Практическая задачка из сферической геометрии

Re: Практическая задачка из сферической геометрии

Сообщение Rados » Пн янв 02, 2023 11:25 am

Кстати , вы можете перемещаться по сфере и по криволинейной линии из одной точки в другую

ФИЗИЧЕСКИ можно перемещаться не только ПО поверхности, но и НАДО поверхностью!
А в ТРЁХ-мерном пространстве нашей (земной) атмоСФЕРЫ кратчайшее расстояние между ДВУМЯ точками - это отрезок ПРЯМОЙ линии.
Это тоже АКСИОМА, которая "не требует доказательств".
Простой "эксперимент в домашних условиях" можно сделать с простым шнуром, если ОДИН его конец закрепить в верхнем углу комнаты, а второй конец - в нижнем ПРОТИВОПОЛОЖНОМ углу комнаты. Предположим, что комната имеет форму правильного ГЕКСАЭДРА со стороной равной [tex]x^{1 }[/tex]. Значит, расстояние (1D) между противоположными углами этой комнаты (вершинами гексаэдра) будет равно [tex]\sqrt{3}[/tex] х [tex]x^{1 }[/tex], так ведь?!
Но если этот шнурок не натягивать, то тогда это расстояние (путь) увеличится и будет НЕЗАМКНУТОЙ КРИВОЙ линией, то есть НЕ окружностью...
Аналогичный "эксперимент" можно нарисовать и ВНУТРИ сферы. На Вашем рисунке ДВЕ полусферы не имеют ни одной общей точки, но внутренний диаметр у них тоже ОДИНАКОВОЙ длины "по определению" D = 2R. Если их со-ЕДИНИТЬ в одной точке О, то из этой точки можно провести ДВА равных по длине диаметра - в каждой полусфере. При этом расстояние между полюсами УВЕЛИЧИТСЯ. Но если развернуть эти диаметры на 180 градустов, то расстояние между полюсами будет опять равно ДВУМ радиусам...
ДВЕ полусферы.jpg
ДВЕ полусферы.jpg (54.31 КБ) Просмотров: 159
Последний раз редактировалось Rados Пн янв 02, 2023 11:37 am, всего редактировалось 1 раз.
Аватара пользователя
Rados
 
Сообщения: 3558
Зарегистрирован: Вт ноя 20, 2018 8:36 am
Откуда: РОССИЯ

Re: Практическая задачка из сферической геометрии

Сообщение Rados » Пн янв 02, 2023 11:33 am

Но в данной задачке ДАНЫ три точки (без указания координат и масштаба расстояний).
По эти трём точкам №1, №2 и 0 можно провести всего ОДНУ окружность...
Естественно, что длина этой окружности будет БОЛЬШЕ суммы расстояний между данными точками, а радиус окружности МЕНЬШЕ каждой из сторон вписанного треугольника 012...
Аватара пользователя
Rados
 
Сообщения: 3558
Зарегистрирован: Вт ноя 20, 2018 8:36 am
Откуда: РОССИЯ

Re: Практическая задачка из сферической геометрии

Сообщение Stas » Пн янв 02, 2023 1:12 pm

Лукавите однако .. ;)
" А в ТРЁХ-мерном пространстве нашей (земной) атмоСФЕРЫ кратчайшее расстояние между ДВУМЯ точками - это отрезок ПРЯМОЙ линии."
Ну и как эта прямая выглядит если перемещаться в атмосфере между северным и южным полюсами ?

Предлагаю проделать простой эксперимент ..
Возьмите лист бумаги , начертите окружность и проведите два взаимно перпендикулярных диаметра ..
Свойства диаметров известны - они равны и соединяют две противоположные точки окружности- пересечение их даёт нам центр окружности ..
Свойство окружности нам тоже известно - это точки равноудалённые от центра окружности ..
Давайте переведём это плоскую модель в 3D т. е . согнём лист по одному из диаметров ..скажем образуем пересечение двух плоскостей , предположим под углом в 90 гр.
Свойства окружности изменились ? В пределах плоскостей нет и свойства диаметров то же неизменны .

Но вот в трёхмерном пространстве не всё так однозначно ..
Диаметр по пересечению плоскостей не изменил своего значения , а вот диаметр перпендикулярный ему вдруг стал меньше ..
Ведь его противоположные точки теперь соединяет кратчайшая линия лежащая вне двумерной плоскости .
Stas
 
Сообщения: 838
Зарегистрирован: Вт июл 28, 2020 2:35 pm

Re: Практическая задачка из сферической геометрии

Сообщение Stas » Пн янв 02, 2023 1:45 pm

Чистой воды казуистика . общение с представителями религии даром не проходит .. :D

У нас есть отрезок прямой равный диаметру окружности ..
На нём указаны три точки - 0 , №1- , №2+ .
Мы знаем что все они принадлежат одной окружности ..
Причём точка 0 лежит на диаметре , а знаки - и + говорят о том что эти две точки располагаются на окружности по разные стороны от диаметра ..
Определим место нахождения центра окружности , для этого поделим диаметр на две равные части ..
Построим оружность по данному диаметру ..
Из точек №1- и №2+ восстановим перпендикуляры до пересечения с окружностью ..
Т. е . вернёмся к исходным условиям задачи , но уже с готовым решением .. ;)
Stas
 
Сообщения: 838
Зарегистрирован: Вт июл 28, 2020 2:35 pm

Re: Практическая задачка из сферической геометрии

Сообщение Rados » Пн янв 02, 2023 7:15 pm

как эта прямая выглядит если перемещаться в атмосфере между северным и южным полюсами?

ТЕОРЕТИЧЕСКИ - это ось геоида, а наглядно это можно показать на примере школьного ГЛОБУСА.
Линия экватора - это тоже ЗАМКНУТАЯ окружность, но на поверхности Земли такой линии тоже НИКТО не видел, потому что её там НЕТУ!

У нас есть отрезок прямой равный диаметру окружности

В том-то и дело, Stas, что такого ОТРЕЗКА (как и самой окружности) в условиях этой задачке НЕ ДАНО!
Если со-единить ТРИ заданные точки прямыми линиями (карандашом по линейке), то получается НЕравносторонний треугольник!
В этой задачке стороны треугольника будут ХОРДАМИ искомой окружности, а НЕ диаметрами СФЕРЫ.
Если эти точки лежат НА поверхности сферы, то центр окружности будет ВНУТРИ сферы.

ТРИ точки НА окружности.jpg
ТРИ точки НА окружности.jpg (132 КБ) Просмотров: 159


В реальности можно представить себе схему МЕТРО, выбрать КОЛЬЦЕВУЮ линию и на ней ТРИ произвольные точки. В метро тоже есть "параллельные рельсы", поэтому "самолёт Мёбиуса" нам в данном случае тоже НЕ ТРЕБУЕТСЯ...

Предлагаю проделать простой эксперимент ..
Возьмите лист бумаги, начертите окружность
...
А лучше сразу ДВЕ концентрические окружности, чтобы вырезать из бумаги плоское кольцо, а потом СОГНУТЬ его пополам - посередине (по линии диаметра)...
Аватара пользователя
Rados
 
Сообщения: 3558
Зарегистрирован: Вт ноя 20, 2018 8:36 am
Откуда: РОССИЯ

Re: Практическая задачка из сферической геометрии

Сообщение Stas » Вт янв 03, 2023 2:24 am

Скажем так , для решения вашей задачи построение треугольника не обязательно , можно обойтись и двумя хордами ..
Но так как у нас соглашение которое предлагает решить эту задачу другим участникам форума , то я решил рассмотреть её с разных сторон .. ;)

Если мы рассматриваем линию в атмосфере то ссылку на ось геоида считаю некорректной ..

Если диаметр - отрезок прямой и на нём указаны три точки ( начало , конец и середина диаметра ) то мы можем исходя из этого построить полноценную окружность или круг ..

" У средневековых схоластов (теологов и юристов) казуистика представляла собой особый диалектический приём, при помощи которого какой-либо религиозный, моральный или юридический вопросы разбиваются на бесчисленное множество мелких деталей и случаев, и, вместо решения вопроса в принципе, стараются войти в тончайший и исчерпывающий анализ всех возможных, и мысленно представимых, случаев."
Чем я и занялся применительно к данной математической задаче .. ;)
Рузумеется использовав её в более широком смысле .
Кстати , система ТРиЗ работает по похожей схеме ..

Впрочем , я вышел за рамки предложенной темы , приношу свои извинения !
Stas
 
Сообщения: 838
Зарегистрирован: Вт июл 28, 2020 2:35 pm

Re: Практическая задачка из сферической геометрии

Сообщение Stas » Вт янв 03, 2023 5:11 am

Честно говоря , слово сферическая навела меня на мысль какой информации должно быть достаточно для свёртки и развёртки пространства ..
Есть такая гипотеза в физике - зовётся теорией струн .
Подразумевает что наше пространство состоит из одномерных струн которые могут быть развёрнуты в двумерное пространство , а сочетание двумерных пространств порождает наш реальный трёхмерный мир ..
Вот я и поэкспериментировал на свёртке и развёртке конкретной сферы до окружности , которую в свою очередь преобразовал в отрезок прямой ..
Иногда решение некоторых задач приводит так сказать к побочным идеям .. ;)
Stas
 
Сообщения: 838
Зарегистрирован: Вт июл 28, 2020 2:35 pm

Re: Практическая задачка из сферической геометрии

Сообщение Rados » Вт янв 03, 2023 8:45 am

Есть такая гипотеза в физике - зовётся теорией струн .

Вооот! Из-за этих "струн" между Физиками и Математиками в дискуссию встряли Музыканты...
Звуки ведь тоже можно ЗАПИСЫВАТЬ графическими знаками (нотная грамота), а названий ОСНОВНЫХ нот в каждой гамме всего СЕМЬ...
Но это уже тоже совсем другой раздел (или сектор?) физики - АККУСТИКА, в котором тоже исследуются (измеряются) круговые ВОЛНЫ.
Поэтому оставим в стороне "потоки звуков от Ричи Блэкмора", а до "потоков Ричи Курбастро" нам (пока) ещё НЕДОСУГ... ;)

В картографии тоже принято считать, что парраллели и меридианы ПЕРЕСЕКАЮТСЯ "под прямым углом", но расстояние МЕЖДУ ДВУМ соседними меридианами на экваторе во много РАЗ больше, чем расстояние межд этими же меридианами на широте 60 градусов. Поэтому для приполярных областей в картографии применяется немного ДРУГАЯ СИСТЕМА координат (НЕ декартовая, а сферическая)... На поверхности гладкого ШАРА вообще не указано никаких координат, но ЛЮБАЯ секущая плоскость (2D), проходящая через шар (3D), образует круг (2D), площадь которого ограничена линией окружности (1D).
Кстати, в аксиоме "о трёхах" мы забыли упомянуть, что эти три точки НЕ ЛЕЖАТ НА ОДНОЙ ПРЯМОЙ, поэтому треугольник в данном случае тоже будем считать ПЛОСКИМ, а не выпуклым как это бывает НА поверхности шара!

Решение задачи Мишустина в 3D.jpg
Решение задачи Мишустина в 3D.jpg (330.52 КБ) Просмотров: 158
Аватара пользователя
Rados
 
Сообщения: 3558
Зарегистрирован: Вт ноя 20, 2018 8:36 am
Откуда: РОССИЯ

Re: Практическая задачка из сферической геометрии

Сообщение Rados » Вт янв 03, 2023 9:08 am

Кстати, "о красном ШАРЕ (на схеме выше)...
На Вашем экране этот ШАР отображается как "красный круг неопределённого диаметра", причем НИКТО не будет возражать, что он выглядит точно так же с ЛЮБОЙ СТОРОНЫ, потому что топо-ЛОГИЧЕСКИ его поверхность считается тоже ЗАМКНУТОЙ, компактной и односторонней поверхностью без граней (краёв)!
Однако т.н. "одностороннюю ленту Мёдиуса" наклеить на поверхность шара НЕВОЗМОЖНО! А если для линии экватора (1D) предложить минимальную ШИРИНУ, то получится не "мёбиус", а обычный ОБРУЧ - как на деревянной бочке!

Но к этому вопросу МЫ ещё вернёмся - в других аналогичных "задачках"! :ugeek:
Аватара пользователя
Rados
 
Сообщения: 3558
Зарегистрирован: Вт ноя 20, 2018 8:36 am
Откуда: РОССИЯ

Re: Практическая задачка из сферической геометрии

Сообщение Stas » Вт янв 03, 2023 12:54 pm

Там есть одна тонкость , в секущей плоскости проходящей через шар ..
Все дуги на половинах шара при отображение на секущей плоскости ( или при проекции на плоскость ) не имеют никакого радиуса кривизны , т. е. они будут отображены как отрезки прямых ..
Хотя в реальности это выглядит совершенно не так ..
В этом суть картинки и подписи к ней , я так понял во всяком случае ..
Картинка кстати позаимствована из Википедии из раздела расскаживающего о понятии линия в геометрии .. https://translated.turbopages.org/proxy ... aight-line
Stas
 
Сообщения: 838
Зарегистрирован: Вт июл 28, 2020 2:35 pm

Re: Практическая задачка из сферической геометрии

Сообщение Stas » Вт янв 03, 2023 1:37 pm

Музыка .. вопрос интересный ..
С точки зрения физика - акустика пренебрежимо малая часть волновой теории поля ..
Но с точки зрения биолога или медика эта часть может занимать весьма существенную роль , к сожалению это палка о двух концах ..
Можно достигнуть существенных результатов в лечение практически всех болезней или продлить активную часть жизни человечества , но с тем же успехом можно покончить раз и навсегда всё " цивилизационное " представление о его существовании ..
Я достаточно долго живу и отслеживая эту тему могу сказать ,что всё связанное с ней довольно быстро и оперативно удаляется из внимания человечества .. недоросло оно ещё до уровня Homo sapiens , увы .
Хотя в ВПК и не только какие то мелкие наработки и получают распространения ..
Впрочем это совсем другая физика и под неё когда нибудь будет создана и совсем другая математика .
Всё развивается и даже деградация есть отрицательное развитие .. :D
Stas
 
Сообщения: 838
Зарегистрирован: Вт июл 28, 2020 2:35 pm

Re: Практическая задачка из сферической геометрии

Сообщение Rados » Вт янв 03, 2023 2:46 pm

Хотя в реальности это выглядит совершенно не так

У каждого Индивидуума имеется СВОЯ точка зрения (даже две - в каждом глазу), а описание в Википедии (буквами?) не претендует на установление АКСИОМ, поэтому НА ПРАКТИКЕ многие художники (чаще всего именно "графики") придерживаются позиции В. Пелевина: "Амбиции творческой Личности не всегда адекватны Общей Теории кидания понтов"...
С одной стороны ни один производитель работ не возьмётся выполнять какой-то ЗАКАЗА (задание), не имея подробного чертежа (или схемы)!
Но с другой стороны любой результат работы может быть оспорен Заказчиком (по принципу "Клиент всегда прав").
Викпедия - это же НЕ учебное пособие "для решения ЛЮБЫХ задач", а такая современная БИБЛИОТЕКА, в которой собрано МНОЖЕСТВО всякой информации на ЛЮБУЮ тему... ИНФОРМАТИКА - это тоже современная Наука, в которой тоже есть гипотезы, противоречия, парадоксы и просто ОШИБКИ авторов. А зачастую это либо НЕТОЧНЫЙ перевод текстов, либо НЕВЕРНОЕ их толкование...

ТОПОЛОГИЯ тоже является всего лишь ТЕОРИЕЙ, но она оперирует именно современными методами доказательств, в том числе ГРАФИЧЕСКИХ (наглядны), которые можно ПРОВЕРИТЬ более точными инструментами (или приборами), чем обычный "циркуль и линейка", которыми оперировали "Основоположники ГЕО-метрии"... Теория графов и теория чисел тоже не всегда "адекватны Общей Теории Относительности", поэтому в каждой задаче можно найти и множество РЕШЕНИЙ и множество ошибок...
Если искать для решении этой простой "задачки про три точки на плоскости" ГОТОВЫЕ ОТВЕТЫ в Википедии, то таки ДА - это решение уже тоже было найдено Леонардом Эйлером и Карлом Фейербахом...
Но в Википедии "кто-то" изобразил точки пересечения линий ОКРУЖНОСТЯМИ, что так же "не соответствует реальности"!
Описанная окружность показана зелёной линией, а вписанная окружность - красной линией...
И этого вполне ДОСТАТОЧНО, чтобы найти правильное решение для ЛЮБЫХ трёх точек НЕ лежащих на ОДНОЙ прямой!

Линия Эйлера.jpg
Линия Эйлера.jpg (75.82 КБ) Просмотров: 158
Аватара пользователя
Rados
 
Сообщения: 3558
Зарегистрирован: Вт ноя 20, 2018 8:36 am
Откуда: РОССИЯ

Re: Практическая задачка из сферической геометрии

Сообщение Rados » Вт янв 03, 2023 3:20 pm

Стороны НЕравностороннего треугольника являются КАСАТЕЛЬНЫМИ к Окружности, вписанной в этот треугольник!
Но к решению данной задачки это тоже НЕ ИМЕЕТ ОТНОШЕНИЯ, потому что в услових требовалось НАЙТИ четвёртую точку, РАВНО УДАЛЁННУЮ от трёх заданных точек, которая и будет являться ЦЕНТРОМ описанной окружности (на сехеме нарисована ЗЕЛЁНОЙ линией)!
И сразу заметно "невооружённым глазом", что в таком треугольнике вписанная окружность и описанная окружность НЕ являются КОНЦЕНТРИЧЕСКИМИ..

Линия Эйлера.jpg
Линия Эйлера.jpg (77.31 КБ) Просмотров: 158
.
Аватара пользователя
Rados
 
Сообщения: 3558
Зарегистрирован: Вт ноя 20, 2018 8:36 am
Откуда: РОССИЯ

Re: Практическая задачка из сферической геометрии

Сообщение Stas » Вт янв 03, 2023 5:11 pm

Ох уж эти великие .. аж в глазах зарябило ..
Проще надо ..

Ц окр..JPG
Ц окр..JPG (73.79 КБ) Просмотров: 158


Здесь изложен принцип , а точки можно можно расставить и как в вашем случае .. на просторе ..
Определили равноудалённый центр и можно строить окружность .

Как то так .. ;)
Stas
 
Сообщения: 838
Зарегистрирован: Вт июл 28, 2020 2:35 pm

Re: Практическая задачка из сферической геометрии

Сообщение Stas » Вт янв 03, 2023 5:43 pm

Эта задача напомнила мне спор со старым плотником в одном из стройотрядов ..
Ему показалось что в институте нас плохо учат и на досуге он донимал нас подобными задачами..
Чтобы доказать обратное я предложил ему определить центр произвольной окружности не прибегая к помощи хорд и секущих ..
Весёлые времена были , есть что вспомнить .. :D
Stas
 
Сообщения: 838
Зарегистрирован: Вт июл 28, 2020 2:35 pm

Re: Практическая задачка из сферической геометрии

Сообщение Rados » Вт янв 03, 2023 8:44 pm

:lol:
У меня тоже был подобный "казус" в конце 90-х годов, когда курировал строительство торговых павильонов в Подмосковье.
По проекту надо было сделать центральную часть торговых рядов выпуклой (по дуге), и на чертежах все размеры на плане были обозначены как положено - с центром и радиусом кривизны. Я эту разметку перенёс "в натуру",забил колья из арматуры и объяснил всё (устно) бригадиру "лихих таджиков", которые должны были залить фундамент по этому "кривому плану"... Пришёл проверять - не могу найти центральный колышек! Они его просто убрали "штобы не мешал"... Спрашиваю у главного таджика: "Покажи КАК вы разметили дугу без радиуса!"... Вот он так и сделал - просто приложил арматуру к трём колышкам, ОНА САМА "изогнулась в дугу" - без всякого циркуля!
По-русски говорят совсем плохо, но в практической геометрии соображают быстро и точно!

А сейчас у меня компьютер "умеет чертить" окружности и всякие кривые линии "по заданным параметрам" - и тоже "без циркуля и линейки", но намного ТОЧНЕЕ, чем на картинках в Википедии... "Искусственный Интеллигент" какой-то (в кавычках), ... а не МАШИНА ТЬЮРИНГА :lol:
Аватара пользователя
Rados
 
Сообщения: 3558
Зарегистрирован: Вт ноя 20, 2018 8:36 am
Откуда: РОССИЯ

Re: Практическая задачка из сферической геометрии

Сообщение Stas » Ср янв 04, 2023 3:38 am

Ну... у вашего комьютера это не все его возможности ..
Если к нему подключить 3D принтер то он и сам может построить чего пожелаешь , без привлечения "лихих таджиков" .. :D
Эпоха строителей уходит в небытие , увы ..
И если раньше между заказчиком и строителями стоял архитектор , то сейчас его роль легко может выполнить нейросеть ..
Как говорится , любой каприз за вашу виртуальную валюту.. ;)
Роль человечества начинает сводится к обслуживанию умных машин , но оно пока пребывает в заблуждении , что эти умные устройства обслуживают нас .
Stas
 
Сообщения: 838
Зарегистрирован: Вт июл 28, 2020 2:35 pm

Re: Практическая задачка из сферической геометрии

Сообщение Rados » Ср янв 04, 2023 8:50 am

Если к нему подключить 3D-принтер, то он и сам может построить чего пожелаешь

Такая "фантастика" уже тоже НЕ КАТИТ, потому что любая вещь - это тоже 3D-вещь, которую сначала надо спроектировать "как положено"...
А глобальная стандартизация уже тоже не устраивает даже "простых граждан", потому что любая Семья - это локальный социум, а не "всемирная коммуналка"!

Но об этом лучше дискутировать на других форумах!
Высшая Математика и Большая Политика - это совершенно разные СФЕРЫ образования.
А начертательной ГЕО-метрией и топологией можно заниматься самостоятельно - "в домашних условиях с использованием доступных средств связи"! ;)
Аватара пользователя
Rados
 
Сообщения: 3558
Зарегистрирован: Вт ноя 20, 2018 8:36 am
Откуда: РОССИЯ

Re: Практическая задачка из сферической геометрии

Сообщение Rados » Ср янв 04, 2023 1:46 pm

то сейчас его роль легко может выполнить нейросеть

Нейросеть - это тоже какая-то сложная (составная) СИСТЕМА, а не Индивидуум, поэтому её роль тоже можно определить как "вспомогательную функцию"!
А компьютер - это тоже "3D-вещь", которая служит для вполне определённых ЦЕЛЕЙ Индивидуума, который нажимает на клавиатуре "нужные кнопки в определённом ПОРЯДКЕ" - так же как и любой музыкант, обученный играть на определённом инструменте!

Проще говоря, НАМ даже удалось доказать графически (без циркуля и линейки), что т.н. "число [tex]\pi[/tex]" на самом деле - именно КОЭФФИЦИЕНТ = 22/7.
Компьютеру это тоже "по барабану", потому что ему об этом ЗНАТЬ не обязательно, но без его помощи это тоже было бы НЕВОЗМОЖНО... ;)


Число ПИ по Архимеду.jpg
Число ПИ по Архимеду.jpg (73.59 КБ) Просмотров: 154


Более детальное объяснение дано в развёрнутом виде в разделе "Окружности", но это тоже МАТЕМАТИКА... :ugeek:
Аватара пользователя
Rados
 
Сообщения: 3558
Зарегистрирован: Вт ноя 20, 2018 8:36 am
Откуда: РОССИЯ

Re: Практическая задачка из сферической геометрии

Сообщение Stas » Ср янв 04, 2023 3:50 pm

" Иску́сственная нейро́нная се́ть (инс) — математическая модель, а также ее программное или аппаратное воплощение, построенная по принципу организации и функционирования биологических нейронных сетей — сетей нервных клеток живого организма . "
В данное время не только широко применяемая практически во всех видах деятельности человека , но весьма перспективная модель его замены .. ;)
Как пример .. https://yandex.ru/video/preview/12492952255860876997
Весёлая вещичка .. у нас в супермаркете такая на ячейках хранения есть ..
Как там в мультике - " усы лапы и хвост - вот мои документы " ... :D

Геометрия и теория чисел отличаются по своей природе ..
Вы легко можете проверить это на калькуляторе сравнив отношение 22/7 со значением числа Пи .
Дети Японии уже досчитали его до многих триллионов и я уверен , что они находятся в самом начале своего бесконечного процесса .. ;)
В геометрии проще - путём построения указывается место в котором должна находится величина ( к примеру отрезка ) полученная путём арифметических или иных операций с числами .
Stas
 
Сообщения: 838
Зарегистрирован: Вт июл 28, 2020 2:35 pm

Пред.След.

Вернуться в Математическая задача месяца



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 3

cron