Помогите с комплексными уравнениями(

Помогите с комплексными уравнениями(

Сообщение anastasiya8800 » Пт янв 19, 2018 6:48 pm

1. [tex]\frac{(3+i)^{2}}{1-2i}-i^{12}[/tex]
2. Если [tex]f(z)=4 z^{2}+2i[/tex] , то значение производной в точке [tex]z_{0}=1+i[/tex] равно
3. Решение уравнения [tex]z-2\overline{z}=1-6i[/tex] имеет вид
anastasiya8800
 
Сообщения: 2
Зарегистрирован: Пт янв 19, 2018 6:40 pm

Re: Помогите с комплексными уравнениями(

Сообщение Гость » Сб янв 20, 2018 5:08 pm

В первом задании архисложного ничего нет.
Для начала возведем в квадрат числитель дроби.
[tex](3+i)^{2}=(3)^{2}+2\cdot3\cdot{i}+(i)^{2}=9+6i-1=8+6i=2(4+3i)[/tex];

Знаменатель пока трогать не будем. Возведём i в степень. Проще здесь использовать показательную форму комплексного числа.
[tex]i^{12}=(e^{i\frac{\pi}{2}})^{12}=e^{i\cdot12\cdot\frac{\pi}{2}}=e^{i\frac{12\pi}{2}}=e^{i\cdot6\pi}=1[/tex];

Можно воспользоваться и цикличностью степеней мнимой единицы:
[tex]i^{2}=-1[/tex];
[tex]i^{3}=-i[/tex];
[tex]i^{4}=1[/tex];
[tex]i^{5}=i[/tex];
...
[tex]i^{4k}=1[/tex], где k=1,2,...

но проще использовать показательную форму.
Перепишем исходное выражение с учётом приведённых выше преобразований.
[tex]\frac{(3+i)^{2}}{1-2i}-i^{12}=\frac{2(4+3i)}{1-2i}-1[/tex];

Умножим числитель и знаменатель дроби на сопряжённое к знаменателю число:
[tex]\frac{2(4+3i)}{1-2i}-1=\frac{2(4+3i)(1+2i)}{(1-2i)(1+2i)}-1[/tex];

раскроем скобки:

[tex]\frac{2(4+3i)(1+2i)}{(1-2i)(1+2i)}-1=\frac{2(4\cdot1+4\cdot2i+3i\cdot1+3i\cdot2i)}{1^{2}-(2i)^{2}}-1=\frac{2(4+8i+3i-6)}{1+4}-1[/tex];
[tex]\frac{2(4+8i+3i-6)}{1+4}-1=\frac{2(-2+11i)}{5}-1=\frac{-4+22i}{5}-1=-\frac{4}{5}+i\frac{22}{5}-1[/tex];

Осталось только сложить числа для вещественных и мнимых частей и получим результат:
[tex]-\frac{4}{5}+i\frac{22}{5}-1=-\frac{4}{5}-1+i\frac{22}{5}=-\frac{4}{5}-\frac{5}{5}+i\frac{22}{5}=-\frac{9}{5}+i\frac{22}{5}[/tex];

Результат можно представить и в таком виде
[tex]-\frac{9}{5}+i\frac{22}{5}=\frac{-9+22i}{5}[/tex];

и в таком:
[tex]-\frac{9}{5}+i\frac{22}{5}=\frac{1}{5}(-9+22i)[/tex];

Это на усмотрение, как кажется красивше, так и можно записывать.
Гость
 


Вернуться в Алгебра - матрицы, детерминанты, комплексные числа



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 2