Rados » Ср янв 20, 2021 8:46 am
XVIII век
XVIII век в математике можно кратко охарактеризовать как век анализа, который стал главным объектом приложения усилий математиков.
Способствуя бурному развитию естественных наук, анализ, в свою очередь, прогрессировал сам, получая от них всё более и более сложные задачи. На стыке этого обмена идеями родилась математическая физика.
Критика метода бесконечно малых за плохую обоснованность быстро смолкла под давлением триумфальных успехов нового подхода. В науке, благодаря Ньютону, царила механика — все прочие взаимодействия считались вторичными, следствиями механических процессов. Развитие анализа и механики происходили в тесном переплетении; первым это объединение осуществил Эйлер, который убрал из ньютоновской механики архаичные конструкции и подвёл под динамику аналитический фундамент (1736). С этого момента механика стала прикладным разделом анализа. Процесс завершил Лагранж, чья «Аналитическая механика» демонстративно не содержит ни одного чертежа.
Одновременно анализ алгебраизировался и окончательно (начиная с Эйлера) отделился от геометрии и механики.
Главным методом познания природы становится составление и решение дифференциальных уравнений. После динамики точки настал черёд динамики твёрдого тела, затем — жидкости и газа. Прогрессу в этой области немало способствовал спор о струне, в котором участвовали ведущие математики Европы.Несмотря на то, что Д’Аламбер и Эйлер получили практически одинаковые по форме решения уравнения колебания, они по-разному воспринимали их смысл. Ключевая проблема состояла в том, что полученные решения содержали произвольные функции. Однако, общепринятого определения функции на тот момент не было, и среди математиков существовали разные мнения о том, какие функции допустимо рассматривать в анализе, а какие нет. Разногласия по этому вопросу между Д’Аламбером и Эйлером вылились в серию публикаций, начавших спор о струне, к которому впоследствии присоединились другие ученые
Теория тяготения Ньютона поначалу встречала трудности в описании движения Луны, однако работы Клеро, Эйлера и Лапласа ясно показали, что никаких дополнительных сил, кроме ньютоновских, в небесной механике нет.
Анализ распространяется на комплексную область. Аналитическое продолжение большинства функций проблем не вызвало, и были обнаружены неожиданные связи между стандартными функциями (формула Эйлера). Затруднения встретились для комплексного логарифма, но Эйлер их успешно преодолел. Были введены конформные отображения, высказана гипотеза о единственности аналитического продолжения. Комплексные функции нашли даже применение в прикладных науках — гидродинамике, теории колебаний (Даламбер, Эйлер).
алеко продвинулись теория и техника интегрирования. Входят в широкое употребление кратные интегралы (Эйлер, Лагранж), причём не только в декартовых координатах. Появляются и поверхностные интегралы (Лагранж, Гаусс). Усиленно разрабатывается теория дифференциальных уравнений, как обыкновенных, так и в частных производных. Математики проявляют исключительную изобретательность при решении дифференциальных уравнений в частных производных, для каждой задачи изобретая свои методы решения. Сформировалось понятие краевой задачи, возникли первые методы её решения.
В конце XVIII века было положено начало общей теории потенциала (Лагранж, Лаплас, Лежандр). Для тяготения потенциал ввёл Лагранж (1773, термин предложил Грин в 1828 году). Вскоре Лаплас обнаружил связь потенциала с уравнением Лапласа и ввёл важный класс ортогональных сферических функций.
Возникают многообещающее вариационное исчисление и вариационные принципы физики (Эйлер, Лагранж).
Лидером математиков XVIII века был Эйлер, чей исключительный талант наложил отпечаток на все основные математические достижения столетия. Именно он сделал из анализа совершенный инструмент исследования. Эйлер существенно обогатил ассортимент функций, разработал технику интегрирования, далеко продвинул практически все области математики. Наряду с Мопертюи он сформулировал принцип наименьшего действия как высший и универсальный закон природы.
В теории чисел окончательно легализуются мнимые числа, хотя полная теория их ещё не создана. Доказана (ещё не вполне строго) основная теорема алгебры. Эйлер разработал теорию делимости целых чисел и теорию сравнений (вычетов), завершённую Гауссом. Эйлер ввёл понятие первообразного корня, доказал его существование для любого простого числа и нашёл количество первообразных корней, открыл квадратичный закон взаимности. Он и Лагранж опубликовали общую теорию цепных дробей, и с их помощью решили немало задач диофантова анализа. Эйлер также обнаружил, что в ряде задач теории чисел можно применить аналитические методы.
Стремительно развивается линейная алгебра. Первое подробное описание общего решения линейных систем дал в 1750 году Габриэль Крамер. Близкую к современной символику и глубокий анализ определителей дал Александр Теофил Вандермонд (1735—1796). Лаплас в 1772 году дал разложение определителя по минорам. Теория определителей быстро нашла множество приложений в астрономии и механике (вековое уравнение), при решении алгебраических систем, исследовании форм и т. д.
В алгебре назревают новые идеи, завершившиеся уже в XIX веке теорией Галуа и абстрактными структурами. Лагранж при исследовании уравнений пятой степени и выше вплотную подходит к теории Галуа (1770), выяснив, что «истинная метафизика уравнений — теория подстановок».
В геометрии появляются новые разделы: дифференциальная геометрия кривых и поверхностей, начертательная геометрия (Монж), проективная геометрия (Лазар Карно).
Теория вероятностей перестаёт быть экзотикой и доказывает свою полезность в самых неожиданных областях человеческой деятельности. Де Муавр и Даниил Бернулли открывают нормальное распределение. Возникают вероятностная теория ошибок и научная статистика. Классический этап развития теории вероятностей завершили работы Лапласа. Однако приложения её к физике тогда ещё почти отсутствовали (не считая теории ошибок).
Центрами математических исследований становятся Академии наук, по большей части государственные. Значение университетов невелико (исключая страны, где академий ещё нет), физико-математические факультеты всё ещё отсутствуют. Ведущую роль играет Парижская академия. Английская школа после Ньютона обособляется и на целый век снижает научный уровень; число видных математиков в Англии XVIII века невелико — де Муавр (французский эмигрант-гугенот), Котс, Тейлор, Маклорен, Стирлинг.
Математики становятся профессионалами, любители почти исчезают со сцены.
В конце XVIII века появляются специализированные математические журналы, увеличивается интерес к истории науки. Выходит двухтомная «История математики» Монтюкла (посмертно переизданная и дополненная до 4 томов). Расширяется издание научно-популярной литературы.