Чем топология отличается от ГЕОметрии

[Rados]

В истоках каждого раздела Математики можно увидеть ОСНОВНУЮ ИДЕЮ.
Для того, чтобы применять на практике именно те принципы, методы и приёмы вычислений, которые соответствуют реальным ситуациям, часто требуется о-ПРЕДЕЛ-ить основные отличия абстрактных математических понятий (формул и обозначений) от реальных геометрических построений (фигур).

Поучительно сравнить понятие "г о м е о м о р ф и з м" - с понятием "к о н г р у э н т н о с т ь".
В геометрии рассматриваются отображения, сохраняющие расстояния между точками. Такие отображения называются "движениями" (или перемещениями). В результате движения каждая фигура перекладывается на новое МЕСТО как твёрдое ЦЕЛОЕ, без деформаций (без изменения расстояний). Две фигуры, которые переводятся одна в другую (совмещаются) с помощью такого перемещения, называются конгруэнтными и рассматриваются как одинаковые, как неотличимые (с геометрической точки зрения) друг от друга.
А в топологии рассматриваются отображения, БОЛЕЕ ОБЩИЕ, чем "движения", а именно ГОМЕОМОРФНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ. Две гомеоморфные между собой фигуры рассматриваются (с топологической точки зрения) как одинаковые, не отличающиеся друг от друга. Те свойства фигур, которые НЕ ИЗМЕНЯЮТСЯ при гомеоморфных отображениях, называются "топологическими свойствами" фигур или топологическими инвариантами (от латинского слова invariant - неизменный).
Известно, например, что поверхность шара (т. е. 2D-cфера) не гомеоморфна поверхности тора, ... но гомеоморфна поверхности куба!
Но как ДОКАЗАТЬ, что две фигуры не являются гомеоморфными? Ведь из того, что мы не сумели найти гомеоморфного отображения одной фигуры на другую, не вытекает с достоверностью, что такое гомеоморфное отображение не существует " в натуре"!
Для доказательства того, что две фигуры не гомеоморфны друг другу, пользуются топологическими инвариантами.
Пусть, например, с помощью некоторого правила каждой фигуре ставится в соответствие определённое ЧИСЛО. Причём так, что числа, соответствующие двум гомеоморфным фигурам, всегда оказываются РАВНЫМИ. Тогда это число выражает некоторое свойство фигуры, сохраняющееся при гомеоморфных отображениях, то есть являющееся топологическим инвариантом.
Если же окажется, что две фигуры А и В таковы, что соответствующие им числа РАЗЛИЧИМЫ, то такие фигуры не могут быть гомеоморфными!
Например:
Буква Ы представляет собой фигуру, состоящую из двух "кусков", из двух не связанных между собой ЧАСТЕЙ. Остальные буквы (кроме Ё, Й) русского алфавита состоят из одного СВЯЗНОГО "куска". Число связных "кусков", из которых состоит фигура (говорят также - "число компонент" фигуры), является топологическим инвариантом. Если две фигуры гомеоморфны, то обе они состоят из одинакового числа компонент. Поэтому бувка Ы не гомеоморфна букве О, букве П, букве С и тп...

Такие "основы топологии" легко запоминаются даже "первоклассниками"...

[Rados]

Главное ОТЛИЧИЕ топологии от НЕевклидовской геометрии заключается имено в НАГЛЯДНОСТИ непрерывных отображений.
Современные достижения в кибернетике ПОЗВОЛЯЮТ передавать такие ГРАФИЧЕСКИЕ отображения - в т.н. "информационное пространство".
При этом становится "заметно даже невооружённым глазом", что ВРЕМЯ - непрерывно, а пространство - ЛОКАЛЬНО, то есть, имеет определённое МЕСТО!
Термин "место" точно соответствует названию этого раздела математики - ТОПО-логия!
И имеет вполне определённое ЗНАЧЕНИЕ для практического применения в ТОПО-графии, причём не только на "плоской территории" участка под строительство (2D), но и в "общественном" пространстве (3D), в котором постоянно проживают не только Высшие Математики, но и "простые" Граждане России!

[Rados]

Динамическое отображение линий (1D) на плоскости (2D) предполагает "включение четвёртого измерения" - ВРЕМЕНИ!
А это уже является предметом изучения ФИЗИКИ, а не геометрии.
Поэтому пока торопиться не будем, а начнём с самых ОСНОВ топологии - пересечения одномерных линий, имеющих только ДЛИНУ.
Известно ещё из "Начал" Евклида, что две линии пересекаются на плоскости в одной ТОЧКЕ.
В алгебре часто употребляют термин "график функции", который так же изображается линией, не имеющей толщины. А в топологии такие линии называются "графами".
Граф называется "уникурсальным", если его можно нарисовать одним росчерком пера (или мелом на доске) и завершить движение в начальной точке.
Кроме буквы (О), таким же топологическим свойством обладает фигура, называемая "восьмёркой" (8). Цифровое "значение" мы пока этим фигурам не придаём, но ЗАМЕЧАЕМ, что "восьмёрка" имеет точку пересечения, которая на схеме обозначена буквой "х".
Далее просто цитируем дословно по учебнику:

[Rados]

ТОПОЛОГИЯ - раздел математики, занимающийся изучением свойств фигур (или пространств), которые сохраняются при непрерывных деформациях, таких, например, как растяжение, сжатие или изгибание.

В отличие от "стационарной" геометрии на плоскости, которую начинают изучать в "обычной" средней школе, топология имеет существенное значение в т.н. "Прикладной Математике", то есть, ДЛЯ РЕШЕНИЯ КОНКРЕТНЫХ ЗАДАЧ в различных сферах практической деятельности Человека. Многие из таких задач не всегда имеют "тривиальное" (общеизвестное) решение, поэтому требуют нестандартного (нетривиального) ТВОРЧЕСКОГО подхода, но при этом нацеленного на т.н. "Идеальный Конечный Результат" (ИКР).
Реальные объекты в окружающей среде (в Природе) обладают не только "чисто математическими" (количественными) свойствами, но всегда имеют какие-то особые (натуральные) свойства, зависящие от ВЕЩЕСТВ, из которых состоят эти объекты, а так же от воздействия на них различными факторами окружающей среды, в которой находятся эти объекты. В геометрии такие "чисто физические" свойства объектов не учитываются, а топология использует приёмы отображения реальных объектов в качестве математических моделей, сохраняющих свои КАЧЕСТВЕННЫЕ свойства даже при деформации этих моделей (геометрических фигур). Поэтому преобразовать линию окружности (1D) в периметр многоугольника (и обратно) - ТОПОЛОГИЧЕСКИ вполне допустимо! А введение в условие задачи дополнительных данных - "вещество + поле" - позволяет применять т.н. "вепольный анализ" для решение ИЗОБРЕТАТЕЛЬСКИХ задач с помощью определённых алгоритмов (АРИЗ).
Знание этих приёмов и алгоритмов значительно повышает творческий потенциал исследователей и изобретателей в практической деятельности.
Кроме этих "теоретических" решений, топология оперирует именно ПРОСТРАНСТВЕННЫМИ (трёхмерными) представлениями об измеряемых геометрических объектах - в последовательности "точка - линия - поверхность - объём" (и обратно), наглядно масштабируя ГЛОБАЛЬНЫЕ объекты в виде локальных трёхмерных макетов (на примере глобуса Земли). А для решения практических задач в сфере экономики применяется т.н. "оператор РВС" - размеры + время + стоимость.
Вооот, именно такими ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫМИ особенностями решения задач топология заметно отличается от геометрии Евклида, при этом нисколько НЕ ОТРИЦАЯ основных положений (основ) и достижений предшествующих Высших Математиков!

[Гость]

У древних геометров не было таких ИНСТРУМЕНТОВ для измерения - как у современных "физических математиков": всяких микро-скопов, теле-скопов, теле-фонов, микро-фонов, мега-фонов и "айфонов". Но кто-то из "шибко умных" пифагорейцев придумал ЦИРКУЛЬ, с помощью которого древние ГЕОметры рисовали "правильные круги" на плоскости листа бумаги. И на ГЕОграфических картах чаще всего ЗЕМЛЮ (поверхность НАШЕЙ планеты) изображали именно как КРУГ, ограниченный линией горизонта. А что ТАМ - за горизонтом - всем землянам тоже было шибко интересно!
И тогда один какой-то шибко умный римский полководец (Помпей его звали, кажись) заявил публично:
"Navigare necesse est, vivere non est necesse"
Потом этот девиз перевели на другие мнгоие языки Мира, но не совсем ТОЧНО, мол "ПЛАВАТЬ необходимо, а жить (на земле) - не обязательно!"
И тогда многие мореплаватели решили поискать Щастье - ЗА ГОРИЗОНТОМ - Новую Землю, но не планету, а ТЕРРИТОРИЮ. И поплыли они "строго на Запад", чтобы попасть в Индию с другой стороны Земного Круга, но внезападно наткнулись на Америку! А когда начали выяснять - КТО придумал такие прямоугольные координаты, то все свои ошибки в ГЕОграфии стали валить на ГЕОметрию Евклида и Декарта.
А потом уже другие Высшие Навигаторы ДОГАДАЛИСЬ, что Земля имеет не только территорию плоского диска (2D), но и акваторию, которая измеряется не только широтой и долготой, но также ГЛУБИНОЙ ... А мачты кораблей - ещё и ВЫСОТОЙ!
И тот из моряков, который умел залезть на самый верх мачты (топ по-научному) всегда оказывался "дально-виднее" остальных матросов, поэтому раньше всех обнаруживал эту самую Новую Землю - ЗА ГОРИЗОНТОМ!
Русские моряки обнаружили такую Новую Землю сначала на Севере, а потом ещё и на Юге. Но Южную Землю уже не стали называть НОВОЙ, потому что её уже назвали Анти-Арктидой!
А топология стала изучать не только ГЕОметрические свойства, но и ОСОБЕННОСТИ трёхМЕРНОГО пространства - "над, под и между всякими ториями". Основоположники топологии (в отличие от Автора Пивнематики) не стали ОТРИЦАТЬ существование противоположного полюса Земли, а совсем даже наоборот - предложили считать атмо-СФЕРУ ЗЕМЛИ (всей планеты, а не только территории) - ТРЁХ-мерным пространством (3D).
Математик Пуанкаре даже сформулировал об этом ГИПОТЕЗУ ПУАНКАРЕ, но доказать это "чисто математически" не смог (либо не успел, либо не захотел).
И даже целый Математический Институт Клэя (в США) никак не мог решить эту "задачу тысячелетия" - даже за 1 миллион американских денег!
А потом какой-то Гриша (но не Пивень) опубликовал такие ДОКАЗАТЕЛЬСТВА "в этих ваших интернетах" - совсем бесплатно (даром)!
Но ему сначала никто не поверил.
"Кто не верит - пусть проверит!" - есть в прикладной геометрии (начертательной) такой принцип...
Проверяли долго... и даже всем "математическим миром", но никаких противоречий с Высшей Математикой не обнаружили!
А чтобы формулировка Пуанкаре была ПОНЯТНЕЕ (даже НЕматематикам и НЕтупым школьникам), её надо изложить простыми словами!
Например:
"Всякий трёхмерный компактный ОБЪЕКТ, состоящий из непрерывно связанных между собой частей, топологически представляет из себя ТРЁХ-мерную сферу"... Но не точку и не шар ... и даже не тор! ... А именно такую - замкнутую криволинейную поверхность, имеющую третье измерение - ОБЪЁМ!
Гриша Перельман ДОКАЗАЛ это математически с точностью до деформации!

Если "у кого-то" есть возражения - пусть попробует "доказать обратное"!

[Гость]

В
Для того, чтобы применять на практике именно те принципы, методы и приёмы вычислений, которые соответствуют реальным ситуациям, часто требуется о-ПРЕДЕЛ-ить основные отличия абстрактных математических понятий (формул и обозначений) от реальных геометрических построений (фигур).

Поучительно сравнить понятие "г о м е о м о р ф и з м" - с понятием "к о н г р у э н т н о с т ь".
В геометрии рассматриваются отображения, сохраняющие расстояния между точками. Такие отображения называются "движениями" (или перемещениями). В результате движения каждая фигура перекладывается на новое МЕСТО как твёрдое ЦЕЛОЕ, без деформаций (без изменения расстояний). Две фигуры, которые переводятся одна в другую (совмещаются) с помощью такого перемещения, называются конгруэнтными и рассматриваются как одинаковые, как неотличимые (с геометрической точки зрения) друг от друга.
А в топологии рассматриваются отображения, БОЛЕЕ ОБЩИЕ, чем "движения", а именно ГОМЕОМОРФНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ. Две гомеоморфные между собой фигуры рассматриваются (с топологической точки зрения) как одинаковые, не отличающиеся друг от друга. Те свойства фигур, которые НЕ ИЗМЕНЯЮТСЯ при гомеоморфных отображениях, называются "топологическими свойствами" фигур или топологическими инвариантами (от латинского слова invariant - неизменный).

А проекции в геометрии изменяют расстояния и деформируют? Чем отличается топология от дифференциальной геометрии?

[Rados]

Чем отличается топология от дифференциальной геометрии?

ХОРОШИЙ ВОПРОС!
Не берусь отвечать "своими словами", чтобы чего-нибудь не напутать, поэтому приведу дословную цитату из Википедии:
"Дифференциа́льная геоме́трия и дифференциальная тополо́гия — два смежных раздела математики, которые изучают гладкие многообразия, обычно с дополнительными структурами. Они находят множество применений в физике, особенно в общей теории относительности.
Эти два раздела математики почти неразделимы, при этом часто оба раздела вместе называют дифференциальной геометрией. Различие между этими разделами состоит в наличии или отсутствии локальных инвариантов. В дифференциальной топологии рассматриваются такие структуры на многообразиях, что у любой пары точек можно найти одинаковые окрестности, тогда как в дифференциальной геометрии, вообще говоря, могут присутствовать локальные инварианты (такие как кривизна), которые могут различаться в точках.
История
Дифференциальная геометрия возникла и развивалась в тесной связи с математическим анализом, который сам в значительной степени вырос из задач геометрии. Многие геометрические понятия предшествовали соответствующим понятиям анализа. Так, например, понятие касательной предшествовало понятию производной, понятие площади и объема — понятию интеграла.
Возникновение дифференциальной геометрии относится к XVIII веку и связано с именами Эйлера и Монжа. Первое сводное сочинение по теории поверхностей написано Монжем («Приложение анализа к геометрии», 1795). В 1827 Гаусс опубликовал работу «Общее исследование о кривых поверхностях», в которой заложил основы теории поверхностей в её современном виде. С тех пор дифференциальная геометрия перестала быть только приложением анализа и заняла самостоятельное место в математике.
Огромную роль в развитии всей геометрии, в том числе и дифференциальной геометрии, сыграло открытие неевклидовой геометрии. Риман в своей лекции «О гипотезах, лежащих в основаниях геометрии» (1854) заложил основы римановой геометрии, наиболее развитой части современной дифференциальной геометрии.
Теоретико-групповая точка зрения Клейна, изложенная в его «Эрлангенской программе» (1872), то есть: геометрия — учение об инвариантах групп преобразований, в применении к дифференциальной геометрии была развита Картаном, который построил теорию пространств проективной связности и аффинной связности.
Дифференциальная топология является гораздо более молодым разделом математики, он начинает развиваться только в начале XX века." (конец цитаты)

В этом разделе Форума мы не претендуем на ПОЛНОЕ ИЗЛОЖЕНИЕ всех современных достижений топологии.
Но интерес к изучению основ этого раздела Высшей Математики особенно усилился в связи с длительной проверкой ДОКАЗАТЕЛЬСТВ Григория Перельмана "О трёхмерной сфере Пуанкаре". Сам Григорий Яковлевич от дальнейшего объяснения своих математических выводов отказался, а т.н. "Академическая Наука" никаких пояснений по этому вопросу (пока) не публикует! В то же время известно, что американские программисты-айтишники уже научились строить компьютерные МОДЕЛИ таких "односложно связных трёхмерных многообразий без краёв - гомеоморфных 3D-сфере"... То есть, "более прагматичные американцы" подошли к этому вопросу "без особых церемоний"! Но и они так же не дают никаких публичных разъяснений КАК ЭТО УСТРОЕНО...
Поэтому пытаемся разобраться САМОСТОЯТЕЛЬНО, используя доступную информацию из ранее опубликованых работ советского периода...
Но при этом многие ТЕРМИНЫ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ трактуются и понимаются (интерпретируются) РАЗНЫМИ специалистами совершенно ПО РАЗНОМУ.
То есть, никакой ЕДИНОЙ "методики преподавания" этого раздела в России пока не выработано.

[Rados]

А проекции в геометрии изменяют расстояния и деформируют?

В Евклидовой геометрии проекции отображаются на плоскостях в Декартовой системе координат.
А при отображении проекций на КРИВОЛИНЕЙНОЙ поверхности изменяются не только расстояния между точками, но и кривизна отрезков, соединяющих эти точки. Например, лучи от обычной комнатной лампочки "проецируют" на плоскость стены прямую линию в виде прямой линии (тень от прямой). Но если проективную поверхность изогнуть, то прямая линия на ней отобразится как кривая. При этом сохраняется ОСНОВНОЕ свойство - ЗАМКНУТОСТЬ (или НЕзамкнутость) кривых. "Обычная" сфера - это замкнутая поверхность, у которой есть ДВЕ стороны - наружная и внутренняя. А "трёхмерная сфера Пуанкаре" предполагает, что между этим двумя поверхностями существует определённое расстояние (толщина), то есть ОБЪЁМ 3D-сферы вычисляется КАК ПРОИЗВЕДЕНИЕ площади 2D-сферы на толщину слоя (1D).
Григорий Перельман применил в своих доказательствах систему дифференциальных уравнений (потоки Ричи), которые можно "представить физически" как тепловой поток в трёхмерном пространстве. Но похоже, что такой же "процесс дифференциации" происходит и в "звуковых потоках", то есть в МУЗЫКЕ.
А "про управление Вселенной" Гриша просто пошутил над "доверчивыми" журналистами, которые искали в его доказательствах некую Всемировую Сенсацию!

[Гость]

Современные достижения в кибернетике ПОЗВОЛЯЮТ передавать такие ГРАФИЧЕСКИЕ отображения - в т.н. "информационное пространство".
При этом становится "заметно даже невооружённым глазом", что ВРЕМЯ - непрерывно, а пространство - ЛОКАЛЬНО, то есть, имеет определённое МЕСТО!
Термин "место" точно соответствует названию этого раздела математики - ТОПО-логия!

А чем подтверждается, что время непрерывно?

[Rados]

А чем подтверждается, что время непрерывно?

С Л О В А М И - у с т н о !

[Гость]

А чем подтверждается, что время непрерывно?

С Л О В А М И - у с т н о !

Значит, относительно непрерывно?
Мы же можем нарисовать систему координат и через какое-то время стереть ее, включить свет и выключить, создать и разрушить объект. Время существования чего бы то ни было ограничено, начинается и кончается. Всему свое время. Телами измеряется само время, пока они существуют? Складывается с временем существования других? Относительно чего непрерывно время?

[Rados]

Относительно чего непрерывно время?

Тоже ХОРОШИЙ вопрос!
Но вообще-то этот "вопрос" ОТНОСИТСЯ не к ТОПО-логии (определении МЕСТА), а к ОТО (Общей Теории Относительности).
Но я постараюсь Вам ответить, уважаемый Гость!
Время непрерывно относительно пространства, но при этом составляет с ним (с пространством) некий "пространственно-временной континуум".
Известно, например, что ПУТЬ (1D) может быть замкнутым, либо НЕ замкнутым - из точки А в точку В, причём точки А и В расположены в РАЗНЫХ МЕСТАХ пространства 3D. А если точка А совпадает с точкой В, то такая траектория пути является ЗАМКНУТОЙ линией.
То есть, в результате такого "перемещения" (отображения) ничего не изменилось КРОМЕ ВРЕМЕНИ.
Время, за которое точка А перемещается в точку В - это ПЕРИОД (промежуток времени, Data). Скорость перемещения в математке (и физике) определяется ОТНОШЕНИЕМ длины пути (S) к периоду времени (t), V = S/t ... так ведь?
Скорость может быть равна нулю. И длина пути тоже может быть равна нулю.
Но период времени НЕ МОЖЕТ БЫТЬ РАВЕН НУЛЮ.
Потому что время (Zeit) НЕПРЕРЫВНО, то есть не имеет ни начала, ни конца - как замкнутая линия О.

[Rados]

Время существования чего бы то ни было ограничено

"Чего БЫ то ни было" - это не объект исследований, и тем более не "предмет для обсуждений" на Математическом Форуме.
Сформулируйте вопрос попроще: "Что? Где? Когда?"
ЧТО - объект.
ГДЕ - местоположение ЭТОГО объекта.
КОГДА - период времени.

[Гость]

ПУТЬ (1D) может быть замкнутым,...

Путь расположен в одном
пространственном измерении. Измерение обозначено в Декартовой системе координат в 1D - это прямая линия, проходящая по одной из осей х, у или z. Две координаты равны 0 - не измеряются, одна измеряется - измерение одно 1D - длина пути. Где этот путь 1D может быть замкнутый? Какие координаты места замыкания?

[Гость]

ПУТЬ (1D) может быть замкнутым,...

Путь расположен в одном
пространственном измерении. Измерение обозначено в Декартовой системе координат в 1D - это прямая линия, проходящая по одной из осей х, у или z. Две координаты равны 0 - не измеряются, одна измеряется - измерение одно 1D - длина пути. Где этот путь 1D может быть замкнутый? Какие координаты места замыкания?

И для того, чтобы попытаться замкнуть путь, необходимо поставить точку пути с координатой на другой оси - в другом измерении. Тогда либо путь разомкнется, прямая (в частном случае касательная) уже в другом измерении, либо путь -"нечто", расположенное в 3D, но тогда у него три координаты и объем, либо третий вариант. Какой?

[Rados]

В Декартовой системе координат сначала устанавливаются координатные ОСИ (X) (Y) и (Z), проходящие через одну ОБЩУЮ точку, которую условно обозначают цифрой "0" - как начало отсчёта координат на числовых осях.
Длина пути (1D) - это траектория движения от какой-то начальной точки в определённый момент времени.
Траектория ДВИЖЕНИЯ - это не ось координат, а ГРАФИК какой-то ОПРЕДЕЛЁННОЙ математической функции. А это уже раздел "дискретной математики", изучающий свойства графов!
Теория графов находит применение, например, в геоинформационных системах (ГИС). Существующие или вновь проектируемые дома, сооружения, кварталы и т. п. рассматриваются как вершины, а соединяющие их дороги, инженерные сети, линии электропередачи и т. п. — как рёбра. Применение различных вычислений, производимых на таком графе, позволяет, например, найти кратчайший объездной путь или ближайший продуктовый магазин, спланировать оптимальный маршрут.
Родоначальником теории графов считается Леонард Эйлер. В 1736 году в одном из своих писем он формулирует и предлагает решение задачи о семи кёнигсбергских мостах, ставшей впоследствии одной из классических задач теории графов. Термин «граф» впервые ввел Сильвестр, Джеймс Джозеф в 1878 году в своей статье в Nature.
Терминология теории графов поныне не определена строго. В частности, в монографии Гудман, Хидетниеми, 1981 сказано: «В программистском мире нет единого мнения о том, какой из двух терминов „граф“ или „сеть“. Мы выбрали термин „сеть“, так как он, по-видимому, чаще встречается в прикладных областях». Аналогичная ситуация с терминами «вершина/точка».

Применение теории графов:
В химии (для описания структур, путей сложных реакций, правило фаз также может быть интерпретировано как задача теории графов); компьютерная химия — сравнительно молодая область химии, основанная на применении теории графов. Теория графов представляет собой математическую основу хемоинформатики. Теория графов позволяет точно определить число теоретически возможных изомеров углеводородов и других органических соединений.
В информатике и программировании (граф-схема алгоритма, автоматы).
В коммуникационных и транспортных системах. В частности, для маршрутизации данных в Интернете.
В экономике.
В логистике.
В схемотехнике (топология межсоединений элементов на печатной плате или микросхеме представляет собой граф или гиперграф).

В "обычной" советской школе эти основы топологии изучались в рамках "начертательной геометрии" и преподавались методами "наглядной топологии". Сейчас для этого используются компьютеры с программами 3D-моделирования, иначе называемыми BIM-технологиями.

[Rados]

чтобы попытаться замкнуть путь, необходимо поставить точку пути с координатой на другой оси

Числовые оси - это ПРЯМЫЕ линии (1D), а траектория чаще всего - это КРИВАЯ линия (1D).
Например, окружность (или эллипс) - это ЗАМКНУТАЯ КРИВАЯ линия, длину которой можно измерить в линейных единицах измерения (1D).
На схеме ниже изображена такая траектория с учётом перемещения кривых линий ВНУТРИ окружности.
При этом можно заметить, что в какой-то ОДИН определённый момент, движущаяся кривая линия, ограниченная с двух сторон стрелками, становится ДИАМЕТРОМ, то есть, отрезком определённой длины (1D), по которому можно вычислить длину этой окружности.

[Rados]

необходимо поставить точку пути с координатой на другой оси

"Другой оси" - кроме окружности (1D) в данном случае НЕ ДАНО!
Одна точка (правый конец переменной кривой) СТОИТ неподвижно относительно левого конца этой кривой.
Скорость перемещения второй точки (противоположного конца кривой) по окружности можно определить по формуле:
V = [tex]\pi[/tex]D/t, где
D - диаметр данной окружности,
1/t - период времени (угловая скорость).
[tex]\pi[/tex] - это НЕ ЧИСЛО, а постоянный коэффициент, который в натуральных числах выражется как соотношение 22/7.

При этом скорость перемещения самой окружности ОТНОСИТЕЛЬНО экрана Вашего монитора равна НУЛЮ, но эту замкнутую кривую можно передвинуть ВМЕСТЕ с Вашим монитором... или просто выключить компьютер...

[Гость]

Числовые оси - это ПРЯМЫЕ линии (1D),...

В Декартовой системе в одном измерении 1D разьве проходят кривые линии?

...
а траектория чаще всего - это КРИВАЯ линия (1D).

В какой системе координат кривая может быть проведена в одном пространственном измерении 1D? Может ли она в этой системе быть замкнутой?
Утверждение:

...
То есть, в результате такого "перемещения" (отображения) ничего не изменилось КРОМЕ ВРЕМЕНИ....

Ни для какой системы координат не подходит, поскольку кривые прерываются в разных пространственных измерениях, а движение вдоль прямых осей изменяет одно из измерений вместе с временем. То есть ни непрерывности, ни замкнутости ничем не подтверждается. И 3D сфера невозможна, если смотреть на пространство, ее составляющее, так же, как треугольник Пенроуза.

[Гость]

необходимо поставить точку пути с координатой на другой оси

"Другой оси" - кроме окружности (1D) в данном случае НЕ ДАНО!

Она не измеряется диаметром. Это означает, что в Декартовой системе по двум осям невозможно задать координаты, соответственно всем точкам дуги окружности, и она прерывается на дуги.

Одна точка (правый конец переменной кривой) СТОИТ неподвижно относительно левого конца этой кривой.

Но концы не совпадают. Длины ПИ не хватает.

1/t - период времени (угловая скорость).
[tex]\pi[/tex] - это НЕ ЧИСЛО, а постоянный коэффициент, который в натуральных числах выражется как соотношение 22/7.

Не позволяющий отложить равные промежутки времени на числовой оси.

При этом скорость перемещения самой окружности ОТНОСИТЕЛЬНО экрана Вашего монитора равна НУЛЮ, но эту замкнутую кривую можно передвинуть ВМЕСТЕ с Вашим монитором... или просто выключить компьютер...

Скорость перемещения вещества, которое расположено по этой фигуре, включая пыль на экране, притягивается к Земле, и надо постоянно питать комп и кушать еду, чтобы ее пытаться замыкать и созерцать это временно.