего пилотажа" на плоскости (2D), то такую ЗАМКНУТУЮ линию можно назвать ОДНО-УГОЛЬНИКОМ с одним прямым углом... (см. чертёж на плоскости ХУ при Z = 0)... При этом оси Х и У является КАСАТЕЛЬНЫМИ - по отношению к окружности. И если в точки касания провести ДВА РАДИУСА из этой окружности, то угол между ними будет тоже ПРЯМЫМ УГЛОМ, а фигура, образованная двумя пересекающимися ОСЯМИ (Х и У) и двумя радиусами однозначно будет КВАДРАТОМ (тетрагоном по-гречески)!
ДИА-гональ этого тетрагона больше ДИА-метра окружности на какую-то ВЕЛИЧИНУ...
Парадокс Stasa даёт НАМ такую "картинку", наглядно демонстрирующую "возможность самопересечения ОСИ параллельных линий в ТРЁХ-мерном виде".
И при этом возникает "задача" сравнения ДЛИНЫ периметра этого ОДНО-угольника с диаметром окружности и стороной квадрата = R = 1...
Периметр получается как сумма 3/4[tex]\pi[/tex]x R + 2R, а сумма длины диагонали квадрата и радиуса окружности как ЧИСЛО [tex]\sqrt{2}[/tex] + 1...
То есть, соотношение ДЛИНЫ периметра к ДЛИНЕ диаметра опять выражается каким-то ИРРАЦИОНАЛЬНЫМ ЧИСЛОМ [tex]\infty[/tex] > [tex]\pi[/tex], которое на числовой оси ПОКАЗАТЬ невозможно!
Но вычислить на компьютере МОЖНО! ;)
Аватара пользователя
Rados
 
Сообщения: 3558
Зарегистрирован: Вт ноя 20, 2018 8:36 am
Откуда: РОССИЯ

Re: Парадокс Stasa

Сообщение Rados » Ср дек 28, 2022 1:25 pm

И такая "задачка" вполне сопоставима с задачей ТРИСЕКЦИИ любого заданного УГЛА!
Но тоже "не факт", что КРУГ в 360 градусов можно разделить на ЦЕЛОЕ число секторов, каждый из которых ИЗМЕРЯЕТСЯ углом в 21 градус!
Опять получается ПАРАДОКС: графически "возможно всё", но вычислить иррациональное соотношение линейных МЕР - НЕВОЗМОЖНО! :ugeek:
Три круга в квадрате.jpg
Три круга в квадрате.jpg (85.94 КБ) Просмотров: 632
Аватара пользователя
Rados
 
Сообщения: 3558
Зарегистрирован: Вт ноя 20, 2018 8:36 am
Откуда: РОССИЯ

Re: Парадокс Stasa

Сообщение Rados » Ср дек 28, 2022 6:55 pm

И при этом возникает "задача" сравнения ДЛИНЫ периметра этого ОДНО-угольника с диаметром окружности и стороной квадрата R = 1

Представим себе, что КРУГ с радиусом = 1 одновременно является СЕЧЕНИЕМ шара (3D), в который вставлен кубик со стороной = 1.
И сразу возникает вопрос ИЗМЕРЕНИЯ ОБЪЁМА, который получится в результате такого совмещения (при Z = 1)!
Для вычисления этого объёма можно использовать только натуральные числа (без указания ед. изм), а число [tex]\pi[/tex] принять за коэффициент = 22/7.

Получается задачка аналогичная "кубатуре шара"! ;)
Кубатура шара.jpg
Кубатура шара.jpg (39.24 КБ) Просмотров: 630
Аватара пользователя
Rados
 
Сообщения: 3558
Зарегистрирован: Вт ноя 20, 2018 8:36 am
Откуда: РОССИЯ

Re: Парадокс Stasa

Сообщение Rados » Чт дек 29, 2022 2:10 pm

Что-то подобное пытается объяснить Алексей Савватеев на своих лекция в Интернете...
Но это уже совсем ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА, которую понимают только Высшие Математики... :o
https://www.youtube.com/watch?v=nKBW2jy4Yyc
Аватара пользователя
Rados
 
Сообщения: 3558
Зарегистрирован: Вт ноя 20, 2018 8:36 am
Откуда: РОССИЯ

Re: Парадокс Stasa

Сообщение Rados » Чт дек 29, 2022 4:32 pm

Чтобы ПОНЯТЬ "парадокс Stasa" сделаем первый шаг - упростим задачу "до уровня начертательной геометрии" (1 курс любого технического ВУЗа)...
Окружность - это основание конуса с вершиной в точке О (+1; -1, +1), а квадрат - это основание куба со стороной = 1.
Если построить такое пересечение фигур в ТРЁХ-мерном изображении, то легко ВЫЧИСЛИТЬ наружную площадь и общий объём этого геометрического со-ЕДИНЕНИЯ.
Аватара пользователя
Rados
 
Сообщения: 3558
Зарегистрирован: Вт ноя 20, 2018 8:36 am
Откуда: РОССИЯ

Re: Парадокс Stasa

Сообщение Rados » Чт дек 29, 2022 10:25 pm

Для более глубокого "погружения в тему" необходимой дать опеределение самому термину ПАРАДОКС:
"Парадо́кс (др.-греч. παράδοξος — «неожиданный; странный», от др.-греч. παρα — «против, вопреки» и др.-греч. δόξα — «мнение; представление; предположение») в широком смысле — высказывание, мнение, рассуждение, которое расходится с общепринятым мнением и кажется нелогичным или противоречащим здравому смыслу (зачастую лишь при поверхностном понимании).
В логике «парадоксом» называют формально-логические противоречия, которые возникают при сохранении логической правильности рассуждения. Парадокс возникает, когда два взаимоисключающих (противоречащих) суждения оказываются в равной мере доказуемыми." (это - цитата из Википедии)...

В примере с "самолётом Мёбиуса" обе траектории концов крыльев ВСЕГДА параллельны ОСИ движения самолёта в ТРЁХ-мерном пространстве!
В графическом отображении (и на фото реальной ленты Мёбиуса) эти траектории ПЕРЕСЕКАЮТСЯ!
Но этот парадокс заметил не Мёбиус, а Stas...
Поэтому название этой гипотезы, которая расходится "с общепринятым мнением" мы определили верно:
ПАРАДОКС STASA
Опровержений и указаний на ошибочность представленных моделей также НЕ ПОСТУПАЛО, а в качестве подтверждения приводим ещё одно графическое изображение - с учётом положения системы декартовых координат ХУZ... ;)
Траектория самолёта Мёбиуса.jpg
Траектория самолёта Мёбиуса.jpg (79.36 КБ) Просмотров: 622
Аватара пользователя
Rados
 
Сообщения: 3558
Зарегистрирован: Вт ноя 20, 2018 8:36 am
Откуда: РОССИЯ

Re: Парадокс Stasa

Сообщение Rados » Вс янв 01, 2023 1:15 pm

Кстати, насчёт траектории "самолёта Мёбиуса"!
В отличие от параллельности ДВУХ рельсов Ж/Д (относительно центральной ОСИ между ними), ленту Мёбиуса невозможно "приклеить" на поверхность СФЕРЫ, а параллельные рельсы обычно укладываются на поверхность параллельных ШПАЛ. Но так как самолёт Мёбиуса - это не ШАР и даже не паровоз с прицепленными вагонами, то концы его крыльев могут свободно вращаться вокруг траектории полёта.
В таком случае точка пересечения центральной оси (траектории движения самолёта) либо пересекается сама с собой на поверхности аэродрома, либо НЕ пересекается!
Аналогично и утверждение Stasa о том, что "параллельные линии ПЕРЕСЕКАЮТСЯ", является одним из двух вариантов события: либо они пересекаются, либо НЕ пересекаются!
Траектория 1D в атмосфере.jpg
Траектория 1D в атмосфере.jpg (74.6 КБ) Просмотров: 617
Аватара пользователя
Rados
 
Сообщения: 3558
Зарегистрирован: Вт ноя 20, 2018 8:36 am
Откуда: РОССИЯ

Re: Парадокс Stasa

Сообщение Rados » Вс янв 01, 2023 1:25 pm

Rados писал(а):Опять получается ПАРАДОКС: графически "возможно всё", но вычислить иррациональное соотношение линейных МЕР - НЕВОЗМОЖНО!

reptiles.gif
reptiles.gif (61.65 КБ) Просмотров: 617
Аватара пользователя
Rados
 
Сообщения: 3558
Зарегистрирован: Вт ноя 20, 2018 8:36 am
Откуда: РОССИЯ

Re: Парадокс Stasa

Сообщение Rados » Вс янв 01, 2023 8:45 pm

Однако, рассмотрим для сравнения ПЛОСКОСТНОЙ вариант "одноугольника Stasa-Radosa"!
Такая фигура составлена из площади квадрата со стороной равной R = 1 и площади 3/4 круга с радиусом R = 1.
Если последовательно УМЕНЬШАТЬ В ДВА РАЗА площадь такой фигуры, то на числовой оси получается НЕравномерное соотношение отрезков, которое НЕВОЗМОЖНО отобразить ЦИФРАМИ...
То есть, такая "шкала делений" НЕ СООТВЕТСТВУЕТ десятичной системе счисления и прямоугольной системе координат.
Но вполне достоверно известно (по показаниям компьютера), что диаметр центральной окружности (на схеме - фиолетового цвета) ровно в 16 раз меньше диаметра исходной окружности (красного цвета).
Одноугольник Стаса-Радоса.jpg
Одноугольник Стаса-Радоса.jpg (63.32 КБ) Просмотров: 614



"А КТО НЕ ВЕРИТ - ПУСТЬ ПРОВЕРИТ!"
;)
Аватара пользователя
Rados
 
Сообщения: 3558
Зарегистрирован: Вт ноя 20, 2018 8:36 am
Откуда: РОССИЯ

Re: Парадокс Stasa

Сообщение Гость » Вт янв 03, 2023 12:28 pm

Параллельные линии НЕ ПЕРЕСЕКАЮТСЯ
параллельные линии не пересекаются.jpg
параллельные линии не пересекаются.jpg (90.58 КБ) Просмотров: 611
Гость
 

Re: Парадокс Stasa

Сообщение Rados » Сб янв 07, 2023 3:56 pm

Модель "ленты Stasa" ОТЛИЧАЕТСЯ от модели "ленты Мёбиуса" тем, что нарисованные НА поверхности (2D) такой ленте ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ линии а и b могут пересекаться в ТРЁХмерном пространстве, а у Мёбиуса таких "параллельных" линий на ленте вообще НЕ ОБОЗНАЧЕНО, но так как эта лента ЗАМКНУТА без самопересечения, то она (якобы) считается "бесконечной" (без начала и конца).
А на ленте Stasa ОБЕ линии (чёрная и красная) могут НЕ перескаться! То есть это ЗАВИСИТ только "от воли создателя этой бумажной (материализованной) МОДЕЛИ!... То есть, могут перескатья, а могут и НЕ пересекаться!

В 1837 году Мёбиус опубликовал двухтомное «Руководство по статике» — одну из наиболее важных монографий 1-й половины XIX века по статике, в которой были систематизированы основные результаты, полученные к тому времени. При изложении материала автор книги пользовался и геометрическим, и аналитическим методом, причём не раз приводил геометрические иллюстрации теорем, ранее доказанных аналитическим путём, «ибо при исследованиях пространственных объектов геометрическое рассмотрение является рассмотрением по существу и поэтому наиболее естественно, тогда как аналитическая трактовка, как бы она ни была изящна, скрывает предмет под чуждыми ему обозначениями, и поэтому мы его в большей или меньшей мере теряем из виду»

Проще говоря, это именно ПАРАДОКС изображений ЗD-фигур на поверхности 2D: "если прямые линии где-то ПЕРЕСЕКАЮТСЯ, то это либо ЧУДО, либо ФОКУС"! ;)

Парадокс Мёбиуса.jpg
Парадокс Мёбиуса.jpg (44.59 КБ) Просмотров: 604
Аватара пользователя
Rados
 
Сообщения: 3558
Зарегистрирован: Вт ноя 20, 2018 8:36 am
Откуда: РОССИЯ

Re: Парадокс Stasa

Сообщение Rados » Вс янв 08, 2023 7:26 pm

Определить ФОРМУ геометрической фигуры визуально можно только вербально (устно или письменно?)!
КРУГ, нарисованный на ПЛОСКОЙ поверхности (2D) может выглядеть НЕ как КРУГ, а как ОВАЛ (или эллипс?), если плоскость рисунка будет ПОВЁРНУТА под каким-то углом относительно "луча зрения" Наблюдателя.
Так же как экран Вашего монитора, наверняка ПОВЁРНУТ относительно плоскости Вашего рабочего стола!
В декартовой системе координат и в проективной (начертательной?) геометриитакая "базовая" поверхность обычно является ГОРИЗОНТАЛЬНОЙ координатной плоскостью ХУ, а перепендикулярная к ней плоскость ХZ обычно является ФРОНТАЛЬНОЙ.
Поэтому оси координат - это есть линии ПЕРЕСЕЧЕНИЯ ТРЁХ координатных плоскостей ХУ, ZУ и ZХ.
Если какой-то материальный ОБЪЕКТ находится "в поле зрения"наблюдателя", то этот объект непременно будет ТРЁХ-мерным (объёмным) физическим телом.

А когда МЫ представляем какой-то АБСТРАКТНЫЙ (математический) объект в виде МОДЕЛИ из бумаги (такие модели называются "макетами"), то толщина самой бумаги НЕ ИМЕЕТ ЗНАЧЕНИЯ... Аналогично и т.н. "лентой Мёбиуса", которая представляет собой МОДЕЛЬ "односторонней ПОВЕРХНОСТИ с одним краем". Фактически у такой ленты (даже без учёта толщины листа) - ДВЕ стороны и ДВА края! Но при склеивании противоположных КОНЦОВ одна сторона была "вывернута наизнанку", что сразу же становится ЗАМЕТНЫМ при нанесении на одну из сторон этой ленты ДВУХ параллельных линий.

Можно даже сделать аналогичный "эксперимент" с КОНцентрическими "параллелями", и тогда одна из этих линий может быть ЗАМКНУТОЙ окружностью, а другая НЕ замкнутой кривой линией! И её можно будет тоже продолжать по прямой линии "до бесконечности". То есть, начало у такой линии ЕСТЬ, а ГДЕ находится второй конец - "НАУКЕ НЕ ИЗВЕСТНО"! ;)
Вложения
Мёбиус_2.jpg
Мёбиус_2.jpg (82.55 КБ) Просмотров: 600
Мёбиус_1.jpg
Мёбиус_1.jpg (86.8 КБ) Просмотров: 600
Аватара пользователя
Rados
 
Сообщения: 3558
Зарегистрирован: Вт ноя 20, 2018 8:36 am
Откуда: РОССИЯ

Re: Парадокс Stasa

Сообщение Rados » Чт фев 02, 2023 5:42 pm

Вот аналогичный "парадокс", свернутый из т.н. "листа Мёбиуса"!
Квадрат АВСD превращается в ЧАСТЬ ПРЯМОЙ трубы, которую можно продлевать "до [tex]\infty[/tex]", но свернуть в фигуру с названием ТОР не получится!
ТОПОЛОГИЯ не позволяет, потому что 3D-ТОР не является 3D-СФЕРОЙ (доказано Г. Я. Перельманом ещё в 2002 году)!
диагонали квадрата 002.jpg
диагонали квадрата 002.jpg (77.84 КБ) Просмотров: 535


"А кто не верит - пусть проверит"! :ugeek:
Аватара пользователя
Rados
 
Сообщения: 3558
Зарегистрирован: Вт ноя 20, 2018 8:36 am
Откуда: РОССИЯ

Re: Парадокс Stasa

Сообщение Radostar » Чт июн 22, 2023 5:06 pm

Сообщаем участникам Форума, что в дальнейших обсуждениях и комментариях вместо ника "Rados" будет использоваться ник "Radostar".
Фактически - это одно и то же ФИЗИЧЕСКОЕ ЛИЦО, но из-за переустановки программ на компьютере была утрачена прежняя регистрация на этом Форуме.
Так что "продолжение следует"!
Radostar
 
Сообщения: 171
Зарегистрирован: Чт июн 22, 2023 4:52 pm


Вернуться в Топология



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 2