Гость » Сб янв 20, 2018 5:08 pm
В первом задании архисложного ничего нет.
Для начала возведем в квадрат числитель дроби.
[tex](3+i)^{2}=(3)^{2}+2\cdot3\cdot{i}+(i)^{2}=9+6i-1=8+6i=2(4+3i)[/tex];
Знаменатель пока трогать не будем. Возведём i в степень. Проще здесь использовать показательную форму комплексного числа.
[tex]i^{12}=(e^{i\frac{\pi}{2}})^{12}=e^{i\cdot12\cdot\frac{\pi}{2}}=e^{i\frac{12\pi}{2}}=e^{i\cdot6\pi}=1[/tex];
Можно воспользоваться и цикличностью степеней мнимой единицы:
[tex]i^{2}=-1[/tex];
[tex]i^{3}=-i[/tex];
[tex]i^{4}=1[/tex];
[tex]i^{5}=i[/tex];
...
[tex]i^{4k}=1[/tex], где k=1,2,...
но проще использовать показательную форму.
Перепишем исходное выражение с учётом приведённых выше преобразований.
[tex]\frac{(3+i)^{2}}{1-2i}-i^{12}=\frac{2(4+3i)}{1-2i}-1[/tex];
Умножим числитель и знаменатель дроби на сопряжённое к знаменателю число:
[tex]\frac{2(4+3i)}{1-2i}-1=\frac{2(4+3i)(1+2i)}{(1-2i)(1+2i)}-1[/tex];
раскроем скобки:
[tex]\frac{2(4+3i)(1+2i)}{(1-2i)(1+2i)}-1=\frac{2(4\cdot1+4\cdot2i+3i\cdot1+3i\cdot2i)}{1^{2}-(2i)^{2}}-1=\frac{2(4+8i+3i-6)}{1+4}-1[/tex];
[tex]\frac{2(4+8i+3i-6)}{1+4}-1=\frac{2(-2+11i)}{5}-1=\frac{-4+22i}{5}-1=-\frac{4}{5}+i\frac{22}{5}-1[/tex];
Осталось только сложить числа для вещественных и мнимых частей и получим результат:
[tex]-\frac{4}{5}+i\frac{22}{5}-1=-\frac{4}{5}-1+i\frac{22}{5}=-\frac{4}{5}-\frac{5}{5}+i\frac{22}{5}=-\frac{9}{5}+i\frac{22}{5}[/tex];
Результат можно представить и в таком виде
[tex]-\frac{9}{5}+i\frac{22}{5}=\frac{-9+22i}{5}[/tex];
и в таком:
[tex]-\frac{9}{5}+i\frac{22}{5}=\frac{1}{5}(-9+22i)[/tex];
Это на усмотрение, как кажется красивше, так и можно записывать.