Фигуры постоянной ширины

Фигуры постоянной ширины

Сообщение Rados » Пт июл 22, 2022 11:13 am

Большинство людей в общем и целом догадываются о значительной математической составляющей в различных сферах нашей жизни, но редко задумываются над математической «начинкой» окружающих предметов и явлений. Ощутить незаменимую роль «царицы наук» в повседневной жизни поможет книга «Математическая составляющая», изданная фондом «Математические этюды». Книга создавалась в одном из ведущих научных центров страны — Математическом институте им. В. А. Стеклова РАН. Её авторы — известные математики, а для читателей получить научную информацию из первых рук — большая удача. Расширенная электронная версия сборника находится на сайте «Математические этюды» по адресу: http://etudes.ru.
Последний раз редактировалось Rados Пт июл 22, 2022 1:05 pm, всего редактировалось 1 раз.
Аватара пользователя
Rados
 
Сообщения: 3252
Зарегистрирован: Вт ноя 20, 2018 8:36 am
Откуда: РОССИЯ

Re: Фигуры постоянной ширины

Сообщение Rados » Пт июл 22, 2022 11:16 am

А есть ли на плоскости помимо круга другие фигуры постоянной ширины? Оказывается, есть, и их много. Самая простая и самая знаменитая — треугольник Рёло. Точнее говоря, эта фигура только напоминает треугольник, её граница — дуги трёх окружностей с центрами в вершинах правильного треугольника, радиусы которых равны длине стороны треугольника. Можно показать (и проверить с помощью штангенциркуля), что при обхвате треугольника Рёло параллельными прямыми точками касания прямых будут одна из его вершин и какая-то точка на противолежащей этой вершине дуге окружности. Так как радиусы всех дуг равны, то результат «измерения» всегда будет одинаков.

По той же схеме, что и для тре-угольника, фигура постоянной ширины строится на любом правильном n-угольнике, имеющем нечётное число вершин. Можно построить и несимметричные фигуры постоянной ширины.

Свойство постоянной ширины легко продемонстрировать. Для этого надо изготовить набор роликов с профилями различных фигур фиксированной постоянной ширины. Если положить ролики на горизонтальную поверхность и накрыть дощечкой, то при качении роликов дощечка будет перемещаться горизонтально. Все фигуры данной постоянной ширины имеют одинаковый периметр. Есть у таких фигур и своеобразная иерархия: наи-большая площадь у круга, наименьшая — у треугольника Рёло.

Благодаря своим геометрическим свойствам фигуры постоянной ширины находят применение в различных областях.

Первый пример. Вы опускаете монету в автомат, и она отправляется в путь по монетоприёмнику. Чтобы монета не застряла, можно, конечно, расширить трубку металлоприёмника. А можно изготавливать монеты в виде фигур постоянной ширины, тогда они не застрянут в трубке, даже вращаясь. Простейшая фигура постоянной ширины, как мы знаем, — круг, в форме которого делают большинство монет. Но есть и исключения. В Великобритании 20- и 50-пенсовые монеты имеют форму фигуры постоянной ширины, построенной на правильном семиугольнике. Такая же форма у монет достоинством в полдинара, находящихся в обращении в Иордании. Изготовление монет в виде фигур постоянной ширины, отличных от круга, позволяет экономить металл, ведь, как мы знаем, при фиксированной ширине круглая монета — самая металлоёмкая.

Второй пример. До наступления цифровой эпохи фильмы снимали на киноплёнку. И в кинокамерах, и в кинопроекторах были грейферные механизмы, обеспечивавшие скачкообразное движение плёнки вдоль объектива (стандартно — 18 скачков в секунду). Движение этих механизмов задавал треугольник Рёло.

Третий пример — из области автомобилестроения. В конце 1940-х годов Ф. Г. Ванкель придумал схему двигателя без коленчатого вала, в котором поступательное движение поршней преобразуется во вращение вала мотора. В этом двигателе, называемом роторным, нет цилиндров. Ротор при вращении постоянно касается стенок камеры двигателя, разделяя рабочее пространство на три части. В двигателе Ванкеля форма ротора в сечении — треугольник Рёло.

Возвращаясь к геометрии, заметим, что если центр треугольника Рёло двигается по определённой замкнутой кривой, а сам треугольник при этом вращается вокруг центра, то он захватывает область, имеющую форму квадрата, углы которого немного закруглены. С использованием этой идеи создано сверло, позволяющее получать почти квадратные отверстия.



Подробнее см.: https://www.nkj.ru/archive/articles/27319/ (Наука и жизнь, Фигуры постоянной ширины)
Аватара пользователя
Rados
 
Сообщения: 3252
Зарегистрирован: Вт ноя 20, 2018 8:36 am
Откуда: РОССИЯ

Re: Фигуры постоянной ширины

Сообщение Гость » Сб июл 23, 2022 2:55 am

Rados писал(а):Свойство постоянной ширины...

Очень интересная тема. Постоянным может быть наверно только ноль. Его никак уже не деформировать. А ширина - это не ноль и уже не постоянна. Другое дело, изменения не заметны, иллюзия их отсутствия и что ее вызывает. Цит. из Википедии: " Переменная характеризуется только множеством значений, которые она может принимать". Раз возникла такая иллюзия, что ширина вдруг может стать постоянной, то это когда ее одно из значений обращается в ноль.
Но как такое представить во Вселенной, где человеческий мозг не абсолютно твердое тело? То есть ширина равна нулю, как бы за гранью возможного. Поэтому изменения ширины принимаются с какой-то долей постоянства, которая может поддерживаться окружающей средой.
Гость
 

Re: Фигуры постоянной ширины

Сообщение Гость » Сб июл 23, 2022 4:20 am

Rados писал(а):...эта фигура только напоминает треугольник, её граница — дуги трёх окружностей с центрами в вершинах правильного треугольника, радиусы которых равны длине стороны треугольника.

Три разных окружности могут обращаться в ноль только последовательно - нужны три разных плоскости. А три равных дуги окружности в одной плоскости не соединяются. Если рассматривать дугу, как невозможную быть постоянной, то она не принадлежит ни прямой, ни окружности.
Rados писал(а):...
... если центр треугольника Рёло двигается по определённой замкнутой кривой, а сам треугольник при этом вращается вокруг центра, то он захватывает область, имеющую форму квадрата, углы которого немного закруглены.

Так можно с помощью кривых получить все сингонии кристаллов, жидкие кристаллы.
Гость
 

Re: Фигуры постоянной ширины

Сообщение Rados » Сб июл 23, 2022 10:59 am

То есть ширина равна нулю, как бы за гранью возможного

Тогда это просто ОДНА ТОЧКА (0D)...
"Чем выше точка зрения - тем ширше горизонт"...
Аватара пользователя
Rados
 
Сообщения: 3252
Зарегистрирован: Вт ноя 20, 2018 8:36 am
Откуда: РОССИЯ

Re: Фигуры постоянной ширины

Сообщение Гость » Сб июл 23, 2022 3:04 pm

Rados писал(а):
Гость писал(а):То есть ширина равна нулю, как бы за гранью возможного

Тогда это просто ОДНА ТОЧКА (0D)...
"Чем выше точка зрения - тем ширше горизонт"...

И точки зрения тогда тоже не станет.
А поскольку еще пока есть точка зрения, то значения такие, что получается иллюзия постоянства.
Может быть и не на много шире, смотря что загораживает горизонт, например, высокоэтажные дома, отвесные скалы, северное сияние...
Гость
 

Re: Фигуры постоянной ширины

Сообщение Rados » Сб июл 23, 2022 7:59 pm

получается иллюзия постоянства.

Получается, ... но не у каждого чертёжника!
Переход из ДУХмерного пространства в ТРЁХмерное хорошо умел отображать Мауриц Эшер...
Но это уже НЕ геометрия, а ИСКУССТВО!
Вложения
waterfall.gif
waterfall.gif (52.08 КБ) Просмотров: 7722
drawing_hands.gif
drawing_hands.gif (53.55 КБ) Просмотров: 7722
Аватара пользователя
Rados
 
Сообщения: 3252
Зарегистрирован: Вт ноя 20, 2018 8:36 am
Откуда: РОССИЯ

Re: Фигуры постоянной ширины

Сообщение Гость » Вс июл 24, 2022 2:22 am

Rados писал(а):
Гость писал(а):получается иллюзия постоянства.

Переход из ДУХмерного пространства в ТРЁХмерное ...

Повсюду третье измерение. Когда этот переход, наконец, выяснится и наступит окончательное решение? Что, так трудно с третьим измерением разобраться? Если оно есть, то оно есть. А если его нет, то ничего уже нет.
Горы-овраги - а вокруг радуга, неужели не понятно, что ее не хватит на все горы-овраги растянуть? Где постоянная, если по радуге катится этот "треугольник"? Ему и деваться, собственно, некуда, как только катиться.
Гость
 

Re: Фигуры постоянной ширины

Сообщение Гость » Вс июл 24, 2022 4:06 am

Rados писал(а): ДУХмерного ...
ТРЁХмерное ...

Две меры, три меры - это что означает?
Если одинаковые меры, тогда это одна мера.
Если две одинаковые меры, тогда это не две меры, а одна и та же мера, одна мера.
Две меры - это две разные меры.
Ноль не может быть мерой, ничто не может быть измерено нулем. Посчитать можно только что-то, а что-то - это самая настоящая единица - мера! Ноль, как мера - безмерный, без меры, нет никакой меры у нуля, ноль - не мера, а ноль.
Так ведь?
Гость
 

Re: Фигуры постоянной ширины

Сообщение Rados » Вс июл 24, 2022 11:33 am

что-то - это самая настоящая единица - мера!

Какой мерой измеряете - такой результат и получите!
Единица измерения пути - это линейная мера (1D) = [tex]1^{1 }[/tex].
Единица измерения поверхности - это мера площади (2D) = [tex]1^{2 }[/tex].
Единица измерения объёма - это мера объёма (3D) = [tex]1^{3 }[/tex].

Точки измерений НЕ ИМЕЮТ, поэтому считаются "нульмерными единицами" (0D) = [tex]n^{0 }[/tex].
Их можно пересчитать только ПО КОЛИЧЕСТВУ - сколько-то ШТУК...
Если вообще никаких точек ничем не обозначено, то их количество = 0.
Аватара пользователя
Rados
 
Сообщения: 3252
Зарегистрирован: Вт ноя 20, 2018 8:36 am
Откуда: РОССИЯ

Re: Фигуры постоянной ширины

Сообщение Rados » Вс июл 24, 2022 11:40 am

Посчитать можно только что-то

Посчитайте количество пальцев на рисунке Эшера!
Держу пари, что их ровно 10 (шт.)...
А руки всего ДВЕ, но обе РАЗНЫЕ!
Одна правая, а другая левая! :lol:
Аватара пользователя
Rados
 
Сообщения: 3252
Зарегистрирован: Вт ноя 20, 2018 8:36 am
Откуда: РОССИЯ

Re: Фигуры постоянной ширины

Сообщение Rados » Вс июл 24, 2022 2:46 pm

Ноль не может быть мерой, ничто не может быть измерено нулем.

Вот именно!
Ноль - это не мера, а такая ЦИФРА, которая означает "ничто".
Получается, что "ничто не может быть измерено ничем".
Но в данном случае речь идёт о ШИРИНЕ фигур, одинаковых по размеру, то есть ПО ШИРИНЕ(1D), а не по объёму (3D).
Окружность - это не цифра "ноль", а такая замкнутая ЛИНИЯ (1D) - как буква О, например.
Окружность имеет только ДЛИНУ (без ширины), а круг имеет ПЛОЩАДЬ (без толщины).
Обычная монета имеет определённый ОБЪЁМ, потому что геометрически представляет собой ЦИЛИНДР, а не шар и не куб.
А под постоянной шириной МОНЕТЫ подразумевается её ЛЮБОЙ ДИАМЕТР, потому что у круга все диамтры РАВНЫ между собой, то есть одинаковые по длине. Если нарисовать СХЕМАТИЧНО (графически), то возьмём шесть одинаковых монет и расположим их в одной плоскости - как нарисовано на схеме.
При этом имеем в виду, что АС = 1/2 АВ, то есть, АС = ВС = 1d, где 1d - это "постоянная ширина" КАЖДОЙ окружности (то есть, диаметр).
Попробуйте переместить шестую монету в середину - так, чтобы точка В заняла место точки С, а точка С переместилась в точку А - не отрывая монету от плоскости чертежа!
пересечение окружностей.jpg
пересечение окружностей.jpg (46.33 КБ) Просмотров: 7712


НЕ ПОЛУЧИТСЯ, можете даже не пробовать! .
Для этого Вам придётся использовать "третьё измерение" - ОБЪЁМ окружающего пространства НАД поверхностью чертежа!
Потомуу что РАССТОЯНИЕ МЕЖДУ монетами МЕНЬШЕ постоянной ширины каждой из монет!
Аватара пользователя
Rados
 
Сообщения: 3252
Зарегистрирован: Вт ноя 20, 2018 8:36 am
Откуда: РОССИЯ

Re: Фигуры постоянной ширины

Сообщение Rados » Вс июл 24, 2022 2:55 pm

Тоже самое можно попробовать с ШАРАМИ на плоскости бильярдного стола (2D)...
А точки КАСАНИЯ, которые на схеме ПОКАЗАНЫ красным цветом, никакого измерения "в натуре" НЕ ИМЕЮТ!
Аватара пользователя
Rados
 
Сообщения: 3252
Зарегистрирован: Вт ноя 20, 2018 8:36 am
Откуда: РОССИЯ

Re: Фигуры постоянной ширины

Сообщение Гость » Вс июл 24, 2022 4:00 pm

Rados писал(а):Единица измерения пути - это линейная мера (1D) = [tex]1^{1 }[/tex].
Единица измерения поверхности - это мера площади (2D) = [tex]1^{2 }[/tex].
Единица измерения объёма - это мера объёма (3D) = [tex]1^{3 }[/tex].

Интересно, как это выглядит.
Линейная мера - какая-то единица, при сложении которой с другой точно такой же единицей получается соответствие пути. Между единицами предполагается ноль. Но на самом деле нуля нет, т.к. он за пределами существования единицы. А между единицами пространство, очень малое в сравнении с этой единицей, принятое за ноль. Так же эта единица не точно одинаковая. При этом она не прямая, но учитывая, что пространство тоже не содержит прямых, точность совпадения с пространством связана с выбираемой величиной единицы пути. Эта единица расположена в объеме, проходит через т.н. границу сред или в этой границе, принадлежит их пространству.
Мера площади - единица, которая при сложении с точно такой же единицей принадлежит поверхности. А точнее в границе раздела т.н. сред (их пространств), со стороны какого-либо объема, принадлежит ему. Между единицами предполагается ноль, который за пределом существования поверхности. Т.о. между почти равными единицами поверхность не нулевая.
Единица объема при сложении таких же объемных единиц заполняет пространство. Учитывая, что ноль между единицами, как и абсолютное равенство единиц не соблюдается, между единицами остается объем.
Вышло, что в любом случае при отсутствии нуля единицы измерения пути принадлежат неучтенному объему. Выбор преимущественной линейной меры его расчета перемножением линейных величин связан с соответствием меры измеряемому пространству. То есть применение линейной меры не всегда одинаково, зависит от измеряемого пути.
Гость
 

Re: Фигуры постоянной ширины

Сообщение Rados » Вс июл 24, 2022 4:24 pm

Если одинаковые меры, тогда это одна мера.

Мера у всех ШЕСТИ окружностей на схеме ОДНА - длина окружности (1D).
Толщина (или ширина?) самой линии в данном случае НЕ ИМЕЕТ ЗНАЧЕНИЯ = [tex]n^{0 }[/tex].
В топологии мы можем ПРЕОБРАЗОВАТЬ фигуру, называемую Окружностью - в фигуру под названием Эллипс, при условии, что ДЛИНА окружности равна длине линии Эллипса. И тогда можно будет "протащить" эту фигуру между двумя соседними Окружностями и обратно преобразовать этот Эллипс в Окружность, что и требовалось по условию этого "экспериментa"...
Только "в реальном пространстве" вместо монеток нужно взять какие-нибудь гибкие ОБРУЧИ одинакового раз-МЕРА, либо сделать такие обручи из полоски бумаги.
Пять таких окружностей будут СТАЦИОНАРНЫМИ, а шестую можно будет ПЕРЕМЕСТИТЬ в заданное положение, немного ИЗМЕНИВ ФОРМУ этой фигуры.
Длина самой линии (на схеме показано красным цветом) при этом НЕ МЕНЯЕТСЯ...
преобразование  окружности в эллипс.jpg
преобразование окружности в эллипс.jpg (49.12 КБ) Просмотров: 7711


"Эллипс гомеоморфен Окружности" - про это уже давно ЗНАЮТ все математики...
Аватара пользователя
Rados
 
Сообщения: 3252
Зарегистрирован: Вт ноя 20, 2018 8:36 am
Откуда: РОССИЯ

Re: Фигуры постоянной ширины

Сообщение Гость » Вс июл 24, 2022 8:11 pm

Rados писал(а):
Гость писал(а):Если одинаковые меры, тогда это одна мера.

Мера у всех ШЕСТИ окружностей на схеме ОДНА - длина окружности (1D)...
... И тогда можно будет "протащить" эту фигуру между двумя соседними Окружностями и обратно преобразовать этот Эллипс в Окружность, что и требовалось по условию этого "экспериментa"...

Только "треугольник" не эллипс, места "касания" разные.
Гость
 

Re: Фигуры постоянной ширины

Сообщение Гость » Пн июл 25, 2022 2:29 am

Rados писал(а):Только "в реальном пространстве" вместо монеток нужно взять какие-нибудь гибкие ОБРУЧИ одинакового раз-МЕРА, либо сделать такие обручи из полоски бумаги.

Одинакового размера "в реальном пространстве" обручи только из абсолютно твердого тела.
Гость
 

Re: Фигуры постоянной ширины

Сообщение Гость » Пн июл 25, 2022 2:52 am

Rados писал(а): НЕ ПОЛУЧИТСЯ, можете даже не пробовать!
Для этого Вам придётся использовать "третьё измерение" - ОБЪЁМ окружающего пространства НАД поверхностью чертежа!
Потомуу что РАССТОЯНИЕ МЕЖДУ монетами МЕНЬШЕ постоянной ширины каждой из монет!

О чем и речь, что третьё измерение не только над поверхностью чертежа, а и в этой поверхности. И так хотя бы он не равен нулю, этот объем. И может деформироваться и фигура не эллипс и не треугольник. Сечения ее тоже не провести. Сингулярность.
Гость
 

Re: Фигуры постоянной ширины

Сообщение Rados » Пн июл 25, 2022 9:50 am

третьё измерение не только над поверхностью чертежа

Тоже верно!
ПОД поверхностью чертежа тоже есть какой-то ОБЪЁМ (3D)...
Если у Эшера на 2D-рисунке такие ТРЁХмерные руки, то это Вам только ТАК КАЖЕТСЯ!
И у водопада на рисунке высота постояная, но "в натуре" так НЕ БЫВАЕТ!

Если Вы (случайно) увидите себя в зеркале - не верьте глазам своим!
ВАС ТАМ НЕТ! :lol:
Аватара пользователя
Rados
 
Сообщения: 3252
Зарегистрирован: Вт ноя 20, 2018 8:36 am
Откуда: РОССИЯ

Re: Фигуры постоянной ширины

Сообщение Гость » Вт июл 26, 2022 1:26 am

Rados писал(а):
Гость писал(а):третьё измерение не только над поверхностью чертежа

ПОД поверхностью чертежа тоже есть какой-то ОБЪЁМ (3D)...

Вы берет умеете вязать крючком? Как поверхность получите?
Или по краю круглого куска материала прошиваете стежками по два и сборите один к двум, шапочка получится - выпуклость.
Количество единиц по краю уменьшается, было 1 к 1 стежок, а стало 1 на 2. Куда расположился третий стежок - между двумя расположился, там, в гладком материале.
Объем, а что это? Количество не равно и три единицы, а равно и ноль единиц. Хоть как.
В поверхности уже объем. Разные три единицы. А они по любому разные. Равны только нули - один ноль.
И над и под и в поверхности единицы.
Не так скажете, а как?
Гость
 

След.

Вернуться в Топология



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 2

cron