Дискретная математика

Дискретная математика

Сообщение Rados » Пт янв 14, 2022 9:08 am

Понятие множества
Под множеством математики понимают соединение каких-либо объектов в одно целое.
Создатель теории множеств немецкий математик Георг Кантор (1845-1918) определил множество как «объединение в одно целое объектов,
хорошо различаемых нашей интуицией или нашей мыслью».
Он же сформулировал это короче: «множество – это многое, мыслимое нами как единое».
На самом деле ни одна из этих фраз не является определением в строгом математическом понимании.
Понятие множества вообще не определяется, это одно из первичных понятий математики.
Его можно пояснить, приводя более или менее близкие по смыслу слова: коллекция, класс, совокупность, ансамбль, собрание, или примеры: партия, команда, экипаж корабля – множество людей, стая – множество птиц, созвездие – множество звезд.
Множества, рассматриваемые в математике, состоят из математических объектов (чисел, функций, точек, линий и т.д.).

Объекты, из которых состоит множество, называют его элементами.
Важно отметить, что в множестве все элементы отличаются друг от друга, одинаковых элементов быть не может!
Тот факт, что элемент х принадлежит множеству А, обозначают так: х[tex]\in[/tex]А.
А если не принадлежит, то пишутт вот так: х[tex]\notin[/tex]А.
Множества бывают конечные и бесконечные. Конечное множество может быть задано перечислением его элементов, при этом список элементов
заключается в фигурные скобки, например:
{1, 2, 4, 8, 16}
{a, b, c, d}
{красный, желтый, зеленый}.

Число элементов в конечном множестве называется его мощностью.
Мощность множества Х обозначается |X|.
Иногда и бесконечные множества задаются в форме перечисления элементов с использованием многоточия, например:
{1, 2, 3, 4 ...}
{1, 4, 9, 16 ...}
При этом предполагается, что читающий подобную запись знает, как должен быть продолжен написанный ряд (или его следует предупредить об этом).

Примеры бесконечных множеств:
N = {1, 2, 3, 4 ...} - множество всех натуральных чисел;
No = {0, 1, 2, 3, 4 ...} - множество натуральных чисел с добавленным элементом 0;
Z = {0, -1, 1, 2, -2, 3, -3 ...} - множество всех целых чисел;
Q - множество всех рациональных чисел;
R - множество всех вещественных чисел.

Пустое множество обозначается знаком [tex]\varnothing[/tex], оно не содержит ни одного элемента: |[tex]\varnothing[/tex]| = 0.

... (продолжение следует) ...
Аватара пользователя
Rados
 
Сообщения: 3252
Зарегистрирован: Вт ноя 20, 2018 8:36 am
Откуда: РОССИЯ

Re: Дискретная математика

Сообщение Rados » Сб янв 15, 2022 3:19 pm

Иногда полезно считать, что существует некое универсальное множество (универс, универсум), содержащие все элементы, представляющие интерес в данных обстоятельствах. Например, изучая свойства целых чисел, мы можем выбрать в качестве универса множество Z , а занимаясь геометрией на плоскости – множество всех точек плоскости.
Обычно универс обозначают буквой U.
Часто множество задают указанием свойства P , выделяющего элементы этого множества среди всех элементов универса U.
Тот факт, что элемент х имеет свойство Р записывают так: P(x).
Множество всех элементов из U, имеющих свойство P(x) , представляется в форме: {x[tex]\in[/tex] U:P(x)}
или {x : x [tex]\in[/tex] U и P(x)} или просто {x: P(x), если ясно, о каком универсе идет речь.
Например:
{x [tex]\in[/tex] N : x четно};
{x : x [tex]\in[/tex] Z и x > 0} = N;
{[tex]x^{2 }[/tex] : x - 2 = 0} = {[tex]\sqrt{2}[/tex], - [tex]\sqrt{2}[/tex]}.

... (продолжение следует) ...
Аватара пользователя
Rados
 
Сообщения: 3252
Зарегистрирован: Вт ноя 20, 2018 8:36 am
Откуда: РОССИЯ

Re: Дискретная математика

Сообщение Гость » Вт фев 01, 2022 11:40 pm

Rados писал(а):...
Множества, рассматриваемые в математике, состоят из математических объектов (чисел, функций, точек, линий и т.д.).
Объекты, из которых состоит множество, называют его элементами.
Важно отметить, что в множестве все элементы отличаются друг от друга, одинаковых элементов быть не может!
...
Пустое множество обозначается знаком [tex]\varnothing[/tex], оно не содержит ни одного элемента...

Все элементы разные - означает, что разные все линии, функции, числа и точки. Но числа во множественном числе предполагаются одинаковые, объединенные по признаку самого числа, а не линии, колбасы, тучи и т.д. Например, двойки или нули в числе [tex]\pi[/tex] - идет речь о двойках, одинаковых предметах. Само множественное число - оборот языка, где элемент во множественном числе клонируется - точно такой же, как все. И сказать, имея в виду одинаковые составляющие: "множество точек, множество нулей, множество прямых, множество двоек", - вполне обычно, где слово "одинаковых" упускается, так как оно подразумевается автоматически в речевом обороте. Так же обыкновенно ведут речь об одинаковых кирпичах, окнах, дверях, зданиях... одинаковых атомах, веществах - воде, одинаковой в лужах. Да и пустое множество, не содержащее ни одного разного элемента или не содержащее ни одного одинакового элемента - два разных смысла.
Как понять, о каком множестве речь: математическом с разными элементами или речевом обороте с одинаковыми?
В чем разница элементов множества?
Гость
 

Re: Дискретная математика

Сообщение Rados » Ср фев 02, 2022 3:03 pm

о каком множестве речь

В данном Форуме имеются в виду именно математические МНОЖЕСТВА...
Количество - это какое-то МНОЖЕСТВО единиц (элементов множества).
Дискретная математика НЕ ПРОТИВОРЕЧИТ теории числе:
"По своим методам теория чисел делится на четыре части: элементарную, аналитическую, алгебраическую и геометрическую. Методы теории чисел широко применяются в криптографии, вычислительной математике, информатике" (конец цитаты)... Другими словами, применение различных математических методов зависит от конкретных задач, требующих количественных вычислений...
Если количество элементов = 0, то и вычислять в этом ПУСТОМ множестве какие-то ПОДмножества или группы элементов - просто НЕ ИМЕЕТ СМЫСЛА...
Аватара пользователя
Rados
 
Сообщения: 3252
Зарегистрирован: Вт ноя 20, 2018 8:36 am
Откуда: РОССИЯ

Re: Дискретная математика

Сообщение Гость » Чт фев 03, 2022 4:11 am

Rados писал(а):
о каком множестве речь

В данном Форуме имеются в виду именно математические МНОЖЕСТВА...
Количество - это какое-то МНОЖЕСТВО единиц (элементов множества).

Конечно, имеются в виду, потому, что это не лингвистический, а математический форум, - об этом спору нет.
Но слово "единиц" уже стоит во множественном числе. По-русски не говорят "множество единица" или "множество элемент", не называя этим само множество. Т.е. не помещая это название в кавычки, как, например, множество "Элемент", множество "Единица".
Множественное число предполагает одинаковое что-то у всех частей, которые имеются в виду в любом разделе языка, включая математику, физику. И это обстоятельство, множественного числа в языке, уже обуславливает одинаковый признак чего-бы то ни было из-за невозможности речевого оборота. Из этой невозможности следует, что и пустое множество либо не содержит ни одного одинакового элемента, либо не содержит разные элементы, либо все вытекающие варианты сочетания одинаковых и разных элементов. Количество так же может предполагаться одинаковых элементов или разных элементов, а так же предоставлено выбрать одинаковые из количества, и тех и других разных или одинаковых. Одинаковый признак определяет само понятие, само первичное слово, не отделим от него, относится ко всему, что бы не предполагалось, на что бы не падало внимание. Его избежать можно только в единственном числе.
Отсутствие различения одинакового и разного - это недостаток перевода математических трудов или отсутствие необходимого оборота в бывшем ранее языке оригинала?
Как-то иначе можно называть количество одинаковых элементов, количество разных и одинаковых вместе? Разные или одинаковые элементы предполагает универсум?
Объединение в одно целое одинаковых или разных каких-либо объектов имеете в виду и почему?
Гость
 

Re: Дискретная математика

Сообщение Гость » Чт фев 03, 2022 6:20 am

Rados писал(а):... одинаковых элементов быть не может! ...

Почему?
Гость
 

Re: Дискретная математика

Сообщение Гость » Чт фев 03, 2022 8:18 am

Rados писал(а):Количество - это какое-то МНОЖЕСТВО единиц (элементов множества).

А может где-то была ошибка перевода?
Можно с таким же успехом перевести:" Количество - это какое-то МНОЖЕСТВО единицы (элемента множества)." Почему бы нет?
Гость
 

Re: Дискретная математика

Сообщение Rados » Чт фев 03, 2022 1:08 pm

Одинаковый признак определяет само понятие, само первичное слово

Это тоже давно ИЗВЕСТНО - "из письменных источников":
В НАЧАЛЕ БЫЛО СЛОВО... (ну и тд)...
Устная речь и письменные знаки (сигнатуры) воспринимаются НЕоднозначно в разное время, в разных странах, разными индивидуумами.
Математика оперирует ОБЩИМИ понятиями (аксиомами), которые нужно просто ЗНАТЬ!
В чём ОТЛИЧИЕ "школьной" геометрии от алгебры?
Именно в ГРАФИЧЕСКОМ отображении каких-то счётных единиц (геометрических точек, чёрточек, кружочков и тп).
"Точка НЕ ИМЕЕТ частей (мер)" - это аксиома, которая НЕ ТРЕБУЕТ "доказательств".
Натуральные числа - это ЦЕЛЫЕ числа (без нуля и дробей), которые отображаются на числовой ОСИ "нульмерными точками"...
В арифметике НЕ ИСПОЛЬЗУЕТСЯ декартова система координат, поэтому единицы принято считать ШТУКАМИ, независимо от их свойств или величины.
Поэтому действие ВЫЧИТАНИЯ определённого КОЛИЧЕСТВА штук из МНОЖЕСТВА таких же штук обозначается знаком (-) минус.
А физически НЕВОЗМОЖНО вычесть какое-то множество штук из множества, состоящего из МЕНЬШЕГО количества этих штук.
Поэтому т.н. "отрицательные" числа в математике не являются НАТУРАЛЬНЫМИ числами, но давно уже используются на практике для определения "недостачи или ДОЛГА" (в бухгалтерских расчётах). Это так же относится и к социо-логии - при определении количества человек как элементов конкретного социума (определённого множества человеков)... ТО есть, НЕ БЫВАЕТ "полтора землекопа", но БЫВАЕТ НЕДОСТАЧА в потребности таких "землекопов", которая обозначается знаком "минус"... Если в какой-то конкретной задаче "число землекопов равно нулю", то это значит, что таких "элементов множества" (в данном случае) НЕ ТРЕБУЕТСЯ, ... ... но они СУЩЕСТВУЮТ!!!

"Бога НЕТУ, но ИХ всегда было МНОГО"... :lol:
Аватара пользователя
Rados
 
Сообщения: 3252
Зарегистрирован: Вт ноя 20, 2018 8:36 am
Откуда: РОССИЯ

Re: Дискретная математика

Сообщение Гость » Пт фев 04, 2022 2:26 am

Rados писал(а):
Одинаковый признак определяет само понятие, само первичное слово

Это тоже давно ИЗВЕСТНО - "из письменных источников":
В НАЧАЛЕ БЫЛО СЛОВО
(ну и тд)...
Устная речь и письменные знаки (сигнатуры) воспринимаются НЕоднозначно в разное время, в разных странах, разными индивидуумами.

Да, воспринимаются по-разному. Со временем воспринимающий человек изменяется и восприятие с ним. С другой стороны слово, произнесенное в разное время жизни или написанное в молодости и стареющей рукой - уже не одинаковое. Но этого не достаточно, чтобы воспринять его чем-то другим, например, мурлыканьем кошки, и не относить к множеству. По этому, одинаковому признаку, сравнивается элемент и множество таких же элементов, например ветвь дерева, на которой растут другие ветви. Но то, что на этой ветви уже нет листьев, как на других, остается разницей элемента с самим собой во времени. Остается ли со временем элемент?
Гость
 

Re: Дискретная математика

Сообщение Rados » Пт фев 04, 2022 8:06 am

Остается ли со временем элемент?

Фактор времени - это уже совсем другое ЯВЛЕНИЕ, у которого и "единицы измерения" абсолютно ДРУГИЕ.
Естественно, что со временем изменяются и СВОЙСТВА различных материальных тел...
В таком случае МНОЖЕСТВО элементов нужно рассматривать с учётом гегелевского принципа "Переход КОЛИЧЕСТВЕННЫХ отношений - в КАЧЕСТВЕЕНЫЕ".
А множества, состоящие из различных материалов (веществ)- как сложную СИСТЕМУ элементов (компактное множество).
"Система есть СОВОКУПНОСТЬ элементов этой системы и СВЯЗЕЙ между ними"...
Если убрать эти СВЯЗИ, то какие-то ОТДЕЛЬНЫЕ элементы уже не являются частью данной системы (множества).
В примере с деревом ствол (плюс) ветки = дерево (одна система)... Дерево (минус) ветки = ствол (уже другая система элементов).
СО ВРЕМЕНЕМ из ствола могут вырасти ДРУГИЕ ветки, а из ветки можно вырастить НОВОЕ дерево...
Но этим занимаются НЕ математики, а юные натуралисты (мичуринцы)...
Аватара пользователя
Rados
 
Сообщения: 3252
Зарегистрирован: Вт ноя 20, 2018 8:36 am
Откуда: РОССИЯ

Re: Дискретная математика

Сообщение Гость » Сб фев 05, 2022 6:01 am

Rados писал(а):
Остается ли со временем элемент?

Естественно, что со временем изменяются и СВОЙСТВА различных материальных тел...
В таком случае МНОЖЕСТВО элементов нужно рассматривать с учётом гегелевского принципа "Переход КОЛИЧЕСТВЕННЫХ отношений - в КАЧЕСТВЕЕНЫЕ".

"Качество - ...совокупность существенных признаков...", цит. из Википедии. Признаков - уже стоит во множественном числе, а это какое-то количество признаков, не один признак. И этим качество - не говорит об одинаковых и/или разных признаках идет речь. Математически же - одинаковые числа и разные числа - четко определенные понятия во множественном числе. От изменения количества разные числа не станут одинаковыми.
Если со временем изменяются свойства тел, тогда почему бы не сказать, что тела становятся другими телами?
Гость
 

Re: Дискретная математика

Сообщение Гость » Сб фев 05, 2022 7:55 am

Rados писал(а):
Остается ли со временем элемент?

Фактор времени - это уже совсем другое ЯВЛЕНИЕ, у которого и "единицы измерения" абсолютно ДРУГИЕ...

И сколько единиц времени? Во всяком случае, если трехмерный элемент обуславливает три разные единицы времени, об одинаковых и разных единицах все равно возникнет речь при этом.
Гость
 

Re: Дискретная математика

Сообщение Rados » Сб фев 05, 2022 8:38 am

ТрёхМЕРНОЕ множество - это ОБЪЁМ (3D), а не "три отдельных единицы".
Объём "штуками" не вычисляется, то есть сначала определяется ОБЪЕКТ, а потом его раз-МЕРЫ, свойства и количественный состав (элементы).
"ЧТО-ГДЕ-КОГДА" [tex]\in[/tex]"Объект-Место-Время", а потом можно посчитать - СКОЛЬКО.
ЧТО? Множество яблок.
ГДЕ? В двух корзинах.
КОГДА? В сей час.
Требуется подсчитать КОЛИЧЕСТВО (а не объём) яблок: СКОЛЬКО (штук) яблок нужно переложить из одной корзины в другую, чтобы было ПОРОВНУ?!!
Корзины - это одно множество, а яблоки - это ДРУГОЕ множество.
Единицы измерения одинаковые - "штуки", но ЭЛЕМЕНТЫ множеств - РАЗНЫЕ...
При этом расстояние (1D) МЕЖДУ корзинами сущестувует, но для решения ЭТОЙ задачи - не имеет значения.
Аватара пользователя
Rados
 
Сообщения: 3252
Зарегистрирован: Вт ноя 20, 2018 8:36 am
Откуда: РОССИЯ

Re: Дискретная математика

Сообщение Гость » Сб фев 05, 2022 9:54 am

Rados писал(а):
Остается ли со временем элемент?
...
А множества, состоящие из различных материалов (веществ)- как сложную СИСТЕМУ элементов (компактное множество).
"Система есть СОВОКУПНОСТЬ элементов этой системы и СВЯЗЕЙ между ними"...
Если убрать эти СВЯЗИ, то какие-то ОТДЕЛЬНЫЕ элементы уже не являются частью данной системы (множества).

Если убрать какие-то одинаковые элементы "связь" или "отдельные", это говорит только о разных и/или одинаковых элементах множества. "Связь" по сути элемент, такое же, как "мысль" или "место во Вселенной". А Если иметь в виду конечное множество и бесконечное, то возникнет вопрос о том, бывает ли бесконечно разное или бесконечно одинаковое, как и вечно одно и то же, когда изменений во времени нет.
Гость
 

Re: Дискретная математика

Сообщение Гость » Сб фев 05, 2022 10:12 am

Rados писал(а):ТрёхМЕРНОЕ множество - это ОБЪЁМ (3D), а не "три отдельных единицы".
Объём "штуками" не вычисляется, то есть сначала определяется ОБЪЕКТ, а потом его раз-МЕРЫ, свойства и количественный состав (элементы).

Почему отдельные единицы? Какой объект? Когда будут всего три единицы и их нечем разделять будет, тогда и будет объем. А когда между ними еще такие же, то это объект, состоящий из объемных уже других единиц.
Гость
 

Re: Дискретная математика

Сообщение Rados » Сб фев 05, 2022 3:54 pm

Какой объект?

В данном случае имеется в виду именно объёмный ФИЗИЧЕСКИЙ ОБЪЕКТ, который алгебраически записывается как ПРОИЗВЕДЕНИЕ трёх размеров = [tex]a^{3 }[/tex] = a x a x a... Расстояние между корзинами (в задачке про яблоки) измеряется не "кубами", а линейными единицами измерения (1D).
Число корзин в задачке известно = 2 ... (множество, состоящее из ДВУХ под-множеств).
Количество яблок в первой корзине = X штук, а во второй корзине их на три штуки МЕНЬШЕ, чем в первой = (X - 3) штук.
Объём КАЖДОГО яблока нам неизвестен, но ОБЩЕЕ их количество будет равно X + (X-3) = 2X - 3.
Следовательно, эта задача НЕ имеет решения в целых числах... Просто потому что число "три" - НЕЧЁТНОЕ...
А если количество яблок в первой корзине будет на 2 единицы БОЛЬШЕ, чем во второй корзине, то тогда эта же задача будет иметь МНОЖЕСТВО решений.
Просто потому что число "два" - ЧЁТНОЕ...
Что тут непонятного?

Такие задачки можно решать даже УСТНО (или в уме), вообще не используя графических изображений или математических символов.
Единственным "числом", в котором вообще нет НИЧЕГО, является "ноль" (пустота).
Вас интересует "пустое множество нулей" или бесконечное множество НАТУРАЛЬНЫХ единиц (элементов) - сформулируйте свои "возражения" на конкретном ПРИМЕРЕ, плиз!
Аватара пользователя
Rados
 
Сообщения: 3252
Зарегистрирован: Вт ноя 20, 2018 8:36 am
Откуда: РОССИЯ

Re: Дискретная математика

Сообщение Гость » Сб фев 05, 2022 5:24 pm

Rados писал(а):
Какой объект?

В данном случае имеется в виду именно объёмный ФИЗИЧЕСКИЙ ОБЪЕКТ, который алгебраически записывается как ПРОИЗВЕДЕНИЕ трёх размеров = [tex]a^{3 }[/tex] = a x a x a... Расстояние между корзинами (в задачке про яблоки) измеряется не "кубами", а линейными единицами измерения (1D).

И какими объектами вы собираетесь измерять линейные единицы измерения, которые потом умножать? Дело в том, что какой бы вы не взяли в руку измерительный объект, на нем невозможно выделить точные линейные единицы, потому, что объекты не совпадают и деформированы вследствие действия гравитации. Хоть какой объект вы представите, хоть флуктуацию поля, излучение в разных вакуумах, это будут объемные объекты, выделить точно линейные единицы на них непредсказуемо. Речь шла о множестве и элементе, выделении одинаковых и разных элементов. Существование сопоставимых с ними объектов может быть на разных этапах эволюции Вселенной. И это для того, чтобы представить, где или когда линейные единицы возможно совпадают с объективными размерами.
В задачке с линейками, приложенными к воздуху между корзинами именно объемные единицы линеек, точность которых очень далека от учета гравитации. Но и в детском садике ими пользуются, как линейными, поскольку лучшего не могут представить.
Гость
 

Re: Дискретная математика

Сообщение Rados » Сб фев 05, 2022 9:10 pm

В задачке с линейками, приложенными к воздуху между корзинами

Ну вот...
Спрашивалось "про теорию ЧИСЕЛ", а не "про ТОЧНОСТЬ измерений"...
Количество ТОЧЕК (0D)- это НЕ "объём", а нуль-МЕРНОЕ множество, то есть, КООРДИНАТЫ в пространстве (3D) или НА плоскости (2D).
Математическая ТОЧКА - это НЕ физический "объект", поэтому точка НИЧЕМ не измеряется...
А множество НАТУРАЛЬНЫХ чисел НЕ СОДЕРЖИТ в себе "отрицательных и дробных единиц"...
Если МЕЖДУ корзинками НЕТ никакого расстояния, то расстояние между ними = 0.
А если КАКОЕ-ТО расстояние между ними и ЕСТЬ, то для решения ДАННОЙ задачи это расстояние НЕ ИМЕЕТ ЗНАЧЕНИЯ.

Про это ЗНАЮТ даже первоклассники! Поэтому складывать "кубометры" и яблоки - это бестолковая "затея"...

И какими объектами вы собираетесь измерять линейные единицы измерения

Линейные единицы измерения - это НЕ объекты, а принятые ДЛЯ РЕШЕНИЯ конкретной задачи значения (модули).
Количеством яблок "измерять" линейное расстояние (1D) МЕЖДУ корзинами МЫ даже НЕ СОБИРАЕМСЯ...
Но лично Вам, уважаемый Гость, это делать тоже НИКТО-с не запрещает... :lol:
Аватара пользователя
Rados
 
Сообщения: 3252
Зарегистрирован: Вт ноя 20, 2018 8:36 am
Откуда: РОССИЯ

Re: Дискретная математика

Сообщение Гость » Пн фев 07, 2022 12:57 am

Rados писал(а):Про это ЗНАЮТ даже первоклассники! Поэтому складывать "кубометры" и яблоки - это бестолковая "затея...
Линейные единицы измерения - это НЕ объекты, а принятые ДЛЯ РЕШЕНИЯ конкретной задачи значения (модули).
Количеством яблок "измерять" линейное расстояние (1D) МЕЖДУ корзинами МЫ даже НЕ СОБИРАЕМСЯ...

А количеством чего собираемся? Количеством количеств? Глаза и уши все сложат, не преживайте, разрушатся, поселятся другие микроорганизмы, им вкусно же, и изменится вид макроорганизма. Наступила цифровая эра, а у вас нет ничего кроме количества яблок, то же самое, что и модулей (заданных предварительно размеров, которые есть величины) или кубометров воздушной пустоты, - т.е. того же чего. Даже одинаковые и разные цифры различить не приходит в голову из-за такого недоразвития. Ну, чтож будем довольствоваться "обычными" и "необычными" множествами (см. Википедию) еще до парадокса Рассела.
Гость
 

Re: Дискретная математика

Сообщение Rados » Пн фев 07, 2022 8:56 am

а у вас нет ничего кроме количества яблок, то же самое, что и модулей

У НАС есть то, что НАМ требуется для решения конкретных задач.
Яблоки - это самый простой пример, ПОНЯТНЫЙ даже первоклассникам.
А если "у кого-то" есть ДРУГОЕ понимание натуральных чисел и различных многообразий, то никто не запрещает ИМ использовать эти ДРУГИЕ понятия для решения каких-то СВОИХ задач.

не преживайте, разрушатся, поселятся другие микроорганизмы, им вкусно же, и изменится вид макроорганизма

Любой ОРГАНИЗМ (хоть "микро", хоть "макро", хоть Homo Sapiens) - это компактная СИСТЕМА, состоящая из трёхмерного многообразия элементов этой системы И СВЯЗЕЙ между ними.
Любая ОРГАНИЗАЦИЯ - это тоже локальная СИСТЕМА, состоящая из определённого многообразия членов этой организации И СВЯЗЕЙ между ними.
Ферштейн?!
Аватара пользователя
Rados
 
Сообщения: 3252
Зарегистрирован: Вт ноя 20, 2018 8:36 am
Откуда: РОССИЯ

След.

Вернуться в Топология



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 1