Практическая задачка из сферической геометрии

Практическая задачка из сферической геометрии

Сообщение Rados » Пт дек 23, 2022 8:20 pm

Известно, что "через три точки, НЕ лежащие на одной прямой, МОЖНО провести только ОДНУ окружность"!
Это - аксиома, не требующая доказательств!
Практическая задачка заключается в следующем:

ДАНЫ три произвольные точки (без указания координат).
Требуется НАЙТИ четвёртую точку, РАВНО УДАЛЁННУЮ от каждой из этих точек, и провести окружность через эти три заданные точки!
Приз за решение этой задачки тоже известен = 100 рублей! ;)
Вложения
Три точки в пространстве.jpg
Три точки в пространстве.jpg (25.32 КБ) Просмотров: 358
Аватара пользователя
Rados
 
Сообщения: 3558
Зарегистрирован: Вт ноя 20, 2018 8:36 am
Откуда: РОССИЯ

Re: Практическая задачка из сферической геометрии

Сообщение Stas » Сб дек 24, 2022 2:47 am

Если возможно , уточните вопрос - требуется найти центр окружности на плоскости или точку на сфере вне плоскости ?
Stas
 
Сообщения: 837
Зарегистрирован: Вт июл 28, 2020 2:35 pm

Re: Практическая задачка из сферической геометрии

Сообщение Евва » Сб дек 24, 2022 6:45 am

Ети три точки определяют треугольник .
Точка ,равноудаленная от трех точек ,является центром окружности ,описанной вокруг треугольника .
Мы строим [tex]S_{ON1 }[/tex] и [tex]S_{ON2 }[/tex] .
[tex]S_{ON1 }[/tex] [tex]\cap[/tex] [tex]S_{ON2 }[/tex]= т.Q

Четвертая искомая точка - ето Q .
Евва
 
Сообщения: 46
Зарегистрирован: Вс мар 28, 2021 9:01 pm
Откуда: Болгария

Re: Практическая задачка из сферической геометрии

Сообщение Rados » Сб дек 24, 2022 9:02 am

Уточняю задачку:
Требуется найти точку НА ДАННОМ ЧЕРТЕЖЕ и провести окружность через три заданные на чертеже точки, то есть выполнить ГРАФИЧЕСКИЕ построения "циркулем и линейкой"... Компьютерная программа делает это ЗАПРОСТО, но не в каждом компьютере ЕСТЬ такая программа!
Три точки в пространстве.jpg
Три точки в пространстве.jpg (21.77 КБ) Просмотров: 351
Аватара пользователя
Rados
 
Сообщения: 3558
Зарегистрирован: Вт ноя 20, 2018 8:36 am
Откуда: РОССИЯ

Re: Практическая задачка из сферической геометрии

Сообщение Rados » Сб дек 24, 2022 11:42 am

Евва писал(а):Четвертая искомая точка - ето Q .

Точка, равно удалённая от трёх заданных точек, НЕ принадлежит множеству точек Окружности.
Если задать компьютеру такую траекторию "от точки 0 до точки 4", то тогда получится НЕ окружность, а вот такая НЕ замкнутая линия:
Три точки в пространстве.jpg
Три точки в пространстве.jpg (17.62 КБ) Просмотров: 345
Аватара пользователя
Rados
 
Сообщения: 3558
Зарегистрирован: Вт ноя 20, 2018 8:36 am
Откуда: РОССИЯ

Re: Практическая задачка из сферической геометрии

Сообщение Stas » Сб дек 24, 2022 6:13 pm

Такое решение в геометрии известно ..
Если смысл в том чтобы решить его с помощью циркуля и "геолинейки" то зная решение нетрудно сообразить как это осуществить ..
Своебразный тест .. ;) .. на умение использовать полученные знания !
Не мной сказано - имеющий знания это знаток , а умеющий применять свои знания это мудрец .. :D
А всё же чем вас не устроило решение Еввы , она же указала что четвёртая точка это есть центр окружности ?
Хотя строго говоря и неописанной вокруг треугольника , ведь в таком случае вершины треугольника не являются точками окружности ..
Хотя какая разница между вписанным и описанным .. всего лишь тонкости перевода с болгарского на русский ..
Было бы интересно чтобы она привела своё решение полностью , но тут вы хозяин .
Stas
 
Сообщения: 837
Зарегистрирован: Вт июл 28, 2020 2:35 pm

Re: Практическая задачка из сферической геометрии

Сообщение Rados » Сб дек 24, 2022 7:38 pm

какая разница между вписанным и описанным

Тоже ХОРОШИЙ ВОПРОС, Stas!
Но для сравнение надо просто нарисовать:
a) треугольник 012;
б) найти точку пересечения ПЕРПЕНДИКУЛЯРОВ, проведённых из середины сторон этого треугольника;
в) одну ножку циркуля поставить в найденную точку пересечения;
г) второй ножкой циркуля НАРИСОВАТЬ кривую линию из точки 0 через точки №1 и №2;
д) доказать сомневающимся НЕматематикам, что эта линия (1D) и есть О-кружность c центром в точке 4.
Найденная точка как раз и будет ЦЕНТРОМ искомой Окружности - в соответстии с УСЛОВИЯМИ этой "практической задачки"...

Повышаю ставку приза В ДВА РАЗА и желаю УСПЕХА участникам дискуссии в построении такой ГРАФИЧЕСКОЙ "модели окружности с центром в точке 4" ;)
Аватара пользователя
Rados
 
Сообщения: 3558
Зарегистрирован: Вт ноя 20, 2018 8:36 am
Откуда: РОССИЯ

Re: Практическая задачка из сферической геометрии

Сообщение Stas » Сб дек 24, 2022 11:45 pm

Звучит сооблазнительно.. :D
Пожалуй , после подарка от санта клауссов из нашего правительства , я не откажусь от вашего приза .. ;)
Но так как я решение знаю то дам фору другим часов в десять .. и присоединяюсь к вашему пожеланию !
Stas
 
Сообщения: 837
Зарегистрирован: Вт июл 28, 2020 2:35 pm

Re: Практическая задачка из сферической геометрии

Сообщение Rados » Вс дек 25, 2022 10:25 am

дам фору другим часов в десять .. и присоединяюсь к вашему пожеланию !

Я тоже догадался, что "НЕматематик Stas" уже ЗНАЕТ КАК (know-how) такие "задачки" решать с помощью циркуля и линейки!
Но торопиться с публикацией ответа мы не будет, потому что тогда никто не захочет решать такие задачки САМОСТОЯТЕЛЬНО! :lol:
Аватара пользователя
Rados
 
Сообщения: 3558
Зарегистрирован: Вт ноя 20, 2018 8:36 am
Откуда: РОССИЯ

Re: Практическая задачка из сферической геометрии

Сообщение Stas » Вс дек 25, 2022 11:35 am

Лады , отложим до понедельника .. ;)
Stas
 
Сообщения: 837
Зарегистрирован: Вт июл 28, 2020 2:35 pm

Re: Практическая задачка из сферической геометрии

Сообщение Rados » Вт дек 27, 2022 10:53 am

Поделим приз на двоих, а свой вариант решения публиковать пока НЕ БУДЕМ...
"Хайли-лайкли" кто-нибудь предложит другой вариант, времени-то ещё до 23 января - МНОЖЕСТВО!!! ;)
Аватара пользователя
Rados
 
Сообщения: 3558
Зарегистрирован: Вт ноя 20, 2018 8:36 am
Откуда: РОССИЯ

Re: Практическая задачка из сферической геометрии

Сообщение Stas » Вт дек 27, 2022 6:18 pm

Я не против .. если вы разрешите мне "ужастную мстю" этому низкому интернету в котором есть все возможные решения вашей задачи.. :D
Stas
 
Сообщения: 837
Зарегистрирован: Вт июл 28, 2020 2:35 pm

Re: Практическая задачка из сферической геометрии

Сообщение Rados » Вт дек 27, 2022 6:56 pm

Решения-то, конечно, ЕСТЬ всякие...
Только циркуля ДАНО не каждому математику (в руки)!
А вот у нас в институте преподаватель "по начерталке" мог рисовать окружности и прямые линии даже БЕЗ циркуля и линейки - мелом на школьной доске! :ugeek:
Аватара пользователя
Rados
 
Сообщения: 3558
Зарегистрирован: Вт ноя 20, 2018 8:36 am
Откуда: РОССИЯ

Re: Практическая задачка из сферической геометрии

Сообщение Stas » Пт дек 30, 2022 11:48 am

Я ж практик для меня не сложно нарисовать и то и то без цикуля и линейки под рукой .. :)

"Известно, что "через три точки, НЕ лежащие на одной прямой, МОЖНО провести только ОДНУ окружность"!
Это - аксиома, не требующая доказательств! "
Возникает вопрос , а что через три точки лежащие на одной прямой нельзя провести окружность ? ;)
Stas
 
Сообщения: 837
Зарегистрирован: Вт июл 28, 2020 2:35 pm

Re: Практическая задачка из сферической геометрии

Сообщение Rados » Сб дек 31, 2022 10:03 pm

через три точки лежащие на одной прямой нельзя провести окружность ?

Через ДВЕ точки можно провести ПРЯМУЮ линию - это тоже АКСИМА, не требующая доказательств!
Если через какую-то точку на прямой проходит линия окружности, то эта единственная точка на окружности будет называться "точкой касания", а прямая линия - КАСАТЕЛЬНОЙ к этой окружности в точке касания!
А если общих точек у прямой и окружности ДВЕ, то это значит, что прямая линия ПЕРЕСЕКАЕТ эту окружность в этих ДВУХ точках!
И тогда такой ОТРЕЗОК прямой (между ДВУМЯ этими точками) будет либо ДИА-метром окружности, либо ХОРДОЙ...

В данной задачке все ТРИ стороны вписанного треугольника являются ХОРДАМИ.
Аватара пользователя
Rados
 
Сообщения: 3558
Зарегистрирован: Вт ноя 20, 2018 8:36 am
Откуда: РОССИЯ

Re: Практическая задачка из сферической геометрии

Сообщение Stas » Вс янв 01, 2023 2:53 am

Я ориентировался на заголовок - " .. из сферической геометрии ."
Если я не ошибаюсь то любая прямая на сфере представляет из себя окружность ..
Stas
 
Сообщения: 837
Зарегистрирован: Вт июл 28, 2020 2:35 pm

Re: Практическая задачка из сферической геометрии

Сообщение Rados » Вс янв 01, 2023 8:23 am

" .. из сферической геометрии ."

Не совсем так, Stas!
НА ПОВЕРХНОСТИ сферы (2D) прямые линии ОТСУТСТВУЮТ, но ДИА-метр сферы - это отрезок ПРЯМОЙ линии.
В топологии (и в начертательной ГЕО-метрии)есть ещё такое понятие - "развёртка" - для определение натуральной величины какой-то поверхности (2D).
В обычном (декартовом?) представлении КУБ - это тоже ТРЁХ-мерный объект, имеющий длину, ширину и высоту = [tex]а^{1 }[/tex], следовательно поверхность этой фигуры (гексаэдра) будет равна 6[tex]а^{2 }[/tex], так ведь!
И такую модель гексаэдра МЫ тоже можем склеить из бумаги!
При этому НАМ уже известно, что длина диагонали, нарисованная на ЛЮБОЙ из сторон этой модели, будет равна а х [tex]\sqrt{2}[/tex], а длина диагонали, мысленно проведённая ВНУТРИ и проходящая через противоположные вершины этого гексаэдра, будет равна а х [tex]\sqrt[3]{3}[/tex]...
Но нарисовать эту диагональ на развёртке куба НЕ ВОЗМОЖНО, потому что "в натуре" такая линия тоже ОТСУТСТВУЕТ!
Из этого можно сделать вывод, что любой ДИА-метр и любая ДИА-гональ - это "абстрактные геометрические объекты", а НЕ реальные составляющие определённой фигуры...
Аналогичные понятия есть и в сферической геометрии!
Например, пересечение ДВУХ сфер (2D) - это ВСЕГДА окружность (1D), а пересечение ДВУХ линий (1D) - это ВСЕГДА точка (0D).
Пересечение параллелей и меридианов на глобусе МЫ определяем как "точки координат", а на "развёрте глобуса" (то есть на ТОПО-ГРАФИЧЕСКОЙ карте) меридианы и параллели всегда "строго перпендикулярны" друг другу!

Но в данной задачке речь идёт именно об ОКРУЖНОСТИ, которая на сфере тоже будет ЗАМКНУТОЙ линией!

441b80d41b18aa36e5fa669dac08367a.jpg
441b80d41b18aa36e5fa669dac08367a.jpg (26.34 КБ) Просмотров: 283
Аватара пользователя
Rados
 
Сообщения: 3558
Зарегистрирован: Вт ноя 20, 2018 8:36 am
Откуда: РОССИЯ

Re: Практическая задачка из сферической геометрии

Сообщение Stas » Вс янв 01, 2023 3:33 pm

Это просто крайний вариант ..
Прямая вполне может огибать сферу не замыкаясь сама на себя ..

" Прямая, наряду с окружностью, относится к числу древнейших геометрических фигур. Античные геометры считали эти две кривые «совершенными» и поэтому признавали только построения с помощью циркуля и линейки. Евклид описал линию как «длину без ширины», которая «равно лежит на всех своих точках»[3].
Аналоги прямых могут быть определены также в некоторых типах неевклидовых пространств. Если основой построения геометрии служит понятие расстояния между двумя точками пространства, то отрезок прямой можно определить как самую короткую кривую, соединяющую эти точки. Например, в римановой геометрии роль прямых играют геодезические линии, которые являются кратчайшими; на сфере кратчайшими являются дуги больших кругов[4]."
Всезнайка наша Википедия .. ;)
Stas
 
Сообщения: 837
Зарегистрирован: Вт июл 28, 2020 2:35 pm

Re: Практическая задачка из сферической геометрии

Сообщение Rados » Вс янв 01, 2023 6:06 pm

отрезок прямой можно определить как самую короткую кривую

Можно и ТАК - "возражений не последовало"...
Тогда ОТРЕЗКУ кривой линии (1D) можно ДАТЬ ОПРЕДЕЛЕНИЕ = ДУГА, у которой радиус кривизны R < [tex]\infty[/tex].
ПОЛУ-окружность - это тоже ДУГА, так ведь?!
Если КОНЦЫ такой дуги (180 градусов) со-ЕДИНИТЬ "кратчайшим отрезком" прямой линии, то такой отрезок и будет являться ДИА-метром этой ПОЛУ-окружности.
При этом длина радиуса будет половиной длины диаметра, а длина полуокружности будет равна половине длины окружности.
В любом случае длина ЗАМКНУТОЙ окружности всегда БОЛЬШЕ длины диаметра.
Если длина дуги больше, чем 3/4 длины окружности, но меньше 4/4 этой же окружности, то такой у дуги тоже ДВА КОНЦА (как у буквы С).
У окружности (как и у буквы О) НЕТ КОНЦОВ "по определению", а у прямой линии НЕТ КРИВИЗНЫ "по определению".
Но если окружности КОН-центрические, то расстояние МЕЖДУ НИМИ везде одинаковое (как у модели Ж/Д в детском конструкторе). Поэтому РЕЛЬСЫ на поверхности Земли тоже МОЖНО определить как "параллельные линии"...
Про такой "конструктор" тоже была "математическая задачка месяца" - от Алексея Савватеева, но Википедия об этом "подозрительно умалчивает"... ;)
Аватара пользователя
Rados
 
Сообщения: 3558
Зарегистрирован: Вт ноя 20, 2018 8:36 am
Откуда: РОССИЯ

Re: Практическая задачка из сферической геометрии

Сообщение Stas » Пн янв 02, 2023 1:15 am

Если внутрь сферы я попасть не могу то кратчайшим расстоянием при перемещении по сфере будет дуга , согласитесь ?
А уж какими свойствами будет обладать данный участок прямой - это вторично .
Кстати , вы можете перещаться по сфере и по криволинейной линии из одной точки в другую - этот факт отнюдь не противоречит определением линий в геометрии .
И ещё ..
кривизна линий.JPG
кривизна линий.JPG (20.17 КБ) Просмотров: 277


А то что вы назвали диаметром - физики называют "червоточиной" позволяющей наиболее кратким путём попасть из одной точки пространства в другое ..
К сожалению данный способ перемещения пока не найден ..
Хотя как утверждают некоторые - инопланетяне из северного полюса на южный перемещаются именно так .. ;)
Последнее для Савватева сказано .. :D
Stas
 
Сообщения: 837
Зарегистрирован: Вт июл 28, 2020 2:35 pm

След.

Вернуться в Математическая задача месяца



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 2

cron