Вычислить предел

[Гость]

Добрый день!
Помогите пожалуйста вычислить пределы, хотя бы один вариант для примера:


https://ibb.co/z7gBffB

[Andy]

Рассмотрим, например, задание пункта 3. При [tex]x \to \infty[/tex] имеем
[tex]\sqrt[x-1]{3x+2^x}=\left( 3x+2^x \right)^{\frac{1}{x-1}}=e^{\frac{1}{x-1} \ln{\left( 3x+2^x \right)}};[/tex]
[tex]\frac{1}{x-1} \ln{\left( 3x+2^x \right)}=\frac{\ln \left( 3x+2^x \right)}{x-1}=\left( \frac{\infty}{\infty} \right)=[/tex]
[tex]=\frac{\left( \ln \left( 3x+2^x \right) \right)'}{\left( x-1 \right)'}=\frac{3+2^x \ln{2}}{3x+2^x}=\left( \frac{\infty}{\infty} \right)=[/tex]
[tex]=\frac{\left( 3+2^x \ln{2} \right)'}{\left( 3x+2^x \right)'}=\frac{2^x \left( \ln{2} \right)^2}{3+2^x \ln{2}}=\left( \frac{\infty}{\infty} \right)=[/tex]
[tex]=\frac{\left( 2^x \left( \ln{2} \right)^2 \right)'}{\left( 3+2^x \ln{2} \right)'}=\frac{2^x \left( \ln{2} \right)^3}{2^x \left( \ln{2} \right)^2} \to \ln{2};[/tex]
[tex]\sqrt[x-1]{3x+2^x}=e^{\frac{1}{x-1} \ln{\left( 3x+2^x \right)}} \to e^{\ln{2}}=2.[/tex]
Трижды было использовано правило Бернулли -- Лопиталя.